1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

2.2 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 __________________________________ ______________________________________________ Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| （1）公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 （1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为________. （2）若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为_______. （3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. n2d （4）若等差数列的项数为2n，则S2n=n（an+an+1），S偶-S奇=_______，=（S奇≠0）. （5）若等差数列的项数为2n+1，则=（2n+1）an+1（an+1是数列的中间项），S偶-S奇=-an+1，=________（S奇≠0）. （6）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-（m+n）. 上述性质可用于小题，大题中要先证再用. 性质（2）不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列. nd 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= （　　） A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 √ 基础落实训练 解析：由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×（-2）=-80. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 （　　） A.72 B.54 C.36 D.18 √ 解析：由a4=18-a5，可得a4+a5=18， 所以S8==4（a4+a5）=4×18=72， 故选A. 3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 （　　） A.112 B.51 C.28 D.18 √ 解析：由题意知， 解得则S7=7a1+d=28，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　（1）已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n； 解：由题设可得 解得或 （2）在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10. 解：由题设可得 即解得 故a10=2+3×（10-1）=29. 　[变式拓展] 　本例（1）中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d. 解：法一　由 得解得 法二　∵a1=3，an=11，Sn=35， ∴35==7n，即n=5. 又11=3+（5-1）d， ∴d=2. 　　|思|维|建|模| （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. （2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2r，则2ar=am+an，常与求和公式Sn=结合使用. 针对训练 1.（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，a3+a7= （　　） A.-2 B. C.1 D. √ 解析：法一：利用等差数列的基本量　由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9=9a1+d=1⇔9a1+36d=1.又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=（9a1+36d）=. 法二：利用等差数列的性质　根据等差数列的性质，得a1+a9=a3+a7， 由S9=1，根据等差数列的求和公式，S9===1， 故a3+a7=. 法三：特殊值法　不妨取等差数列公差d=0， 则S9=1=9a1⇒a1=，则a3+a7=2a1=. 2.（2025·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=6，S5= -5，则S6= （　　） A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 √ 解析：法一　由S3=3a2=6⇒a2=2， S5=5a3=-5⇒a3=-1， ∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3，a1=5， ∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和， 故为等差数列，设该等差数列的公差为d1， 由-=2d1，解得d1=-，∴=+d1=-1-， 解得S6=-15. 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2，a2+a6=2，则S10=________.  25 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则由a2+a6=2，得a1+d+a1+5d=2， 即-4+6d=2，解得d=1，所以S10=10×（-2）+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a6=2a4=2，所以a4=1， 所以d===1，所以S10=10×（-2）+×1=25. 题型(二)　等差数列前n项和公式的应用 [例2]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n（n∈N+）. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3（n-1）2-4（n-1）=6n+1， 当n=1时，a1=S1=3+4=7，满足an=6n+1， 即数列{an}的通项公式an=6n+1. （2）求证：数列{an}是等差数列. 解：证明：∵an=6n+1， ∴当n≥2时，an-an-1=6n+1-6（n-1）-1=6为常数， 则数列{an}是等差数列. 　　[变式拓展] 　若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1（n∈N+）.求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3（n-1）2-4（n-1）-1=6n+1， 当n=1时，a1=S1=3+4+1=8， 不满足an=6n+1，所以an= 显然{an}不是等差数列. 　　|思|维|建|模| 　　由Sn求得通项公式an的特点：若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是等差数列. 针对训练 4.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. （1）当r=0时，求证：该数列{an}是等差数列； 解：证明：当r=0时，Sn=25n-2n2，令n=1，S1=25-2=23， 所以n≥2时，Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2，所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+2（n-1）2=27-4n，此时a1=27-4=23，所以an=27-4n， 所以an-an-1=（27-4n）-27+4（n-1）=-4，可得数列{an}是公差为-4的等差数列. （2）若数列{an}是等差数列，求r满足的条件. 解：Sn=25n-2n2+r，令n=1，得S1=25-2+r=23+r， 所以n≥2时，Sn-1=25（n-1）-2（n-1）2+r， 所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25（n-1）+2（n-1）2=27-4n， 所以an-an-1=（27-4n）-27+4（n-1）=-4，可得n≥2时， 数列{an}是公差为-4的等差数列，若数列{an}是等差数列， 则a1=27-4=23=23+r，所以r=0. 题型（三）　等差数列前n项和的性质及应用 [例3]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 解：法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10=100，S100=10，∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 法二　设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn. 由题设条件可知 解得 故S110=-×1102+×110=-110. 法三　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100， …成等差数列，设公差为d， ∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10， 解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×（-22）=-110. 法四　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=（b10-b1）=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1， ∴S110=-110. 法五　直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-（m+n），可得S110=-110. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 （1）整体思路：利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. （2）待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn（A≠0），列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设=an+b（a≠0）进行计算. （3）利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列进行求解. 针对训练 5.在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= （　　） A.9 B.10 C.11 D.12 √ 解析：根据等差数列前n项和的性质可得==，解得n=10. √ 6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3=4，S6=10，则a16+a17+a18= （　　） A.12 B.14 C.16 D.18 解析：由等差数列前n项和的性质知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，S15-S12，S18-S15成等差数列.由S3=4，S6-S3=6，得该数列首项为4，公差为2，所以a16+a17+a18=S18-S15=4+5×2=14. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在等差数列{an}中，已知a1=10，d=2，Sn=580，则n等于 （　　） A.10 B.15 C.20 D.30 √ 解析：因为Sn=10n+n（n-1）×2=n2+9n，所以n2+9n-580=0，解得n=20或n=-29（舍去）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是 （　　） A.-4 B.-3 C. D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为S17===17a9=340， 所以a9=20，又a8=17， 所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，S5=5S3-5，则S4= （　　） A.4 B.-2 C.3 D.-1 √ 解析：记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5（3a1+3d）-5，整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×（-1）=-2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= （　　） A.27 B.45 C.81 D.18 √ 解析：由等差数列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，可得2（S6-S3）= S3+S9-S6，即2×（36-9）=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=67，则a3·a12是{an}中的 （　　） A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设公差为d， 则解得 所以an=n，则a3·a12=3×12=36，令an=36， 则n=36，所以a3·a12是{an}中的第36项. 故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由已知得=，可设Sn=kn（3n+5），Tn=kn（4n+6），则a7=S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N+，且S2=-7，S4=-2，则 （　　） A.数列{an}的公差为3 B.数列是递增数列 C.数列{Sn}中的最小项为S1 D.Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：选ABD　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2=-7， S4=-2可得解得所以数列{an}的公差为3， 故A正确；由A可得Sn=na1+d=，所以=，-=-=>0，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由Sn===， 二次函数性质以及n∈N+可得，当n=2时，Sn取得最小值S2=-7，故C错误；由Sn+（S3n-S2n）-2（S2n-Sn）=S3n-3S2n+3Sn=-+=（27n2-39n-36n2+78n+9n2-39n）=0，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则 （　　） A.a4=5 B.S20=300 C.S31=720 D.n为奇数时，Sn= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由an+1+an=3n，则an+2+an+1=3（n+1），两式作差，得an+2-an=3，a1=1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an=n-；a2=2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正确；S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=300，B正确；S31=（a1+a3+…+a31）+（a2+a4+…+a30）=+=721，C错误；n为奇数时，Sn=+=+ =，D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）（2024·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=__________.  解析：因为数列an为等差数列，则由题意得解得 则S10=10a1+d=10×（-4）+45×3=95. 95 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且=3，则=_________.  解析：由等差数列性质可得==3，解得=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（n∈N+）均在函数y=2x-3的图象上，则数列{an}的通项公式an=________.  4n-5 解析：依题意得=2n-3，即Sn=2n2-3n， 所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3， 设其公差为d，则d=4，所以an=4n-5（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N+），则an=　　　　　　，++…+=　　　　.  4（n+1）2 2n2+6n 解析：令n=1，得=4，故a1=16.当n≥2时，++…+=（n-1）2+3（n-1）.与已知式相减，得=n2+3n-（n-1）2-3（n-1）=2n+2，∴an=4（n+1）2.又∵n=1时，a1=16满足上式， ∴an=4（n+1）2（n∈N+），∴=4n+4，∴++…+==2n2+6n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2. 从而an=1+（n-1）×（-2）=3-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.（5分） 解：由（1）可知an=3-2n，所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0， 解得k=7或k=-5.又k∈N+，故k=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解：当n=1时，a1=S1=2+c，当n≥2时， an=Sn-Sn-1=（n2+n+c）-[（n-1）2+（n-1）+c]=2n. ∴数列{an}的通项公式是an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ①当c=0时，an=2n为等差数列； ②当c≠0时，a1=2+c≠2×1， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列. 故当c=0时，{an}是等差数列，当c≠0时，{an}不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22. （1）求数列{an}的通项公式an；（5分） 解：设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3+a4=a2+a5=22， 又a3a4=117，∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d>0，∴a3<a4，∴a3=9，a4=13.∴∴ ∴an=4n-3，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若数列{bn}是等差数列，且bn=，求非零常数c.（5分） 解：由（1）知，Sn=n×1+×4=2n2-n，∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=.∵{bn}是等差数列， ∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，∴c=- （c=0舍去）. 经检验，c=-符合题意，∴c=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $