第二单元 图形的运动（二）（知识清单）数学北师大版三年级下册(新教材)

第二单元 图形的运动（二） 知识清单 知识点一：轴对称（一） 1. 轴对称图形及对称轴： 将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形。折痕所在的这条直线称为对称轴（画对称轴时用虚线表示）。 2.轴对称图形的特点： （1）轴对称图形至少存在一条对称轴（如圆有无数条，爱心、半圆、等腰三角形各有1条，长方形有2条，正方形有4条）； （2）沿对称轴对折后，两侧的图形会完全重叠； （3）对称轴可以是垂直、水平或斜向的直线； 3.判断小技巧： 可以通过实际折一折，或画出对称轴观察两侧是否重合，来确定图形是否是轴对称图形。 知识点二：轴对称（二） 1.制作轴对称图形： 可先将纸张对折，接着在对折后的纸张单侧绘制或裁剪出图形的一半，最后将纸张展开，即可得到沿折痕对称、两侧完全重合的轴对称图形。 2.画轴对称图形另一半的技巧（方格纸中）： 先找图形一半的关键点（如顶点、拐角），数出关键点到对称轴的格子数，在对称轴另一侧相同格子数的位置标出“对称点”，最后把所有对称点依次连接，就能画出完整图形。 3.折叠裁剪的还原方法 对于纸张的折叠、裁剪操作，可结合轴对称图形“沿对称轴两侧完全重合”的特征，通过空间想象还原图形对称后的形态，准确判断纸张展开后的最终图形形状。 知识点三：平移和旋转 1.平移： 在同一平面内，把一个图形或物体整体沿某一方向做直线移动，这种现象叫做平移。 生活实例：电梯上下运行、推拉窗户、国旗升降、商场扶梯移动。 2.旋转： 把一个物体或图形围绕一个定点（或轴）做圆周运动，这种现象叫做旋转。 生活实例：风扇叶片转动、钟表指针走动、摩天轮旋转、汽车方向盘转动。 3.运动特征： （1）平移：物体仅位置改变，形状、大小、方向都不变； （2）旋转：物体位置、方向改变，形状、大小不变。 4.平移格数判断技巧： 选图形上一个明显的点（如长方形的右上角顶点），数这个点平移的格数，就是整个图形平移的格数（注意：数点移动的格子，不是图形间的间隔）。 知识点四：能移回去吗 1. 确定参考点： 首先确定参考点，再准确判断拼图的平移方向与平移格数，这是拼图归位的关键要素（参考点选拼图的顶点、图案突出处更易对齐）。 2.记录平移路线： 可通过“箭头+格数”（如“→4”“↑2”）的方式，清晰简洁地表示平移的步骤。 3.拼图复原的核心步骤： 确定参考点→规划平移路线→操作验证归位； 易错提醒：平移方向要以原图为参照（区分“上、下、左、右”）； 验证方法：拼图移回后，需与原始图案的线条、图案完全重合，确保归位正确。 知识点五：小小设计师 1.利用轴对称知识进行图形设计，能让作品呈现出规整协调的视觉美感，同时借助对称造型增强图形的表现力。 2.设计技巧：灵活采用全对称或部分对称形式，可借鉴生活中对称事物（如蝴蝶、窗花、脸谱）的造型，搭配花朵、星星等适配元素，让作品既符合要求又充满创意。 【例1】下面图形中，是轴对称图形的有 ，其中对称轴条数最多的是 ，它有 条对称轴。（前两空填序号） 【例2】现代中式建筑常用灯具作为装饰。下面的灯具图形中，第二行中的图形可能是由第一行中的哪个图形对折得到的？连一连。 【例3】在括号里填上“平移”或“旋转”。 【例4】看图填一填。 (1)先向 平移了 格，再向 平移了 格。 (2)先向 平移了 格，再向 平移了 格。 【例5】欣赏下面的图案，先说一说这些图案是怎样设计而成的，再填一填。（填“平移”“旋转”或“轴对称”） ( )               ( )              ( ) ( )                    ( )                  ( ) 我发现：一幅美丽的图案可以用一个简单的图形经过( )、( )或( )变换设计而成。 1．中国剪纸已经入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品名录。下列剪纸图案中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面是我们经常见到的一些平面图形，是轴对称图形的有( )个，图形( )的对称轴条数最多。 3．数学操作课上，张强将一张长方形纸对折后剪去3个圆（如图），展开后会得到图（    ）。 A． B． C． D． 4．把一张正方形纸对折一次，在对折好的纸上画两个图形，并镂空剪出图形（如下图所示），再把它展开，展开后的图案是（    ）。 A． B． C． D． 5．哪只小鸟由、●、、、和通过平移拼成的？画“√”。 6．“复兴号”动车组是中国自主研发的新一代高速列车，最高设计时速达400千米。一列“复兴号”列车在笔直、平坦的轨道上行驶，车轮的运动是( )现象，车身的运动是( )现象；列车驾驶员看到的铁轨可以看作( )图形。 7．（1）图1向（    ）平移了（    ）格。 （2）画出图2向左平移6格后的图形。 8．“俄罗斯方块”是一种益智游戏。如图，要想正好铺满最下面一层，需要将图形①（    ）。 A．先向右平移3格，再向下平移3格 B．先向右平移2格，再向下平移3格 C．先向右平移3格，再向下平移2格 9．你能根据已有图形自己设计一个漂亮的轴对称图形吗？在下面的方格图里画一画。 10．下面图形再涂上1格就成为轴对称图形，试一试有几种涂法。 11．在下面的括号里填上“旋转”或“平移”。 陈老师开车去上班，他打开车窗，车窗由上向下运动的现象，我们用数学的语言可以说成是( )，他沿着平坦的公路笔直的前行，汽车的运动我们可以说成是( )，到学校了，陈老师需要右转，于是他右转方向盘，此时，方向盘的运动是( )。 12．你能画出小树图的另一半吗？ 13．观察下图： （1）小蚂蚁要想吃到面包，需要先向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格。 （2）请你描出方格纸中三角形向左平移3格后的图形。 14．动手画一画。 （1）画出图1向下平移4格后的图形。 （2）画出图2先向上平移4格，再向左平移3格后的图形。 （3）将图3先向右平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格后到图4的位置。 15．下列图形中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． 16．数数下面图形各有几条对称轴。 ( )条              ( )条              ( )条 ( )条              ( )条              ( )条 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 图形的运动（二） 知识清单 知识点一：轴对称（一） 1. 轴对称图形及对称轴： 将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形。折痕所在的这条直线称为对称轴（画对称轴时用虚线表示）。 2.轴对称图形的特点： （1）轴对称图形至少存在一条对称轴（如圆有无数条，爱心、半圆、等腰三角形各有1条，长方形有2条，正方形有4条）； （2）沿对称轴对折后，两侧的图形会完全重叠； （3）对称轴可以是垂直、水平或斜向的直线； 3.判断小技巧： 可以通过实际折一折，或画出对称轴观察两侧是否重合，来确定图形是否是轴对称图形。 知识点二：轴对称（二） 1.制作轴对称图形： 可先将纸张对折，接着在对折后的纸张单侧绘制或裁剪出图形的一半，最后将纸张展开，即可得到沿折痕对称、两侧完全重合的轴对称图形。 2.画轴对称图形另一半的技巧（方格纸中）： 先找图形一半的关键点（如顶点、拐角），数出关键点到对称轴的格子数，在对称轴另一侧相同格子数的位置标出“对称点”，最后把所有对称点依次连接，就能画出完整图形。 3.折叠裁剪的还原方法 对于纸张的折叠、裁剪操作，可结合轴对称图形“沿对称轴两侧完全重合”的特征，通过空间想象还原图形对称后的形态，准确判断纸张展开后的最终图形形状。 知识点三：平移和旋转 1.平移： 在同一平面内，把一个图形或物体整体沿某一方向做直线移动，这种现象叫做平移。 生活实例：电梯上下运行、推拉窗户、国旗升降、商场扶梯移动。 2.旋转： 把一个物体或图形围绕一个定点（或轴）做圆周运动，这种现象叫做旋转。 生活实例：风扇叶片转动、钟表指针走动、摩天轮旋转、汽车方向盘转动。 3.运动特征： （1）平移：物体仅位置改变，形状、大小、方向都不变； （2）旋转：物体位置、方向改变，形状、大小不变。 4.平移格数判断技巧： 选图形上一个明显的点（如长方形的右上角顶点），数这个点平移的格数，就是整个图形平移的格数（注意：数点移动的格子，不是图形间的间隔）。 知识点四：能移回去吗 1. 确定参考点： 首先确定参考点，再准确判断拼图的平移方向与平移格数，这是拼图归位的关键要素（参考点选拼图的顶点、图案突出处更易对齐）。 2.记录平移路线： 可通过“箭头+格数”（如“→4”“↑2”）的方式，清晰简洁地表示平移的步骤。 3.拼图复原的核心步骤： 确定参考点→规划平移路线→操作验证归位； 易错提醒：平移方向要以原图为参照（区分“上、下、左、右”）； 验证方法：拼图移回后，需与原始图案的线条、图案完全重合，确保归位正确。 知识点五：小小设计师 1.利用轴对称知识进行图形设计，能让作品呈现出规整协调的视觉美感，同时借助对称造型增强图形的表现力。 2.设计技巧：灵活采用全对称或部分对称形式，可借鉴生活中对称事物（如蝴蝶、窗花、脸谱）的造型，搭配花朵、星星等适配元素，让作品既符合要求又充满创意。 【例1】下面图形中，是轴对称图形的有 ，其中对称轴条数最多的是 ，它有 条对称轴。（前两空填序号） 【答案】 ①③⑤ ① 4 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线即为对称轴。据此解答即可。 【详解】 ①有4条对称轴； ②没有对称轴； ③有1条对称轴； ④没有对称轴； ⑤有1条对称轴； 即下面图形中，是轴对称图形的有①③⑤，其中对称轴条数最多的是①，它有4条对称轴。 【例2】现代中式建筑常用灯具作为装饰。下面的灯具图形中，第二行中的图形可能是由第一行中的哪个图形对折得到的？连一连。 【答案】见详解 【分析】由题意得，将第一行中的图形对折，然后看其和第二行中的图形哪个符合。经过对折后，可以得到图形；经过对折后，可以得到图形；经过对折后，可以得到图形；经过对折后，可以得到图形。据此连线。 【详解】根据分析连线如下： 【例3】在括号里填上“平移”或“旋转”。 【答案】旋转；旋转；平移 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移； 在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转，据此填空即可。 【详解】 【例4】看图填一填。 (1)先向 平移了 格，再向 平移了 格。 (2)先向 平移了 格，再向 平移了 格。 【答案】(1) 右 4 下 5 (2) 上 5 左 5 【分析】要想知道图形平移的方向和格数，我们只要观察图上一点是怎么平移的就可以，平移后物体的形状和大小不变，位置发生改变。据此填空。 【详解】（1） 先向右平移了4格，再向下平移了5格。 （2） 先向上平移了5格，再向左平移了5格。 【例5】欣赏下面的图案，先说一说这些图案是怎样设计而成的，再填一填。（填“平移”“旋转”或“轴对称”） ( )               ( )              ( ) ( )                    ( )                  ( ) 我发现：一幅美丽的图案可以用一个简单的图形经过( )、( )或( )变换设计而成。 【答案】 轴对称 旋转 平移 平移 轴对称 旋转 平移 旋转 轴对称 【分析】平移时物体沿直线运动，本身方向不发生改变；旋转是物体绕着某一点或轴运动，本身方向发生了变化；轴对称图形的概念：一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合；据此解答。 【详解】根据分析： 观察发现图1是通过左右对称设计出来的，图2是通过旋转一片叶子设计出来的，图3是通过左右平移一面小旗设计出来的，图4是通过上下平移一个半圆环设计出来的，图5是通过左右对称设计出来的，图6是通过旋转一个月牙形设计出来的； 如图： 我发现：一幅美丽的图案可以用一个简单的图形经过平移、旋转或轴对称变换设计而成。 1．中国剪纸已经入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品名录。下列剪纸图案中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画出各选项图形的对称轴即可解答。 【详解】 A．有2条对称轴。        B． 有2条对称轴。 C． 有1条对称轴。 D．有6条对称轴。 所以，对称轴最多的是D。 故答案为：D 2．下面是我们经常见到的一些平面图形，是轴对称图形的有( )个，图形( )的对称轴条数最多。 【答案】 4 ② 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】 ①没有对称轴，不是轴对称图形； ②有4条对称轴，是轴对称图形；                         ③有3条对称轴，是轴对称图形； ④没有对称轴，不是轴对称图形； ⑤有2条对称轴，是轴对称图形； ⑥有1条对称轴，是轴对称图形； 是轴对称图形的是②③⑤⑥，有4个； 4＞3＞2＞1 平面图形中是轴对称图形的有（4）个，图形（②）的对称轴条数最多。 3．数学操作课上，张强将一张长方形纸对折后剪去3个圆（如图），展开后会得到图（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形对折，两边的图形可以完全重合，这样的图形叫轴对称图形；折痕所在的直线叫对称轴，轴对称图形对应的一组对称点到对称轴的距离相等；据此判断。 【详解】根据分析可知： 张强将一张长方形纸对折后剪去3个圆（如图），展开后会得到。 故答案为：B 4．把一张正方形纸对折一次，在对折好的纸上画两个图形，并镂空剪出图形（如下图所示），再把它展开，展开后的图案是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】展开后的图形是关于折痕对称的轴对称图形，这个轴对称图形紧邻对称轴的下面是两个星星，上面两个月亮分别在两侧并远离对称轴，并且弯弯的尖在外侧。 【详解】根据分析可知： 展开后的图形是轴对称图形，是。 故答案为：B 5．哪只小鸟由、●、、、和通过平移拼成的？画“√”。 【答案】见详解 【分析】旋转是物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。常见的旋转现象有旋转门、车轮、旋转木马、风车、摩天轮、直升机等。物体的大小、形状、方向都没有发生变化，只是物体的位置发生了变化，这种现象叫平移。此处可以着眼小鸟身体的某个部位来确定是否平移拼成。 【详解】 结合分析可知，此处可以看小鸟的尾巴，如果是平移的话，平移后尾巴的方向还是，不会改变。 尾巴方向与相反，发生了旋转，故不符合； 尾巴方向与不同，发生了旋转，故不符合； 尾巴方向与一样，故符合； 尾巴方向与不同，发生了旋转，故不符合；如下所示： 6．“复兴号”动车组是中国自主研发的新一代高速列车，最高设计时速达400千米。一列“复兴号”列车在笔直、平坦的轨道上行驶，车轮的运动是( )现象，车身的运动是( )现象；列车驾驶员看到的铁轨可以看作( )图形。 【答案】 旋转 平移 轴对称 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；在平面内，把一个图形围绕某一固定点或某一条线按某个方向转动一定的角度的过程，称为旋转。一个图形对折后两边能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。由题意得，一列“复兴号”列车在笔直、平坦的轨道上行驶，车轮绕着中心点转动，属于旋转现象；车身沿着轨道向前运动，属于平移现象；列车驾驶员看到的两条铁轨如果对折，两条铁轨可以重合，所以列车驾驶员看到的两条铁轨可以看作轴对称图形。 【详解】由分析可知，“复兴号”动车组是中国自主研发的新一代高速列车，最高设计时速达400千米。一列“复兴号”列车在笔直、平坦的轨道上行驶，车轮的运动是旋转现象，车身的运动是平移现象；列车驾驶员看到的铁轨可以看作轴对称图形。 7．（1）图1向（    ）平移了（    ）格。 （2）画出图2向左平移6格后的图形。 【答案】（1）上；7 （2）图见详解 【分析】（1）判断物体向什么方向平移了几格，先确定关键点，再观察箭头的指向，数出关键点平移的格数即可； （2）平移作图的步骤：先找出能表示图形的关键点；再确定平移的方向和距离；然后按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；最后按原图的顺序，连接各对应点，据此作图。 【详解】（1）图1向上平移了7格。 （2）如图： 8．“俄罗斯方块”是一种益智游戏。如图，要想正好铺满最下面一层，需要将图形①（    ）。 A．先向右平移3格，再向下平移3格 B．先向右平移2格，再向下平移3格 C．先向右平移3格，再向下平移2格 【答案】A 【分析】根据题意，最下面一行的最左边缺少一个格，即将图形①先向右平移至最边，再一直向下平移，直至到达最下面一层最右边的空白处，只需确定其中一个点平移的方向和距离即可，依此解答。 【详解】如图，要想正好铺满最下面一层，确定图形①的一个点后，将图形①向右平移3格，再向下平移3格。 故答案为：A 9．你能根据已有图形自己设计一个漂亮的轴对称图形吗？在下面的方格图里画一画。 【答案】见详解 【分析】把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线是轴对称图形的对称轴。 【详解】 （答案不唯一） 10．下面图形再涂上1格就成为轴对称图形，试一试有几种涂法。 【答案】见详解 【分析】把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线是轴对称图形的对称轴。 【详解】 11．在下面的括号里填上“旋转”或“平移”。 陈老师开车去上班，他打开车窗，车窗由上向下运动的现象，我们用数学的语言可以说成是( )，他沿着平坦的公路笔直的前行，汽车的运动我们可以说成是( )，到学校了，陈老师需要右转，于是他右转方向盘，此时，方向盘的运动是( )。 【答案】 平移 平移 旋转 【分析】在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动，平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。车窗由上向下运动，该运动为沿直线的位置变化，无转动，属于平移；汽车笔直前行，汽车整体沿直线方向移动，形状和方向未变，属于平移。 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。方向盘右转，方向盘绕中心轴做圆周运动，属于旋转。 【详解】根据分析： 陈老师开车去上班，他打开车窗，车窗由上向下运动的现象，我们用数学的语言可以说成是平移，他沿着平坦的公路笔直的前行，汽车的运动我们可以说成是平移，到学校了，陈老师需要右转，于是他右转方向盘，此时，方向盘的运动是旋转。 12．你能画出小树图的另一半吗？ 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。由此可知，轴对称图形对称轴左右两边完全相同，找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，根据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。据此解答。 【详解】如图： 13．观察下图： （1）小蚂蚁要想吃到面包，需要先向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格。 （2）请你描出方格纸中三角形向左平移3格后的图形。 【答案】（1）右；4；下；2； （2）见详解 【分析】（1）根据目的位置与出发位置的位置关系确定行走的方向，根据图上的格子的数量确定要走的格数； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点。 【详解】（1）根据图示可知，面包在小蚂蚁右边4格、下边2格处，所以小蚂蚁要想吃到面包，需要先向右平移4格，再向下平移2格。 （2）如图： 14．动手画一画。 （1）画出图1向下平移4格后的图形。 （2）画出图2先向上平移4格，再向左平移3格后的图形。 （3）将图3先向右平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格后到图4的位置。 【答案】（1）（2）图见详解 （3）5；下；3 【分析】（1）画出图1向下平移4格后的图形：首先，确定图1的关键点，比如图形的顶点。然后，将这些关键点向下数4格，最后，按照原来图形的形状，依次连接平移后的关键点，得到图1向下平移4格后的图形。 （2）画出图2先向上平移4格，再向左平移3格后的图形：先进行向上平移4格的操作：同样先找出图2的关键点，将这些关键点向上数4格，确定它们第一次平移后的位置，接着进行向左平移3格的操作：以第一次平移后的关键点位置为基础，再将这些点向左数3格，确定它们最终平移后的位置，最后，按照原来图形的形状，依次连接最终平移后的关键点，得到图2先向上平移4格，再向左平移3格后的图形。 （3）确定图3到图4的平移方式：先观察水平方向：对比图3和图4中对应关键点在水平方向的位置变化，发现图3的关键点向右数5格后和图4对应关键点在同一列，所以图3先向右平移5格。再观察垂直方向：对比图3和图4中对应关键点在垂直方向的位置变化，发现图3的关键点向下数3格后和图4对应关键点在同一行，所以图3再向下平移3格。 【详解】（1）（2）根据分析画出平移后的图形，如下图： （3）图3先向右平移5格，再向下平移3格后到图4的位置。 15．下列图形中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】轴对称的定义和特征：具有对称性的图形称为轴对称图形。轴对称图形对折后，中间这条折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。 【详解】 A． 有2条对称轴； B． 有2条对称轴； C． 有3条对称轴。 因此，对称轴数量最多的是。 故答案为：C 16．数数下面图形各有几条对称轴。 ( )条              ( )条              ( )条 ( )条              ( )条              ( )条 【答案】 4 1 1 1 5 1 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】 4条                    1条                 1条 1条                       5条                1条 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $