2.6.1 第2课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦定理，涵盖推导过程、公式变形及三角形度量问题解决。通过课前自主预习落实基础，课堂分“已知两角一边”“两边及对角”“正余弦定理综合”题型梯度进阶，结合思维建模搭建学习支架。 其亮点是采用梯度进阶式教学，分基础训练、题型研究、综合应用层次，通过思维建模总结解题步骤，结合高考真题培养推理能力。如“两边及对角解三角形”分类讨论体现数学思维，综合应用题型培养数学眼光和应用意识，助力学生构建知识体系，教师可高效开展分层教学。

正弦定理[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理的内容及公式变形. 2.能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.正弦定理 (1)语言叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比______. (2)公式表达:_________________. (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径,则_______________=2R. == == 相等 2.正弦定理的变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角). (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4)===. (1)如已知两边a,b和a的对角A,解的情况如下表: |微|点|助|解|   A> A= A< a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 (2)在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b. (3)记牢15°,75°的正弦值: sin 15°=,sin 75°=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. ( 　) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. ( 　) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( 　) × √ √ 2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为(　　) A. B.1 C.2 D.3 解析:设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2, 解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. √ 3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于__________.   解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则A=__________.  解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B, ∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　已知两角及任意一边解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b=(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 解析:由正弦定理=,得=,解得b=3. √ (2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=__________. 解析:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理=,得b===4. 4 已知两角和任意一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. |思|维|建|模| 针对训练 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是(　　) A.4 B.12 C.4 D.12 √ 解析:若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=, 于是x===12,故选D. 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b, 由正弦定理=,得b===5. √ 题型(二)　已知两边和其中一边的对角解三角形 [例2]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; 解:∵b=20,A=80°,∴bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10.又a=10, ∴a<bsin A.∴此三角形无解. (2)b=5,c=5,C=60°; 解:∵b=5,c=5,∴b<c.又C=60°<90°,∴此三角形有解. ∵sin B===,∴B=30°.∴A=180°-(B+C)=90°. ∴a==10.∴A=90°,B=30°,a=10. (3)a=2,b=6,A=30°. 解:∵a=2,b=6,A=30°<90°,∴bsin A=6sin 30°=3.∴bsin A<a<b. ∴此三角形有两解.∵sin B===,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,c===4;当B=120°时,C=30°,c=a=2. ∴B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2. 已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. [提醒]　已知三角形的两角和任意一边,解三角形,有唯一解,已知两边和其中一边的对角,解三角形,可能出现一解,两解或无解的情况. |思|维|建|模| 针对训练 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,a=.若这个三角形有两解,则b的取值范围是(　　) A.(,2] B.(,2) C.(1,2) D.(1,2] 解析:由正弦定理=可得,b===2sin B.要使△ABC有两解,即B有两解,则应有A<B,且sin B<1,所以=sin A<sin B<1.所以<b<2.故选B. √ 4.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1. ∴此三角形无解.故选C. √ [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求cos B; 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 解:因为D为BC的中点,所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1× DC×=,解得DC=2,所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=. 在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin B==, 所以cos B==. (2)若b2+c2=8,求b,c. 解:因为D为BC的中点,所以BD=DC.因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB=-cos∠ADC, 则在△ABD与△ADC中,由余弦定理,得=-, 得1+BD2-c2=-(1+BD2-b2),所以2BD2=b2+c2-2=6,所以BD=,所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc·=bc= =,解得bc=4. 则由解得b=c=2. 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的,但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,应抓住两个定理的特点:正弦定理“边对角”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键. |思|维|建|模| 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0, 则△ABC的形状一定为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 针对训练 解析:在△ABC中,sin A-sin B+=0,则由正弦定理得(sin A-sin B)+ =·(sin A-sin B)=0.因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0⇒+1≠0.所以sin A=sin B⇒a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. √ 6.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. 解析:法一:由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C= sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=. 又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=. √ 法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+ sin C=sin B=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在△ABC中,已知a=,b=,B=60°,则角A的度数为(　　) A.30° B.45° C.45°或135° D.60° 解析:由a=,b=得a<b,于是A<B,由正弦定理得sin A===, ∴A=45°,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知△ABC外接圆的周长为4π,∠BAC=,则BC=(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 解析:因为△ABC外接圆的周长为4π,所以△ABC外接圆的半径为2,则根据正弦定理可得==2BC=4,解得BC=2.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4,b=4,A=, 则角B的大小为(　　) A. B.或 C. D. 解析:由=,则sin B==,而B∈(0,π),故B=或,显然,所得角B均满足0<A+B<π.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=8,B=.若△ABC有两解,则b的值可以是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则AD=csin B. 因为△ABC有两解,所以AD<AC<AB, 则csin B<b<c,即8sin <b<8,得4<b<8.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图所示,在△DEF中,M在线段DF上,DE=DM=EM=2, sin F=,则边EF的长为(　　) A.2 B. C. D. 解析:在△DEM中,DE=DM=EM=2,所以△DEM为等边三角形.所以∠EMD=60°,则∠EMF=120°.在△EFM中,由正弦定理 得=,所以EF==.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在△ABC中,若sin C=3sin A,b2=2ac,则cos B= (　　) A. B. C. D. 解析:因为sin C=3sin A,由正弦定理可得c=3a,且b2=2ac,由余弦定理可得cos B===.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C, cos A=-,则=(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵asin A-bsin B=4csin C, ∴由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2. 由余弦定理得cos A= ===-,∴=6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶ sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=, 则=__________. 2 解析:由正弦定理可得2R=====2,a=2sin A,b=2sin B, c=2sin C,则==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a=________, A=_________________. 2 (答案不唯一) 解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又0<A<π,取A=,则a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量 某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m 的M处(即MD=300 m), 观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°, 则山高BC=__________m. 450 解析:依题意∠AMD=45°,则AM=MD=300, ∠CMA=45°+15°=60°,∠CAB=60°,故∠MAC= 180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°,在△MAC中,由正弦定理得=,即= ,解得AC=300,则BC=ACsin 60°=450. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b;(5分) 解:由余弦定理,得a2+b2-ab=4　①,又△ABC的面积等于,所以absin C=,得ab=4　②, 联立①②得方程组解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若sin B=2sin A,求△ABC的面积.(5分) 解:由正弦定理及sin B=2sin A,得b=2a　③, 联立①③得方程组解得 所以△ABC的面积S=absin C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点, AC=DC. (1)若∠DAC=30°,求∠ADC的大小;(5分) 解:在△ADC中,由正弦定理得 =, 所以sin∠ADC==×=. 又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60°>60°,所以∠ADC=120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若BD=2DC,且DC=1,求AD的长.(5分) 解:由BD=2DC,且DC=1知BC=3,AC=, 所以直角三角形ABC中,cos C==. 在△ADC中,由余弦定理得 AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C=()2+12-2×1×=2,所以AD=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab. (1)求B;(7分) 解:在△ABC中a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可知cos C===. 因为C∈(0,π),所以C=. 因为sin C=cos B, 所以cos B=, 又B∈(0,π),所以B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若△ABC的面积为3+,求c.(8分) 解:由(1)可得B=,C=,则A=π--=,sin A=sin =, 由正弦定理得==,从而a=·c=c, b=·c=c,由三角形面积公式,可知 S△ABC=absin C=·c·c· =c2, 由已知△ABC的面积为3+,可得c2=3+,所以c=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $