第3章 图形的平移与旋转 单元复习（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

第3章 图形的平移与旋转 知识点1：平移的概念与性质 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。 2.核心要素：平移方向（直线方向）和平移距离。 3.性质： 平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 4.坐标变化规律：点沿x轴方向平移个单位（右加左减）得；沿y轴方向平移个单位（上加下减）得。 知识点2：旋转的概念与性质 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点 称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 2.核心要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角。 3.性质： 旋转后，对应线段相等，对应角相等。 旋转后，对应点到旋转中心的距离相等。 旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 4.常见旋转坐标规律（旋转中心为原点）： 旋转方式 点的对应点坐标 示例：点A的对应点坐标 顺时针旋转 逆时针旋转 旋转 知识点3：中心对称与中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转后，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心。 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转后，能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 3.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 成中心对称的两个图形全等。 4.常见图形对比： 图形类型 示例 关键特征 轴对称图形 等腰三角形、矩形 沿一条直线折叠后重合 中心对称图形 平行四边形、圆 绕一点旋转后重合 既是轴对称又是中心对称图形 正方形、菱形 兼具两种图形的特征 知识点4：图形变换的应用 1.作图要求：平移、旋转作图需保留作图痕迹，标注对应点、对应线段及变换方向/角度。 2.实际应用：利用图形变换设计图案、解决路径最短问题、计算不规则图形面积等。 3.图形关系：平移、旋转、轴对称都是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。 【基础必考题型】 【题型1】平移与旋转的概念辨析 1.核心知识点: 平移、旋转的定义及本质特征 生活中图形变换的识别 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：平移看“直线移动+距离不变”，旋转看“绕定点+转角度”，排除翻转、缩放等非全等变换。 情境分析策略：先抽象生活场景中的图形运动，再对照概念逐一验证，如“风力发电机叶片转动”为旋转，“电梯升降”为平移。 反例排除法：对模糊选项，通过举反例确认，如“投篮时的篮球运动”既不是平移（轨迹为抛物线）也不是旋转（无固定旋转中心）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】中心对称图形的识别 1.核心知识点: 中心对称图形的定义 轴对称图形与中心对称图形的区别 2.解题方法技巧: 旋转验证法：想象将图形绕中心旋转，观察是否与原图形重合，重合则为中心对称图形。 特征记忆法：牢记常见中心对称图形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等）和非中心对称图形（等腰三角形、正五边形等）的特征。 双重判断技巧：若题目要求“既是轴对称又是中心对称图形”，先判断轴对称性，再验证中心对称性，提高解题效率。 【例题2】.（2020·北京延庆·一模）下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（23-24九年级上·河南新乡·月考）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火B．中国探月C．中国火箭 D．中国行星探测 【变式题2-2】.（25-26九年级下·四川绵阳·月考）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·山西运城·一模）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】平移与旋转的坐标计算 1.核心知识点: 平移的坐标变化规律 旋转的坐标变化规律 2.解题方法技巧: 平移坐标口诀：“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”，明确平移方向与坐标符号的关系。 旋转坐标三步法：确定旋转中心→判断旋转方向和角度→套用对应坐标变换公式，旋转中心为非原点时，可先平移至原点再计算。 逆向推导法：已知变换后坐标求原坐标，反向应用变换规律，如平移后点是原点点向右平移2个单位得到，则原坐标为。 【例题3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4】平移与旋转的基本作图 1.核心知识点: 平移、旋转的作图步骤 对应点、对应线段的标注要求 2.解题方法技巧: 平移作图四步：确定平移方向和距离→找原图形关键点→作关键点的对应点→顺次连接对应点。 旋转作图四步：确定旋转中心、方向和角度→找原图形关键点→作关键点的对应点（以旋转中心为顶点，原线段为一边，作旋转角的另一边，截取等长线段）→顺次连接对应点。 规范标注要求：作图后标注平移方向和距离、旋转中心和角度，对应点用相同字母加撇区分（如对应）。 【例题4】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知：如图把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到． (1)画出图中； (2)连接，则的关系为______； (3)求四边形的面积为______． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点的对应点的坐标为，请画出平移后的，并计算的面积为______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 【培优高频题型】 【题型5】中心对称的性质应用 1.核心知识点: 中心对称的性质 三角形中位线定理、平行四边形的判定 2.解题方法技巧: 中点转化法：利用“成中心对称的两个图形，对应点所连线段被对称中心平分”，得出对称中心为对应点连线的中点。 面积推导技巧：中心对称图形被过对称中心的直线分成面积相等的两部分，可用于计算不规则图形面积，如平行四边形中过对角线交点的直线平分面积。 构造中心对称图形：对中点问题，可通过构造中心对称图形转化线段关系，如将三角形绕中点旋转得到平行四边形。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【题型6】平移与旋转的实际应用 1.核心知识点: 平移、旋转的性质 两点之间线段最短的性质 2.解题方法技巧: 路径最短问题：利用平移或旋转将分散的线段转化为同一直线上的线段，如“河两岸两点搭桥最短路径”可通过平移桥长转化。 图案设计步骤：确定基础图形→选择变换方式（平移、旋转、中心对称）→按规律重复变换→调整细节形成完整图案，设计时需注意变换的一致性和美观性。 实际场景建模：将实际问题抽象为几何图形，明确图形中的固定部分和可变换部分，再应用相应变换性质求解。 【例题6】.（24-25七年级下·河南周口·期中）某社区打算改造一块长为、宽为的长方形闲置空地，现提出两种设计方案： (1)方案一：修建生态草坪区 如图，在空地种植草坪，中央修建一条曲折的景观步道，步道的左侧边线向右平移米（）即为右侧边线． 问：草坪的实际种植面积为 （用含的式子表示）． (2)方案二：建一个多功能篮球场 计划修建一个面积为的篮球场，要求篮球场的长是宽的倍． 问：方案二是否可行？说明理由． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【题型7】平移与旋转的性质应用 1.核心知识点: 平移、旋转的性质 等腰三角形、等边三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 性质转化法：将平移、旋转性质转化为线段相等、角相等的条件，如旋转后对应线段相等可推出等腰三角形。 角度计算策略：利用旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，结合三角形内角和、邻补角等知识计算，复杂图形可通过标注相等角简化。 构造辅助线法：对图形中隐藏的对应关系，通过作辅助线（如连接对应点、旋转中心与关键点）暴露条件。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 【变式题7-1】.（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式题7-3】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【压轴素养题型】 【题型8】图形变换中的规律探究 1.核心知识点: 平移、旋转的周期性 坐标变化的规律归纳 2.解题方法技巧: 周期探究法：先计算前几次变换后的坐标或图形位置，找出循环周期，再根据周期计算第次变换的结果，如旋转变换中，绕原点旋转为一个周期。 规律归纳步骤：观察特殊情况→猜想一般规律→验证规律正确性→应用规律解决问题，坐标规律可从横、纵坐标分别归纳。 分类讨论：当变换规律因的奇偶性不同而变化时，需分奇数、偶数情况讨论，确保规律的完整性。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【变式题8-3】.（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【题型9】旋转综合证明 1.核心知识点: 旋转的性质 全等三角形、等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 旋转全等模型：旋转后必然存在全等三角形（对应点构成的三角形），需优先找出全等三角形，利用全等性质推导线段和角的关系。 角度凑配法：证明特殊三角形（如等边三角形）时，通过旋转角与已知角的凑配，推出顶角为或底角为，或推出三边相等。 辅助线构造：遇“共顶点的等腰三角形”，常通过旋转其中一个三角形，使等腰边重合，构造全等三角形或特殊三角形。 【例题9】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【变式题9-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 易错点 1.混淆平移与旋转的概念，误将曲线运动（如荡秋千）视为平移，或忽略旋转的“定点”特征。 2.中心对称图形与轴对称图形判断错误，尤其是特殊图形（如正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形）。 3.平移、旋转的坐标计算时，符号错误，如向左平移误加横坐标，逆时针旋转误用顺时针旋转的坐标公式。 4.作图时未保留痕迹或标注不规范，如未标注旋转中心、平移距离，导致作图无效。 5.组合变换中，顺序错误导致结果错误，如“先旋转再平移”与“先平移再旋转”的结果不同，需严格按顺序计算。 6.忽略旋转角的多样性，如绕某点旋转时，可能存在顺时针和逆时针两种旋转方向都满足条件的情况，易漏解。 重点 1.掌握平移、旋转、中心对称的定义和性质，能准确识别生活中的图形变换。 2.熟练运用平移、旋转的坐标变化规律，进行点的坐标计算和图形的位置确定。 3.规范完成平移、旋转的作图，包括找关键点、作对应点、顺次连接和标注。 4.运用图形变换的性质解决线段、角度的计算和证明问题，掌握全等三角形的构造方法。 5.能利用图形变换设计图案、解决实际问题（如路径最短、面积计算），体现数学的应用价值。 难点 1.旋转综合证明题中，全等三角形的构造和角度的凑配，尤其是含参数或复杂图形的证明。 2.图形变换中的规律探究，从特殊情况归纳一般规律，并用数学语言准确表达。 3.跨学科和探究性问题的建模，将实际情境或开放性问题转化为几何变换问题。 4.组合变换的综合应用，按顺序分步处理变换过程，逆向推导时准确还原每一步变换。 5.中心对称与轴对称的综合应用，在复杂图形中识别双重对称特征，解决相关计算和证明问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 3．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 5．如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 7．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 8．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 9．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 10．如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 三、解答题 11．如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 13．如图，在的正方形网格中，点，，是小正方形的顶点，点在线段上． (1)将线段向上平移得到线段，使得线段经过点，在图中画出线段； (2)在图中画出线段，使得与关于点中心对称，并在线段上找一点，使得． 14．已知在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)直接写出的面积． (2)将平移，使得点A与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． ①画出平移后的，并写出点E和点F的坐标； ②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则______． 15．如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的平移与旋转 知识点1：平移的概念与性质 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。 2.核心要素：平移方向（直线方向）和平移距离。 3.性质： 平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 4.坐标变化规律：点沿x轴方向平移个单位（右加左减）得；沿y轴方向平移个单位（上加下减）得。 知识点2：旋转的概念与性质 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点 称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 2.核心要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角。 3.性质： 旋转后，对应线段相等，对应角相等。 旋转后，对应点到旋转中心的距离相等。 旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 4.常见旋转坐标规律（旋转中心为原点）： 旋转方式 点的对应点坐标 示例：点A的对应点坐标 顺时针旋转 逆时针旋转 旋转 知识点3：中心对称与中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转后，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心。 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转后，能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 3.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 成中心对称的两个图形全等。 4.常见图形对比： 图形类型 示例 关键特征 轴对称图形 等腰三角形、矩形 沿一条直线折叠后重合 中心对称图形 平行四边形、圆 绕一点旋转后重合 既是轴对称又是中心对称图形 正方形、菱形 兼具两种图形的特征 知识点4：图形变换的应用 1.作图要求：平移、旋转作图需保留作图痕迹，标注对应点、对应线段及变换方向/角度。 2.实际应用：利用图形变换设计图案、解决路径最短问题、计算不规则图形面积等。 3.图形关系：平移、旋转、轴对称都是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。 【基础必考题型】 【题型1】平移与旋转的概念辨析 1.核心知识点: 平移、旋转的定义及本质特征 生活中图形变换的识别 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：平移看“直线移动+距离不变”，旋转看“绕定点+转角度”，排除翻转、缩放等非全等变换。 情境分析策略：先抽象生活场景中的图形运动，再对照概念逐一验证，如“风力发电机叶片转动”为旋转，“电梯升降”为平移。 反例排除法：对模糊选项，通过举反例确认，如“投篮时的篮球运动”既不是平移（轨迹为抛物线）也不是旋转（无固定旋转中心）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）荷兰版画家埃舍尔在他的平面镶嵌画中，运用将基本图案进行轴对称、平移、旋转等数学方法进行创作．如图是埃舍尔创作的“飞鸟”作品，该作品运用的数学方法是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．平移、旋转 【答案】B 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 【题型2】中心对称图形的识别 1.核心知识点: 中心对称图形的定义 轴对称图形与中心对称图形的区别 2.解题方法技巧: 旋转验证法：想象将图形绕中心旋转，观察是否与原图形重合，重合则为中心对称图形。 特征记忆法：牢记常见中心对称图形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等）和非中心对称图形（等腰三角形、正五边形等）的特征。 双重判断技巧：若题目要求“既是轴对称又是中心对称图形”，先判断轴对称性，再验证中心对称性，提高解题效率。 【例题2】.（2020·北京延庆·一模）下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【变式题2-1】.（23-24九年级上·河南新乡·月考）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火B．中国探月C．中国火箭 D．中国行星探测 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·四川绵阳·月考）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意． 【变式题2-3】.（2026·山西运城·一模）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.该选项图形不是中心对称图形，不是轴对称图形； B.该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； C.该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； D. 该选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形． 【题型3】平移与旋转的坐标计算 1.核心知识点: 平移的坐标变化规律 旋转的坐标变化规律 2.解题方法技巧: 平移坐标口诀：“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”，明确平移方向与坐标符号的关系。 旋转坐标三步法：确定旋转中心→判断旋转方向和角度→套用对应坐标变换公式，旋转中心为非原点时，可先平移至原点再计算。 逆向推导法：已知变换后坐标求原坐标，反向应用变换规律，如平移后点是原点点向右平移2个单位得到，则原坐标为。 【例题3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 【变式题3-1】.（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将点A平移至、、、四点，观察点E是否落在正方形内部，即可获得答案． 【详解】解：A.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； B.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； C.如下图，点平移至点，点E落在正方形内部，故本选项符合题意； D.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意． 【变式题3-2】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键． 连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解． 【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点， 由图象可知，点的坐标为． 故选：B． 【变式题3-3】.（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 【题型4】平移与旋转的基本作图 1.核心知识点: 平移、旋转的作图步骤 对应点、对应线段的标注要求 2.解题方法技巧: 平移作图四步：确定平移方向和距离→找原图形关键点→作关键点的对应点→顺次连接对应点。 旋转作图四步：确定旋转中心、方向和角度→找原图形关键点→作关键点的对应点（以旋转中心为顶点，原线段为一边，作旋转角的另一边，截取等长线段）→顺次连接对应点。 规范标注要求：作图后标注平移方向和距离、旋转中心和角度，对应点用相同字母加撇区分（如对应）。 【例题4】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知：如图把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到． (1)画出图中； (2)连接，则的关系为______； (3)求四边形的面积为______． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)21 【分析】（1）先将各顶点坐标按照向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的对应点即为对应各顶点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质可得平移前后的对应边平行且相等即可得出结论； （3）由不规则图形面积的求法：要求的面积整体规则面积部分面积，即四边形的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将点，，，按照向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标分别为点，，， ∴顺次连接，，可得，即如图所示； （2）解：根据平移的性质可得； （3）解：四边形的面积 ． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，该对称点的坐标是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点的对应点的坐标为，请画出平移后的，并计算的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，10 【分析】本题考查了作图—旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质以及平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由点的坐标的变化得出平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据网格的特点求出的面积． 【详解】（1）解：如图：即为所作， （2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， ，的面积为 【变式题4-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）由平移后的对应点为可得平移规律为：向右平移5个单位，再向上平移2个单位，据此分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据点的移动规律写出坐标即可； （3）利用分割法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所作； （2）解：由图形知，，； （3）解：． 【培优高频题型】 【题型5】中心对称的性质应用 1.核心知识点: 中心对称的性质 三角形中位线定理、平行四边形的判定 2.解题方法技巧: 中点转化法：利用“成中心对称的两个图形，对应点所连线段被对称中心平分”，得出对称中心为对应点连线的中点。 面积推导技巧：中心对称图形被过对称中心的直线分成面积相等的两部分，可用于计算不规则图形面积，如平行四边形中过对角线交点的直线平分面积。 构造中心对称图形：对中点问题，可通过构造中心对称图形转化线段关系，如将三角形绕中点旋转得到平行四边形。 【例题5】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·周测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)8 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据平面直角坐标系中坐标的确定方法，在图中找到、对应的坐标，即可得出答案； （3）根据平移的性质作图即可； （4）通过割补法，将四边形放在一个长为6宽为4的矩形中，用矩形的面积减去周围四个直角三角形的面积，从而得出四边形的面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可得，． （3）解：如图所示． （4）解：由图可得， 【点睛】本题主要考查中心对称、图形的平移以及图形面积的计算，涉及中心对称图形的性质、平面直角坐标系中坐标的确定、图形的平移变换以及利用割补法求不规则图形的面积知识点． 【题型6】平移与旋转的实际应用 1.核心知识点: 平移、旋转的性质 两点之间线段最短的性质 2.解题方法技巧: 路径最短问题：利用平移或旋转将分散的线段转化为同一直线上的线段，如“河两岸两点搭桥最短路径”可通过平移桥长转化。 图案设计步骤：确定基础图形→选择变换方式（平移、旋转、中心对称）→按规律重复变换→调整细节形成完整图案，设计时需注意变换的一致性和美观性。 实际场景建模：将实际问题抽象为几何图形，明确图形中的固定部分和可变换部分，再应用相应变换性质求解。 【例题6】.（24-25七年级下·河南周口·期中）某社区打算改造一块长为、宽为的长方形闲置空地，现提出两种设计方案： (1)方案一：修建生态草坪区 如图，在空地种植草坪，中央修建一条曲折的景观步道，步道的左侧边线向右平移米（）即为右侧边线． 问：草坪的实际种植面积为 （用含的式子表示）． (2)方案二：建一个多功能篮球场 计划修建一个面积为的篮球场，要求篮球场的长是宽的倍． 问：方案二是否可行？说明理由． 【答案】(1) (2)方案二可行，见解析 【分析】本题考查了图形的平移，算术平方根的应用，无理数的估算等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （）设篮球场的宽是，长是，根据面积公式即可得关于的方程，由平方根的定义即可求得，再对的值进行估算，若满足题意即可． 【详解】（1）解：草坪的实际种植面积为 ， 故答案为：； （2）解：方案二可行，理由如下： 设篮球场的宽是，长是，根据篮球场的面积为，得 ， 由长与宽的实际意义得， 因此，篮球场的宽是，长是， ∵， ∴，， ∵闲置空地长为、宽为， ∴方案二可行． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【答案】这块草地的面积为24平方米． 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为6米，宽为4米的长方形面积，据此计算求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为4米的长方形面积，即平方米， 答：这块草地的面积为24平方米． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草． (1)求种植花草的面积； (2)当时，求种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)18平方米 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则． （1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可； （2）把a，b的值代入进而求出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 平方米． 答：种植花草的面积为平方米； （2）解：当时， 原式（平方米）． 答：种植花草的面积为18平方米． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示， 图书馆，宿舍楼，实验楼； （2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的， ，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的． 【题型7】平移与旋转的性质应用 1.核心知识点: 平移、旋转的性质 等腰三角形、等边三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 性质转化法：将平移、旋转性质转化为线段相等、角相等的条件，如旋转后对应线段相等可推出等腰三角形。 角度计算策略：利用旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，结合三角形内角和、邻补角等知识计算，复杂图形可通过标注相等角简化。 构造辅助线法：对图形中隐藏的对应关系，通过作辅助线（如连接对应点、旋转中心与关键点）暴露条件。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 【答案】8 【分析】根据重叠部分的面积为20，求出，即可求出． 【详解】解：∵重叠部分的面积为20，正方形边长为10， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】图形变换中的规律探究 1.核心知识点: 平移、旋转的周期性 坐标变化的规律归纳 2.解题方法技巧: 周期探究法：先计算前几次变换后的坐标或图形位置，找出循环周期，再根据周期计算第次变换的结果，如旋转变换中，绕原点旋转为一个周期。 规律归纳步骤：观察特殊情况→猜想一般规律→验证规律正确性→应用规律解决问题，坐标规律可从横、纵坐标分别归纳。 分类讨论：当变换规律因的奇偶性不同而变化时，需分奇数、偶数情况讨论，确保规律的完整性。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解： ，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式题8-3】.（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 【题型9】旋转综合证明 1.核心知识点: 旋转的性质 全等三角形、等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质 2.解题方法技巧: 旋转全等模型：旋转后必然存在全等三角形（对应点构成的三角形），需优先找出全等三角形，利用全等性质推导线段和角的关系。 角度凑配法：证明特殊三角形（如等边三角形）时，通过旋转角与已知角的凑配，推出顶角为或底角为，或推出三边相等。 辅助线构造：遇“共顶点的等腰三角形”，常通过旋转其中一个三角形，使等腰边重合，构造全等三角形或特殊三角形。 【例题9】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【答案】（1）；理由见解析（2）①；②；（3）8 【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）由（1）可知，则，，再根据等边三角形的性质和角之间的等量代换，易得，从而可求； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，易得是等边三角形，由旋转的性质知，从而可得，再根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： 和都是等边三角形， ，，，， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①；② 理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到， 则， ，； 等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：①；②； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质知， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等的性质，勾股定理等知识点，掌握“手拉手模型”是解题的关键． 【变式题9-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可证得结论； （2）先根据勾股定理得到，再根据正方形的性质和勾股定理可证得结论． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点M，与交于点N． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ，． ， ，即； （2）证明：如图，连接，． ， ， ， ． ，． ． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ． 【点睛】本题重点考查“手拉手模型”和勾股定理，找到全等三角形和直角三角形是解答的关键． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了手拉手模型，同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），多边形内角和问题，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 易错点 1.混淆平移与旋转的概念，误将曲线运动（如荡秋千）视为平移，或忽略旋转的“定点”特征。 2.中心对称图形与轴对称图形判断错误，尤其是特殊图形（如正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形）。 3.平移、旋转的坐标计算时，符号错误，如向左平移误加横坐标，逆时针旋转误用顺时针旋转的坐标公式。 4.作图时未保留痕迹或标注不规范，如未标注旋转中心、平移距离，导致作图无效。 5.组合变换中，顺序错误导致结果错误，如“先旋转再平移”与“先平移再旋转”的结果不同，需严格按顺序计算。 6.忽略旋转角的多样性，如绕某点旋转时，可能存在顺时针和逆时针两种旋转方向都满足条件的情况，易漏解。 重点 1.掌握平移、旋转、中心对称的定义和性质，能准确识别生活中的图形变换。 2.熟练运用平移、旋转的坐标变化规律，进行点的坐标计算和图形的位置确定。 3.规范完成平移、旋转的作图，包括找关键点、作对应点、顺次连接和标注。 4.运用图形变换的性质解决线段、角度的计算和证明问题，掌握全等三角形的构造方法。 5.能利用图形变换设计图案、解决实际问题（如路径最短、面积计算），体现数学的应用价值。 难点 1.旋转综合证明题中，全等三角形的构造和角度的凑配，尤其是含参数或复杂图形的证明。 2.图形变换中的规律探究，从特殊情况归纳一般规律，并用数学语言准确表达。 3.跨学科和探究性问题的建模，将实际情境或开放性问题转化为几何变换问题。 4.组合变换的综合应用，按顺序分步处理变换过程，逆向推导时准确还原每一步变换。 5.中心对称与轴对称的综合应用，在复杂图形中识别双重对称特征，解决相关计算和证明问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 2．七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 3．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 4．在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据钝角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的定义和性质，结合平移特点分析即可． 【详解】解：如图： 根据平移特点点A，B，C可以围成钝角三角形、直角三角形、等腰三角形，不能围成等边三角形． 5．如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定初始点的坐标，根据旋转性质求出的坐标；由每次旋转计算出旋转一周的次数，得到坐标循环周期；用总旋转次数除以周期，根据余数确定对应的坐标位置，从而选出正确选项． 【详解】解：∵中，，与轴重合， ∴初始点的坐标为． ∵将绕原点顺时针旋转得到，，将绕原点顺时针再旋转（累计旋转）得到，， ∴的坐标为． ∵每次旋转，旋转一周需要的次数为：，即周期为， ∵， ∴旋转次后，点的位置与旋转次后的位置相同，坐标为． 故选：A． 二、填空题 6．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 7．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 8．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 9．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 10．如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 【答案】6或12 【分析】先由平移得出，，，，当为直角三角形时，需分情况讨论：当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算即可；当时，先根据平行线的性质得出，进一步得出，再利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质，进行计算即可． 【详解】解：①当时，如图1． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，． ，点为的中点， ． 点是线段的中点， ， ． ②当时，如图2． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，，，． ， ， ． 点为的中点，， ． 在中，，， ． 点是线段的中点， ， ． 综上所述，当为直角三角形时，的长为6或12． 三、解答题 11．如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 【答案】(1)⑥⑦ (2)①见解析； ② 【分析】本题考查了七巧板、多项式的加减，关键是根据图案用代数式表示相关的量； （1）根据七巧板各部分边长关系来确定与正方形面积相等的图形即可； （2）①依据七巧板各部分的形状特点拼接即可；②将图案各边用代数式表示之后相加即可． 【详解】（1）解：①、②的面积为：； ③、⑤的面积为：； ④、⑥的面积为：；⑦的面积为：； 故答案为：⑥⑦； （2）①如图所示： ②周长为：， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 13．如图，在的正方形网格中，点，，是小正方形的顶点，点在线段上． (1)将线段向上平移得到线段，使得线段经过点，在图中画出线段； (2)在图中画出线段，使得与关于点中心对称，并在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可得出线段，然后连接并延长交于点G即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ； （2）解：如图，线段，点G即为所求， ． 14．已知在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)直接写出的面积． (2)将平移，使得点A与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． ①画出平移后的，并写出点E和点F的坐标； ②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则______． 【答案】(1) (2)①见详解，；②3 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）①根据平移的性质作图，即可得出答案；②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为，即可得出的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：①如图所示： ∴； ②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴． 15．如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【答案】(1) (2)①；②当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）①利用长方形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解；②依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值即可； 【详解】（1）解：∵长方形， ∴； 在中，， 由勾股定理得：； （2）解：①∵，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∵对称， ∴垂直平分， 设与交于点，则， ∵，即：， ∴， ∴； ②设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， ∵， ∴， 为等腰三角形， ， ，即． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $