20.2.5 勾股定理及其逆定理的综合应用-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第4课时 勾股定理的逆定理 基础过关 1.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直 6.若三角形的三边长分别为√2，√6,2，则此三角 角三角形的是 形的面积为 A.1,1,1 B.1,2,5 7.如图20-4-2，在△ABC中，AC=3,BC= C.3,4,6 D.2,3,4 4,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 AB于点D,BD=2,则∠ACB= a,b,c,满足下列条件的△ABC中，不是直角 三角形的是 ( A.b2=c2-a2 B.a:b:c=5:12:13 C.∠C=∠A-∠B 图20-4-2 图20-4-3 D.∠A:∠B:∠C=3：4:5 8.如图20一4一3所示，在6×4的小正方形网 3.如图20-4-1，点E在边长为5 格（每个小正方形的边长均为1）中，点A,B, 的正方形ABCD内，测得CE= C,D,E均在格点上，连接AC,AD 3,DE=4,则阴影部分的面积是 (1)∠DAC的大小为 度； ( )图20-4-1 (2)∠ABC-∠DCE= 度 A.12 B.16 C.19 D.25 9.如图20一4一4，在△ABC中，AD⊥BC于点 D,AD=12,BD=16,CD=5. 4.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足关系 (1)求△ABC的周长； 式√2-a2-b+|a-b|=0,则△ABC的形 (2)△ABC是不是直角三角形？为什么？ 状为 5.【传统文化】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾 股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳 法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生 图20-4-4 成过程，也体现了中国传统数学在数论领域 的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数： ①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40， 41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 素养提升 1.如图20一4一5所示，大正方形是由49个边 3.如图20一4一7，在△ABC中，D是AB边的 长均为1的小正方形拼成的，A,B,C,D四个 中点，DE⊥AB于点D,交AC于点E,且 点是小正方形的顶点，A、B、C、D四个点中由 AE2-CE2=BC. 其中三个点为顶点的直角三角形有() (1)求证：∠C=90°； “TT“T (2)若DE=6,BD=8,求CE的长. A D B 图20-4-5 图20-4-6 图20一4-7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图20-4-6，在四边形ABCD中，∠A 60°，AB=AD=6,BC=8,CD=10,则∠ABC 的度数为 () A.105°B.120° C.135° D.150° 综合探究 【阅读理解】设a,b,c是一个三角形的三条边的 (3)若一个三角形的三条边长分别是m一n, 长，且a是最长边，我们可以利用a,b,c三边长之 2mn,m2十n2,请判断这个三角形的形状，并 间的关系来判断这个三角形的形状：①若a=b+ 写出你的判断过程. c2,则该三角形是直角三角形；②若a>十c2,则 该三角形是钝角三角形；③若a2<?+c2,则该三 角形是锐角三角形 例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6，则 最长边是6，由于6=36<42十5，故由上面③ 可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题： (1)若一个三角形的三条边长分别是6,7,8，则 该三角形是 三角形 (2)若一个三角形的三条边长分别是5,12，x, 且这个三角形是直角三角形，则x的值为 (结果保留根号).3个数为x十1.由勾股定理，得112+x2= （x十1)2，解得x=60,.x十1=61，∴.第⑤ 组勾股数为11,60,61. 6.√27.908.(1)90(2)45 9.解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据 勾股定理， AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2. .AD=12,BD=16,CD=5, .AB=20,AC=13. ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+ AC+BD+CD=20+13+16+5=54. (2)△ABC不是直角三角形.理由如下： .AB=20,AC=13,BC=16+5=21, AB+AC”≠BC”, .△ABC不是直角三角形. 【素养提升】 1.B2.D 3.(1)证明：连接BE, .D是AB边的中点，DE⊥AB, ∴.DE垂直平分AB,∴AE=BE 又.AE2-CE=BC, .'BE2-CE2=BC2, 即BE=BC+CE, .△BCE是直角三角形，∴.∠C=90°. (2)解：在Rt△BDE中，由勾股定理， 得BE=√DE+BD=10,∴.AE=10. 设CE=x,则AC=10十x. .BD=8,∴.AB=2BD=16, 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC=AB-AC=16-(10+x)2, 在Rt△BCE中，由勾股定理， 得BC=EB2-EC=102-x2, .162-(10+x)2=102-x2, 解得x=2.8,.CE=2.8. 【综合探究】 解：(1)锐角 (2)13或√119 (3)这个三角形是直角三角形 理由：.(m2-n2)2+(2mm)2 =m4-2mn2+n+4m2n2 =m4十2m2n2+n =(m2+n2)2, ∴这个三角形是直角三角形 第5课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【基础过关】 1.A 2.不垂直 3.84点拨：.72+24=25，∴.张大伯家的 菜地是一个直角三角形，且25m是三角形 最长边的长度，“这块菜地的面积是× 7×24=84(m2). 4.905.90 6 ,点拨：如图，令CC与 AB的交点为O.AB= 10,BC=6,AC=8,102= 62+8,.AC+BC =AB2, ∴.∠ACB=90. 根据对称轴的性质得OC= OC,CC⊥AB. S三2AC·BC-=2AB·OC 0C=AC,BC_8X6_24 AB 10-5 ∴CC'=20C=48 1 7.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： '.'AC=24cm,CB=18cm,AB=30cm. ∴.AC2+CB2=242+182=576+324=900= 302=AB2, '.△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形， (2)设点C到AB的距离为h, .△ABC为直角三角形， ∴.AC·BC=AB·h. -AC c (m). AB 30 :点C到AB的距离为号cm 8.解：过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于 点D,设CD=x, .△ADC与△ADB均为直角三角形，由 勾股定理，得AC-CD=AB-BD, .132-x2=152-(4+x)2, 解得x=5.∴.AD=√AC-CD=12, ÷Sax=2BC.AD=号×4X12=24. 【素养提升】 1.A 2.2 3.解：(1)△ACD是等腰直角三角形 理由如下：在Rt△ACD中，CA=15米， CD=15√2米，∠CAD=90°. 根据勾股定理，得AD=√CD-CA= √(15√2)2-152=15（米）， ..CA=AD. 又.∠CAD=90°， .△ACD是等腰直角三角形， (2).CA=15米，CB=25米，∠CAD=90°， ∴.AB=√CB2-CA2=√/252-152=20（米）， .BD=AB-AD=20-15=5(米). .船移动的距离BD的长度为5米 (3)把船从点B拉到岸边点A处所用时间 为12.5秒. 点拨：船在BD段所用时间为=5（秒），船 在AD段所用时间为2=7.5（秒）.“5十 7.5=12.5(秒)，即把船从点B拉到岸边点 A处所用的时间为12.5秒. 【综合探究】 解：(1)△ABC为直角三角形. 证明：AB2=(n2+1)2=n4+2n2+1,BC= (n2-1)2=n-2n2+1,AC2=(2n)2=4n2, 则BC2+AC2=n-2n2+1+4n2=n+ 2n2+1,∴.AB2=BC+AC, .△ABC是直角三角形 (2)当n=2时，AB=5,BC=3,AC=4, ①如图①所示，BD平分∠ABC, 过点D作DE⊥AB,垂足为E, 又.∠C=90°，∴.CD=DE BD=BD, 在Rt△BCD和Rt△BED中，CD=ED, .Rt△BCD≌Rt△BED(HL), ∴.BE=BC=3. 设CD=DE=x, ∴.AD=4-x,AE=5-3=2. 在Rt△AED中，根据勾股定理， 得DE+AE=AD, 2+2=(4-x0x==1.5 此时，AB+BC+CD=5+3+1.5=9.5, ∴.t=9.5÷1=9.5; 当BD平分∠ABC时，t的值为9.5. ②如图②所示，DD"垂直平分AB,点D可能 在点D'处，也可能在点D处 当点D在点D处时，AD=AB=2.5 2.5÷1=2.5. 当点D在点D"处时， 连接BD”..D'D"垂直平分AB, .'BD'=AD". 设CD=x,则BD”=AD”=4一x. 在Rt△BCD”中，由勾股定理， 得BC+CD2=BD", 3+=4-x0-专-0.875. ∴.AB+BC+CD=5+3+0.875=8.875, ∴.t=8.875÷1=8.875, 综上所述，t的值为2.5或8.875. ③当点D在AB上，BD=BC时， 此时AD=5-3=2,∴.t=2÷1=2. 当点D在AC上，BC=CD时， 此时AB+BC+CD=5+3+3=11, .t=11÷1=11. 当点D在AB上，且过BC的垂直平分线， BD=CD时，如图③所示， ∴.∠B=∠DCB. :∠B+∠A=∠DCB+∠DCA=90°， .∠A=∠DCA, .AD=CD,∴.BD=AD,∴.AD=2.5, .t=2.5÷1=2.5. CL- ④ 当点D在AB上，BC=CD时，如图④所示， 过点C作CH⊥AB,垂足为H. :S6度=3X4X号=6.S2m=号×AB× CH=号×5xCH=5cH=号 AD=t,∴BD=5-t,DH=5t 2 在Rt△CDH中， 由勾股定理，得DH+CH=CD, (2+(号)=9. 6=号=1.4或= (舍去)， 43 综上，t的值为2或11或2.5或1.4. 数学活动 1.解：(1)2次操作后的图形如图所示. (2)由勾股定理可知，a2+b=c2=1(cm2), ∴.题图1①中所有正方形的面积和为a2+ b2+c2=2(cm2). ∴.1次操作后所有正方形的面积和为α+ b+2=3(cm). .2次操作后所有正方形的面积和为a2十 b2+3=4(cm2). ∴.2次操作后的图形中所有正方形的面积 和为4cm. (3)如果最初的直角三角形是等腰直角三 角形，“毕达哥拉斯树”将是左右对称的树 形结构. 2.解：(1)图中阴影部分的面积为两个半圆的 面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积=方x(9)+)x× (C)-AcXBc-zxx(2)+x (号-×4×6--12. “阴影部分的面积为x-12. (2)设OA=a,AB=c, 由题意，得OB=OC=5, ∴.4c+4(a-5)=80,由勾股定理， 得a2+52=c2, ∴.c=25-a, ∴.a2+52=(25-a)2, 解得a=12. 1 4X SAAO=4X2X12X5=120, ∴.该飞镖状图案的面积为120. 复习课 【复习训练】 1.D2.C3.C 4.D点拨：展开如图，连接AC,则新长方形的 长增加2MN=4(米)，宽度不变，由此可得 新长方形的长AB=20十4=24（米）.根据勾 股定理得AC=√AB+BC=√24+10= 26(米).故选D.