专项提升训练11：三角形、平行四边形和梯形解决问题（知识点梳理+题型分类训练共44题）-2025-2026学年四年级下册数学苏教版

专项提升训练11：三角形、平行四边形和梯形解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、梯形与平行四边形的特征 1.梯形的高：从梯形一条底边上的一点到它对边的( )线段叫做梯形的高。梯形有( )条高，它们的长度都( )。 2.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做( )梯形。 3.平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向( )引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。 4.图形分割： 一个平行四边形可以被一条线段分成一个三角形和一个( )形。 一个梯形可以被一条线段分成一个三角形和一个( )形，或者分成两个( )形。 二、三角形的特性与计算 5.三角形的分类： 三个角都是锐角的三角形是( )三角形。 有一个角是直角的三角形是( )三角形。 有一个角是钝角的三角形是( )三角形。 两条边相等的三角形是( )三角形；三条边都相等的三角形是( )三角形（也叫正三角形）。 6.内角和与外角： 三角形的内角和是( )°。 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之( )。（拓展：三角形的外角和是360°） 7.三边关系：三角形任意两边之和( )第三边；任意两边之差( )第三边。 8.三角形的高：一个三角形有( )条高。等边三角形的3条高长度( )。从直线外一点到这条直线，( )线段最短。 三、图形的稳定性与应用 9.稳定性：三角形具有( )性，四边形具有不稳定性。为了防止四边形木架变形，至少需要钉上( )根木条将其分割成三角形。 10.正多边形拼接：用边长相同的正三角形和正方形铺满地面时，若每个顶点周围有 个正三角形和 个正方形，则 和 需满足关系式： 。（注：此题基于多边形密铺原理，文档中涉及相关逻辑） 题型分类训练 【题型1】基础题 1．在梯形的一组平行的对边之间画一条垂线段长3厘米，这个梯形的高是( )厘米。 2．下面的直角梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 3．两条平行线之间的距离是4厘米，在这两条平行线间画一个梯形（梯形上、下底是两条直线的一部分），梯形的高是( )厘米。 4．从平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高；梯形的1条高可以把梯形分成一个( )形和一个( )形或者是分成两个( )形。 5．按要求画图。 （1）以A为顶点，画一个65°的角。 （2）以线段BC为底画一个等腰梯形，并画一条高。 （3）画一条线段，把所画梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 6．按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 7．下边是一张长方形纸对折两次后的展开图。 （1）以展开图上的10个交点为顶点，画出不同的梯形，并说说梯形的上底、下底和高各是多少厘米。 （2）能画出不同的平行四边形吗？它们的底和高各是多少？ 8．小华画了一个直角三角形，然后又把一条边延长了一段（如下图），经过测量，小华知道了∠1＝54°。请你算一算，∠3的度数是多少？ 9．“三角形王国”要举行舞会了，各种形状的三角形都来参加了，但它们来的时候都把一部分角藏了起来（如下图）。亲爱的小朋友，你能猜出它们的名字吗？ 10．一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 5＋3＝8（厘米） 12－4＝8（厘米） 11．如图，三角形的三条边都相等，画出它所有的高，并量出所有高和底边的长。 （1）这个三角形有（    ）条高，这些高的长度（    ）。（填“相等”或“不相等”）。 （2）比一比：高的长度（    ）底边的长度，因为（         ）。 12．李老师用三根小棒（长度为整厘米数）摆三角形（如图），则被遮住的一条边的长可能是几厘米？ 13．一块三角形的木板，被一块长方形木板遮住了一个角，经测量，∠1是55°，∠2是71°。被遮住的这个角是多少度？ 14．星期六，小明在家用一根竹条折成了一个等腰三角形的风筝框架。（充分考虑写出所有情况） （1）如果测得其中一个角是48度，另外两个角分别是多少度？ （2）如果量得这根竹条长是60厘米和其中一条边长是18厘米，另外两条边分别是多少厘米？ 15．“三月三”活动日当天，二（2）班玩起了猫抓老鼠的游戏，各个角色需要佩戴头饰。其中，老鼠头饰是一个直角三角形（如图所示），你知道另一个锐角是多少度吗？ 【题型2】进阶题 16．如图是由边长为4厘米和3厘米的两个正方形组成的，则梯形ABCD的高是( )厘米，上、下底之和是( )厘米。 17．一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是( )厘米。 18．水泊梁山风景区开展“水浒文化·趣味剪纸”活动，小刚剪了一个下底是9厘米的直角梯形，如果将这个梯形的下底减少3厘米，它就变成了正方形；原来直角梯形的高是( )厘米。 19．木材场的工人把木材堆成了如下图的形状，这是一个( )形，它有( )条高。 20．如下图，将一张直角三角形纸与一张长8厘米、宽3厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 21．画出每个图形底边上的一条高。 22．画出下面图形给定底边上的高。 23．在方格纸上画图。在下侧方格纸内，以AB为底，画一个高是2厘米的梯形。 24．如下图，四边形ABCD是梯形，∠B＝45°。 （1）画一条线段，把梯形ABCD分割成一个三角形和一个平行四边形。 （2）过点A画出梯形ABCD的高，并标出垂足O。 （3）三角形BAO既是（    ）角三角形，又是（    ）三角形。 25．学校计划建几个三角形植物园，三边的长度设计如下。 植物园一：5米  5米  10米 植物园二：4米  4米  3米 植物园三：3米  8米  12米 你认为哪个植物园可以建成，哪个植物园不能建成？并说说你的理由。 26．同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？你会推算出来吗？ 27．爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，其中一条边长为35cm。打算给风筝绑上一圈丝带，准备了1m长的丝带，够用吗？ 28．如图： （1）请画出三角形ABC中AC边上的高。 （2）玲玲说：“它是直角三角形。”轩轩说：“它是等腰三角形。”玲玲和轩轩的说法对吗？请说明理由。 29．非洲鸵鸟是原始的残存鸟类之一，也是现存最大的鸟类之一，飞行能力已完全退化，但奔跑能力极强。成鸟身高可达2.5米，体重约150千克，冲刺速度可达每小时70千米以上。请你从数学的角度做出判断，假如下面这只鸵鸟身高2.5米，腿长1.15米，那么它一步能走2.8米吗？用你喜欢的方式说明理由。 30．生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 31．海海、乐乐和园园分别测量三个不同的等腰三角形的边长，根据他们测量的结果判断谁测量错了，并说明理由。 32．李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 33．如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 34．画一画，说一说。 (1)把下面的三角形分成两个三角形，且分出的两个三角形中有一个是等边三角形。 (2)想一想，（1）中分出的另一个三角形是等腰三角形吗？请说说理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练11：三角形、平行四边形和梯形解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、梯形与平行四边形的特征 1.梯形的高：从梯形一条底边上的一点到它对边的( )线段叫做梯形的高。梯形有( )条高，它们的长度都( )。 2.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做( )梯形。 3.平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向( )引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。 4.图形分割： 一个平行四边形可以被一条线段分成一个三角形和一个( )形。 一个梯形可以被一条线段分成一个三角形和一个( )形，或者分成两个( )形。 二、三角形的特性与计算 5.三角形的分类： 三个角都是锐角的三角形是( )三角形。 有一个角是直角的三角形是( )三角形。 有一个角是钝角的三角形是( )三角形。 两条边相等的三角形是( )三角形；三条边都相等的三角形是( )三角形（也叫正三角形）。 6.内角和与外角： 三角形的内角和是( )°。 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之( )。（拓展：三角形的外角和是360°） 7.三边关系：三角形任意两边之和( )第三边；任意两边之差( )第三边。 8.三角形的高：一个三角形有( )条高。等边三角形的3条高长度( )。从直线外一点到这条直线，( )线段最短。 三、图形的稳定性与应用 9.稳定性：三角形具有( )性，四边形具有不稳定性。为了防止四边形木架变形，至少需要钉上( )根木条将其分割成三角形。 10.正多边形拼接：用边长相同的正三角形和正方形铺满地面时，若每个顶点周围有 个正三角形和 个正方形，则 和 需满足关系式： 。（注：此题基于多边形密铺原理，文档中涉及相关逻辑） 参考答案 一、梯形与平行四边形的特征 1.垂直；无数；相等 2.直角 3.对边 4.梯；直角梯；直角梯（或根据具体分割方式填“平行四边”等，此处依据文档通用描述） 二、三角形的特性与计算 5.锐角；直角；钝角；等腰；等边 6.180；和 7.大于；小于 8.3；相等；垂 三、图形的稳定性与应用 9.稳定；1 10.360 题型分类训练 【题型1】基础题 1．在梯形的一组平行的对边之间画一条垂线段长3厘米，这个梯形的高是( )厘米。 【答案】3 【分析】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，梯形的高是梯形两底之间的垂线段，据此答题。 【详解】在梯形的一组平行的对边之间画一条垂线段长3厘米，这条垂线段就是梯形的高，所以这个梯形的高是3厘米。 2．下面的直角梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 8 11 4 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；梯形上底到下底的距离是梯形的高，依此填空。 【详解】根据题意可知：图中直角梯形的上底是8厘米，下底是11厘米，高是4厘米。 【点睛】熟练掌握直角梯形的特点是解答此题的关键。 3．两条平行线之间的距离是4厘米，在这两条平行线间画一个梯形（梯形上、下底是两条直线的一部分），梯形的高是( )厘米。 【答案】4 【分析】高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高。因为梯形是在这两条平行线之间画的，已知两条平行线之间的距离是4厘米，所以这个梯形的高就是两条平行线之间的距离，即4厘米。 【详解】由分析可知，两条平行线之间的距离是4厘米，在这两条平行线间画一个梯形（梯形上、下底是两条直线的一部分），梯形的高是4厘米。 4．从平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高；梯形的1条高可以把梯形分成一个( )形和一个( )形或者是分成两个( )形。 【答案】 2 三角 直角梯 直角梯 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 梯形上底到下底的距离是梯形的高，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；依此画图并填空即可。 【详解】如下图所示： 由此可知，从平行四边形的一个顶点向对边可以作2条高；梯形的1条高可以把梯形分成一个三角形和一个直角梯形或者是分成两个直角梯形。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握平行四边形和梯形的高及画法，以及直角梯形的特点。 5．按要求画图。 （1）以A为顶点，画一个65°的角。 （2）以线段BC为底画一个等腰梯形，并画一条高。 （3）画一条线段，把所画梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】（1）用量角器画角：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合，根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角，据此以点A为顶点，画一个65°的角； （2）根据等腰梯形的特征：等腰梯形的上、下底平行，两腰相等，画出图形即可；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使上底的一个顶点在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线，也是等腰梯形的一条高； （3）平行四边形有两组对边平行且相等，过等腰梯形上底的一个顶点画腰的平行线即可把这个梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【详解】（1）（2）（3）如图： （画法不唯一） 6．按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）平行四边形的两组对边平行且相等。以斜着的边上面的端点为一点，过这点画下面边的平行线。再以下面边的右边端点为一点，过这个点画斜边的平行线。两条平行线的交点就是平行四边形的一个顶点。据此画出图形。 （2）梯形只有一组对边平行。过平行四边形的一个顶点画一条线，这样就可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 （3）从梯形的上底到下底的垂直线段，就是梯形的高。把直角三角尺的一条直角边与梯形的下底重合，沿着另一条直角边画线段，让这条线段过上底，所画线段即为梯形的高，标上垂直符号。 【详解】（1）画法如下所示： （2）画法如下所示：（答案不唯一） （3）画法如下所示：（答案不唯一） 7．下边是一张长方形纸对折两次后的展开图。 （1）以展开图上的10个交点为顶点，画出不同的梯形，并说说梯形的上底、下底和高各是多少厘米。 （2）能画出不同的平行四边形吗？它们的底和高各是多少？ 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫梯形的底，较短的是上底，较长的是下底，两底间的距离是高。据此画出图形即可。 （2）平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形，任意一边作底，从对边一点向底作垂线，这点与垂足间线段是高。据此画出图形即可。 【详解】（1）如图：（答案不唯一） 比如画黑色梯形，上底2厘米、下底4厘米、高3厘米；红色梯形上底2厘米、下底6厘米、高3厘米。 （2） 如图：（答案不唯一） 答：能画出不同的平行四边形，比如黑色平行四边形的底为4厘米、高为3厘米；红色平行四边形底为2厘米、高为3厘米。 8．小华画了一个直角三角形，然后又把一条边延长了一段（如下图），经过测量，小华知道了∠1＝54°。请你算一算，∠3的度数是多少？ 【答案】144° 【分析】三角形内角和为180°，已知三角形是直角三角形，那么∠1＋∠2＋90°＝180°，所以∠1＋∠2＝90°，已知∠1＝54°那么用90°减去∠1的度数即可得知∠2的度数，∠2和∠3组成了一个平角，平角＝180°，所以∠2＋∠3＝180°，用180°减去∠2的度数，即可得知∠3的度数。 【详解】∠1＋∠2＝90° ∠1＝54° ∠2＝90°－∠1＝90°－54°＝36° ∠3＝180°－∠2＝180°－36°＝144° 答：∠3的度数是144° 9．“三角形王国”要举行舞会了，各种形状的三角形都来参加了，但它们来的时候都把一部分角藏了起来（如下图）。亲爱的小朋友，你能猜出它们的名字吗？ 【答案】第一个是锐角三角形，第二个是钝角三角形，第三个是直角三角形。 【分析】三个角都小于的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，通过露出的一个角或两个角的度数判断三角形的类型。 【详解】第一个图中已知两个角，可以将两条边进行延长，得到完整的三角形，通过观察，可以发现，三个角都小于，该三角形是锐角三角形。 第二个露出的角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 第三个露出的角是直角，所以这个三角形是直角三角形。 10．一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 【答案】8厘米；画图见详解 【分析】直角梯形的上底增加3厘米，下底减少4厘米就变成了正方形，根据正方形的四条边相等，那么可知梯形的高与变化后的上底边长度是一样的。据此解答即可。 【详解】 5＋3＝8（厘米） 12－4＝8（厘米） 答：这个直角梯形的高是8厘米。 11．如图，三角形的三条边都相等，画出它所有的高，并量出所有高和底边的长。 （1）这个三角形有（    ）条高，这些高的长度（    ）。（填“相等”或“不相等”）。 （2）比一比：高的长度（    ）底边的长度，因为（         ）。 【答案】 画高、量高和量底见详解 （1）3；相等 （2）小于；垂线段最短 【分析】画三角形的高：经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，再用直尺量出高和底边的长度。根据垂直线段的性质可知，从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。 【详解】三角形的高，如图： 三条高的长度都是3厘米，三条边的长度都是3.5厘米（以具体测量为准）； （1）根据图示可知，这个三角形有3条高，这些高的长度相等； （2），如图所示，由点A分别向线段BC画垂直线段AD、斜线段AB和斜线段AC；根据垂直线段的性质可知，垂线段AD比斜线段AB小棒短，也就是高的长度小于底边的长度，因为从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段的长度最短。 12．李老师用三根小棒（长度为整厘米数）摆三角形（如图），则被遮住的一条边的长可能是几厘米？ 【答案】可能是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米。 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行分析进而得出结论。 【详解】8－6＝2（厘米） 8＋6＝14（厘米） 2厘米＜被遮住的一条边的长＜14厘米 答：被遮住的一条边的长可能是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米。 13．一块三角形的木板，被一块长方形木板遮住了一个角，经测量，∠1是55°，∠2是71°。被遮住的这个角是多少度？ 【答案】54° 【分析】根据三角形内角和定理可知，任何一个三角形的三个内角之和都为180°。在本题的三角形木板中，三个内角分别为∠1、∠2以及被遮住的角，它们的度数之和是180°。 计算被遮住角的度数，已知∠1＝55°，∠2＝71°，那么被遮住角的度数就等于三角形内角和180°减去∠1的度数再减去∠2的度数。 【详解】180°－55°－71°＝54° 答：被遮住的这个角是54°。 14．星期六，小明在家用一根竹条折成了一个等腰三角形的风筝框架。（充分考虑写出所有情况） （1）如果测得其中一个角是48度，另外两个角分别是多少度？ （2）如果量得这根竹条长是60厘米和其中一条边长是18厘米，另外两条边分别是多少厘米？ 【答案】（1）48度和84度或66度和66度 （2）18厘米和24厘米或21厘米和21厘米 【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，而且等腰三角形的三个角的和是180度。如果48度是等腰三角形的底角，则用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数；如果48度是等腰三角形的顶角，则用三角形的内角和减去48度，再除以2，即可求出等腰三角形的底角； （2）等腰三角形两条腰相等，其中一条边是18厘米，则腰可能是18厘米；如果腰是18厘米，则用60减去两条腰的长度，即可求出第三条边的长度；再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断是否满足要求；如果腰不是18厘米，则用60减去18，然后除以2即可求出腰的长度，再根据三角形三边关系，判断是否满足要求。 【详解】（1）如果48°是等腰三角形的底角，顶角是： （度） 如果48度是等腰三角形的顶角，底角是： （度） 答：如果48度是等腰三角形的底角，则另外两个角分别是48度和84度；如果48度是等腰三角形的顶角，则另外两个角分别是66度和66度； （2）如果腰是18厘米，底边的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、18厘米和24厘米，18＋18＞24，所以满足三角形三边关系； 如果底边是18厘米，腰的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、21厘米和2厘1米，18＋21＞21，所以满足三角形三边关系； 答：如果腰是18厘米，则另外两条边分别是18厘米和24厘米；如果底边是18厘米，则另外两条边分别是21厘米和21厘米。 15．“三月三”活动日当天，二（2）班玩起了猫抓老鼠的游戏，各个角色需要佩戴头饰。其中，老鼠头饰是一个直角三角形（如图所示），你知道另一个锐角是多少度吗？ 【答案】60度 【分析】三角形的内角和是180度，图中的三角形是一个直角三角形，有一个角是直角90度，有一个锐角30度，求第三个角即（180－90－30）度解答。 【详解】180－90－30 ＝90－30 ＝60（度） 答：另一个锐角是60度。 【题型2】进阶题 16．如图是由边长为4厘米和3厘米的两个正方形组成的，则梯形ABCD的高是( )厘米，上、下底之和是( )厘米。 【答案】 4 7 【分析】通过观察图形可知，梯形ABCD的高等于大正方形的边长，上、下底之和为大、小正方形的边长和，据此解答即可。 【详解】4＋3＝7（厘米） 如图是由边长为4厘米和3厘米的两个正方形组成的，则梯形ABCD的高是4厘米，上、下底之和是7厘米。 17．一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是( )厘米。 【答案】7 【分析】根据题意，一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，所以延长后的正方形的边长为4＋3＝7厘米，由正方形的定义可得，正方形的边长等于正方形的高，直角梯形延长后的上底并没有改变原来梯形的高，所以这个梯形的高等于正方形的高，据此解答即可。 【详解】4＋3＝7（厘米） 一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是7厘米。 18．水泊梁山风景区开展“水浒文化·趣味剪纸”活动，小刚剪了一个下底是9厘米的直角梯形，如果将这个梯形的下底减少3厘米，它就变成了正方形；原来直角梯形的高是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据题意可知，将这个梯形的下底减少3厘米，它就变成了正方形，正方形四条边都相等，用原来下底的长度减去减少的长度，即可求出该正方形的边长，直角梯形有两个角是直角，且和上底下底垂直的那条腰也是该直角梯形的高，即和正方形边长一样长。 【详解】 如图： 9－3＝6（厘米） 因此，原来直角梯形的高是6厘米。 19．木材场的工人把木材堆成了如下图的形状，这是一个( )形，它有( )条高。 【答案】 梯 无数 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。由图可知，木材堆成的形状是梯形。它的高如下图： 由图可知，梯形有无数条高。 【详解】木材场的工人把木材堆成了如图的形状，这是一个梯形，它有无数条高。 20．如下图，将一张直角三角形纸与一张长8厘米、宽3厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 梯 3 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。由图可知，将一张直角三角形纸与一张长8厘米、宽3厘米的长方形纸交叉摆放，重叠部分是一个四边形且这个四边形有一组对边互相平行，所以重叠部分是一个梯形。梯形的高和长方形的宽长度相等，所以这个梯形的高是3厘米。 【详解】由分析可知，重叠部分是一个梯形，它的高是3厘米。 21．画出每个图形底边上的一条高。 【答案】见详解 【分析】从三角形一个顶点向它的对应边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称为三角形这条边上的高，这条边叫做底； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； 梯形的高，过梯形上底的一个顶点向下底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形的一条高；据此解题即可。 【详解】画出每个图形底边上的一条高，如下图： （画法不唯一） 22．画出下面图形给定底边上的高。 【答案】图见讲解 【分析】根据图示，三角形的高是“从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段”。对于给定的底边，需找到与该底边相对的顶点，用三角板的直角边对齐底边，另一条直角边向顶点平移，画出垂线（高），并标注直角符号，据此解答。 根据图示，四边形（此处为梯形类图形）的高是“两底之间的垂线段”。对于给定的底边，找到与该底边相对的边，从对边上的任意一点（通常选顶点）向底边作垂线，用三角板的直角边辅助画出垂线（高），并标注直角符号，据此解答。 【详解】综上所述可得 23．在方格纸上画图。在下侧方格纸内，以AB为底，画一个高是2厘米的梯形。 【答案】见详解 【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条边叫上底，另外两边叫腰，两底间的距离就是梯形的高。在线段AB的上方高2厘米处画一条平行于AB的线段作为上底，然后再用两条线段分别连接上下两个线段的端点，即可画一个高是2厘米的梯形。（画法不唯一） 【详解】 画法不唯一 24．如下图，四边形ABCD是梯形，∠B＝45°。 （1）画一条线段，把梯形ABCD分割成一个三角形和一个平行四边形。 （2）过点A画出梯形ABCD的高，并标出垂足O。 （3）三角形BAO既是（    ）角三角形，又是（    ）三角形。 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）直；等腰 【分析】（1）把直角三角尺的一条直角边与AB重合，把直尺与三角尺的另一条直角边紧靠，固定直尺，移动直角三角尺，当点D在三角尺的一条直角边上时，沿着直角三角尺的直角边过点D画直线使之与边BC相交，此时所画线段左边是一个平行四边形，右边是一个三角形。 （2）把直角三角尺与梯形的下底重合，使得上底上的一点在三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，沿着这条直角边过这一点向底边画线段，即为梯形的高，最后标出垂足O即可。 （3）三角形内角和是180°，其中有一个角是直角，一个角是45°，用180°减90°，再减45°即可求出这个三角形第三个内角的度数，第三个内角是45°，这个三角形有2个内角相等，即为等腰三角形，三角形BAO中最大的内角是直角，即这个三角形是直角三角形。 【详解】 （1）（2） （3）180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 三角形BAO既是直角三角形，又是等腰三角形。 25．学校计划建几个三角形植物园，三边的长度设计如下。 植物园一：5米  5米  10米 植物园二：4米  4米  3米 植物园三：3米  8米  12米 你认为哪个植物园可以建成，哪个植物园不能建成？并说说你的理由。 【答案】植物园二可以建成，植物园一和植物园三不能建成；理由见详解 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。由题意得，直接利用三角形三边的关系来判断每个植物园的三边能否围成三角形即可。 【详解】植物园一：5＋5＝10（米），10米＝10米，即这三边无法围成三角形。所以植物园一无法建成。 植物园二：3＋4＝7（米），7米＞4米，即这三边可以围成三角形。所以植物园二可以建成。 植物园三：3＋8＝11（米），11米＜12米，即这三边无法围成三角形。所以植物园三无法建成。 答：植物园二可以建成，植物园一和植物园三不能建成。 26．同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？你会推算出来吗？ 【答案】360° 【分析】利用三角形内角与相邻外角的和为180°以及三角形内角和为180°来推导三角形外角和。 【详解】因为∠1与∠4组成平角，所以∠1＋∠4＝180°；同理∠2＋∠5＝180°；∠3＋∠6＝180°。 那么三角形的内角和（∠1＋∠2＋∠3）与外角和（∠4＋∠5＋∠6）的总和为3×180°＝540°。 已知三角形的内角和∠1＋∠2＋∠3＝180°。 又因为三角形的内角和与外角和的总和是540°。 所以三角形的外角和∠4＋∠5＋∠6＝540°－180°＝360°。 答：三角形的外角和是360°。 27．爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，其中一条边长为35cm。打算给风筝绑上一圈丝带，准备了1m长的丝带，够用吗？ 【答案】 不够用 【分析】根据题意，明确1米＝100厘米，已知爸爸给小亮做了一个三角形风筝，它的每个内角都是60°，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。其中一条边长为35厘米，三角形的周长用35乘3，求出的乘积，再与100厘米进行比较，如果大于100，就不够，否则，就够用，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 1米＝100厘米 35×3＝105（厘米） 105＞100 答：准备了1m长的丝带，不够用。 28．如图： （1）请画出三角形ABC中AC边上的高。 （2）玲玲说：“它是直角三角形。”轩轩说：“它是等腰三角形。”玲玲和轩轩的说法对吗？请说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）玲玲和轩轩的说法都对。