20.2.4 勾股定理的逆定理-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

第3课时利用勾股定理作图、计算 基础过关 1.如图20一3-1，在数轴上点A所表示的数为 则点B到线段AC的距离为 a,则a的值为 ( A号 B.2 C.√2 D.2√2 A.-√5 B.√5 C.-2 D.√2 012 图20-3-1 图20-3-2 图20一3-5 图20-3-6 2.如图20一3一2，在数轴上，点A,B对应的实 数分别为1,3，BC⊥AB,BC=1,以点A为圆 6.【教材P29练习T2变式】如图20一3一6，在 心，AC长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 △ABC中，AB=4√2，AC=5,BC=7,则 P,则点P对应的实数为 △ABC的面积为 ( A.12 B.14 C.15 A.5+1 D.16 B.√5 7.如图20-3-7所示，在Rt△ABC中，∠B= C.√5+3 D.4√5 90°，AB=4,BC=8,将Rt△ABC折叠，使点 3.如图20一3一3，在平面直角坐标系中，点P C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M, 的坐标为（一2,3），以点O为圆心，OP长为 交BC于点N,则线段BN的长为 半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的 横坐标介于 B15 C.4 D. 3 A.一4和-3之间 B.3和4之间 7C(1.6) C.-5和-4之间 D.4和5之间 2 B(6.2) AL,2) -1234567支 图20-3-7 图20-3-8 图20-3-3 图20-3-4 8.如图20一3-8所示，在平面直角坐标系中， 4.如图20一3-4，在3×4的正方形网格（每个 A(1,2),B(6,2),C(1,6),则BC 小正方形的边长都是1)中，标记格点A,B, 9.如图20一3一9，正方形网格中 C,D,则下列线段长度为10的是 ( 的每个小正方形的边长都是 A.线段AB B.线段BC 1,任意连接这些小正方形的顶 C.线段AC D.线段BD 点，可得到一些线段.请在图中 5.如图20一3-5，在由边长均为1的小正方形 画出三条线段AB,CD,EF,使 图20-3-9 组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上， AB=√5，CD=2√2，EF=/13. 素养提升 1.如图20-3一10，数轴上点 3.为了比较√/10与√5+1的大小，可以构造如图 A,B分别对应1,2，过点B A B 20-3一12所示的图形进行推算，其中∠C= 作PQ⊥AB,以点B为圆 012M3 90°，BC=3,点D在BC上，且BD=AC=1. 心，以AB长为半径画弧， Q 通过计算可得√10 √5十1（填“>” 交PQ于点C,以点A为圆 图20-3-10 “<”或“=”) 心，以AC长为半径画弧，在点A的右侧交数 4.如图20一3一13所示，把一张长方形纸片 轴于点M,则点M对应的数是 ( ABCD折叠起来，EF为折痕，使其对角顶点A A.√2+1 B.√5 与C重合，D与G重合.若长方形的长BC= C.5 D.√5-1 8,宽AB=4. 2.如图20-3-11，在Rt△ABC中，∠ACB= (1)求DE的长； 90°，AC=6,BC=4,D是边AC的中点，E是 (2)求EF的长； 边BC上一点，连接BD,DE.将△CDE沿 (3)求△GED的面积. DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE= 图20-3-13 D 图20-3-11 图20一3一12 综合探究 如图20-3一14①，C为线段BD上一动点，设 「T-T-T-TT7 CD=x,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD, 上+-++-+-+ 1-+ 连接AC,EC.已知AB=2,DE=1,BD=8. -+-+-+-+-+- -+-+-+-+-+- (1)用含x的代数式表示AC+CE的长为 -1.i. 图20-3-14 (2)AC+CE的最小值为 (3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图20一3 14①在由边长均为1的小正方形组成的网 格（图20一3-14②）中构图，并求代数式 √x2+1+√(3-x)2+4的最小值.第3课时利用勾股定理作图、计算 【基础过关】 1.A2.A 3.A点拨：点P的坐标为（一2,3），.OP= √2十3=√13..点A,P均在以点O为圆 心，OP长为半径的圆上，∴.OA=OP= 13.9<13<16,.3<13<4..点A 在x轴的负半轴上，·点A的横坐标介于 一4和一3之间.故选A. 4.B5.C6.B7.B 8.√/41 9.解：如图.（画法不唯一） E 【素养提升】 1.A点拨：连接AC.根据题意可得BC AB=1,∠ABC=90°.在Rt△ABC中，根据 勾股定理得AC=AB十BC=2,∴.AC= √2..AM=AC=√2，.点M对应的数是 √2+1.故选A. 2.8 3.< 4.解：(1)由折叠可知DE=GE,AG=CD= AB=4.设DE=x, 则AE=8一x, 在Rt△AEG中，由勾股定理得AG+GE= AE2, .16十x2=(8-x)2,解得x=3, .DE=3. (2)如图所示，过点F作FH⊥AD于点H, 则FH=AB=4.在Rt△ABF中， .由折叠可知AF=FC,由勾股定理， 得BF2=AF2-AB, 即BF2=(8-BF)2-16, ..BF=AH=3..'AE=AD-DE=5, ..EH=AE-AH=2, ∴.由勾股定理，得EF=FH+HE=42+ 22=20. ∴.EF=2√5（负值已舍去）. (3)如图所示，过点G作GM⊥AD于点M. SoA-AGXGE-zAEXGM. GM=号Sm=2 xGMXDE=-9 【综合探究】 解：(1)W4+(8-x)2十√1十x (2)√/73 (3)(画法不唯一)如图，已知AB=1,DE=2, BD=3,P为线段BD上一动点. 上-+-+-+ 设BP=x,则根据勾股定理得AP= √x2+1,PE=√/(3-x)2+4, ∴.AP+PE=√x2+1十√(3-x)+4, 由(2)可知√x2十1十√3-x)2十4的最小值 即为A,E两点之间的距离， .AE=√32十32=3√2， ∴.易得√x2+1+√/(3-x)2+4的最小值为3√2. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第4课时勾股定理的逆定理 【基础过关】 1.B2.D3.C 4.等腰直角三角形 5.11,60,61点拨：由题意，得第⑤组勾股数 的第1个数为11.设第2个数为x,则第 3个数为x十1.由勾股定理，得112+x2= （x十1)2，解得x=60,.x十1=61，∴.第⑤ 组勾股数为11,60,61. 6.√27.908.(1)90(2)45 9.解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据 勾股定理， AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2. .AD=12,BD=16,CD=5, .AB=20,AC=13. ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+ AC+BD+CD=20+13+16+5=54. (2)△ABC不是直角三角形.理由如下： .AB=20,AC=13,BC=16+5=21, AB+AC”≠BC”, .△ABC不是直角三角形. 【素养提升】 1.B2.D 3.(1)证明：连接BE, .D是AB边的中点，DE⊥AB, ∴.DE垂直平分AB,∴AE=BE 又.AE2-CE=BC, .'BE2-CE2=BC2, 即BE=BC+CE, .△BCE是直角三角形，∴.∠C=90°. (2)解：在Rt△BDE中，由勾股定理， 得BE=√DE+BD=10,∴.AE=10. 设CE=x,则AC=10十x. .BD=8,∴.AB=2BD=16, 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC=AB-AC=16-(10+x)2, 在Rt△BCE中，由勾股定理， 得BC=EB2-EC=102-x2, .162-(10+x)2=102-x2, 解得x=2.8,.CE=2.8. 【综合探究】 解：(1)锐角 (2)13或√119 (3)这个三角形是直角三角形 理由：.(m2-n2)2+(2mm)2 =m4-2mn2+n+4m2n2 =m4十2m2n2+n =(m2+n2)2, ∴这个三角形是直角三角形 第5课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【基础过关】 1.A 2.不垂直 3.84点拨：.72+24=25，∴.张大伯家的 菜地是一个直角三角形，且25m是三角形 最长边的长度，“这块菜地的面积是× 7×24=84(m2). 4.905.90 6 ,点拨：如图，令CC与 AB的交点为O.AB= 10,BC=6,AC=8,102= 62+8,.AC+BC =AB2, ∴.∠ACB=90. 根据对称轴的性质得OC= OC,CC⊥AB. S三2AC·BC-=2AB·OC 0C=AC,BC_8X6_24 AB 10-5 ∴CC'=20C=48 1 7.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： '.'AC=24cm,CB=18cm,AB=30cm. ∴.AC2+CB2=242+182=576+324=900= 302=AB2, '.△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形， (2)设点C到AB的距离为h, .△ABC为直角三角形， ∴.AC·BC=AB·h. -AC c (m). AB 30 :点C到AB的距离为号cm