理由见详解 【分析】（1）画AC边上的高，从点B向AC边作垂线，垂足为D，线段BD就是AC边上的高。 （2）因为∠B＝90°（图中AB与BC垂直，有直角符号），根据直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形，所以三角形ABC是直角三角形。 已知AB＝10cm，BC＝10cm，根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，这里AB＝BC，所以三角形ABC是等腰三角形。据此解答即可。 【详解】 （1） 线段BD即为AC边上的高。 （2）已知∠B＝90°，所以三角形ABC是直角三角形。已知AB＝10cm，BC＝10cm，AB＝BC，所以三角形ABC是等腰三角形。所以玲玲和轩轩的说法都对。 29．非洲鸵鸟是原始的残存鸟类之一，也是现存最大的鸟类之一，飞行能力已完全退化，但奔跑能力极强。成鸟身高可达2.5米，体重约150千克，冲刺速度可达每小时70千米以上。请你从数学的角度做出判断，假如下面这只鸵鸟身高2.5米，腿长1.15米，那么它一步能走2.8米吗？用你喜欢的方式说明理由。 【答案】不能；理由见详解 【分析】已知鸵鸟的腿长1.15米，当鸵鸟行走时它的两条腿和地面形成一个三角形，根据三角形两条边之和大于第三条边来判断鸵鸟一步能否走2.8米。 【详解】1.15＋1.15＝2.3（米） 2.3＜2.8 答：它一步不能走2.8米。 30．生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【答案】见详解 【分析】工人用木条固定长方形门框时，在门框上钉一根斜拉的木条，就和门框的两边构成了一个三角形。由于三角形具有稳定性，这种结构能有效防止门框变形，而原本长方形门框是四边形形态（属于不稳定结构）。据此解答。 【详解】答：因为长方形具有不稳定性的特点，而三角形具有稳定性，所以工人师傅建房时，常用木条固定门框。（合理即可） 31．海海、乐乐和园园分别测量三个不同的等腰三角形的边长，根据他们测量的结果判断谁测量错了，并说明理由。 【答案】乐乐测量错了。因为乐乐测量的等腰三角形的两条腰长之和小于底长。 【分析】根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边） ，分别判断海海、乐乐、园园测量的等腰三角形边长是否符合关系，从而确定谁测量错了。 【详解】海海测量的等腰三角形腰长4厘米，底长6厘米， 两条腰长之和为（厘米），，满足三角形三边关系，所以海海测量正确。 乐乐测量的等腰三角形腰长4厘米，底长10厘米，  两条腰长之和为（厘米），，不满足三角形三边关系，所以乐乐测量错误。 园园测量的等腰三角形腰长10厘米，底长4厘米， 两条腰长之和为（厘米），，满足三角形三边关系，所以园园测量正确。 答：乐乐测量错了。因为乐乐测量的等腰三角形的两条腰长之和小于底长。 32．李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 【答案】我建议李奶奶选择：；理由见详解 【分析】依据是三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，方案①②④中包含四边形，容易变形，而方案③由多个三角形组成，能保持稳固不易变形。 【详解】应选择方案③，因为三角形具有稳定性，由三角形组成的篱笆结构比含四边形的结构更牢固。 33．如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【答案】1根；2根；3根；（n－3）根。 【分析】根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发与和它不相邻的点的连线的条数，即可确定需要再钉上几根木条，可以使该图形不变形。 【详解】如图：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；五边形木架至少要再钉上2根木条；六边形木架至少要再钉上3根木条；n边形木架至少要再钉上（n－3）根木条。 34．画一画，说一说。 (1)把下面的三角形分成两个三角形，且分出的两个三角形中有一个是等边三角形。 (2)想一想，（1）中分出的另一个三角形是等腰三角形吗？请说说理由。 【答案】(1)见详解 (2)是；理由见详解 【分析】（1）根据题意，明确等边三角形的三个内角都是60度，要求将一个三角形分成两个三角形，且其中一个为等边三角形。根据答案提示，原三角形中有一个90°的直角和一个30°的角。第三个角的度数是：180°－90°－30°＝60°；以60°的角为等边三角形的一个角，以短的一条直角边为角的一条边从直角顶点向对边画一条线，使两条线的夹角为60°，以此画出等边三角形。 （2）因为直角分出了一个60°的角后，剩下的角是90°－60°＝30°，有两个角相等的三角形是等腰三角形。所以（1）中分出的另一个三角形是等腰三角形。 【详解】（1）180°－90°－30°＝90°－30°＝60° （2）90°－60°＝30° 30°＝30° 答：有两个角相等的三角形是等腰三角形。所以（1）中分出的另一个三角形是等腰三角形。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $