专题01 函数（讲义）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（大题专项）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为函数。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题1 函数 一、课标解读 1.分段函数的应用 2.指数函数及性质应用 3.对数函数及性质应用 4.函数性质的应用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 20 函数的性质 10 （1）题型：一个解答题 （2）分值：10分. （3）内容：指对函数，分段函数，函数性质 2024 解答题 19 分段函数 10 2023 解答题 16 指对函数 10 2022 解答题 16 指对函数 10 2021 解答题 18 分段函数 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查函数。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 分段函数、函数的性质 · 指对函数及性质 四、知识梳理 （1） 分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. （2） 函数的性质 1.函数的单调性 （1） 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减 图象 描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 （2）单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 3.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴对称 关于 原点对称 4.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数. （3） 指对函数及性质 1.指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 2.对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 五、10分钟小测验 1．设函数. (1)求的值. (2)解关于x的不等式. 2．已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)求的值． 【答案解析】 1．(1) (2) 【分析】（1）由函数解析式，结合指数和对数的运算代入求解即可； （2）分类讨论，分别由指数函数和对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）函数， 则， 所以. （2）当时，， 可化为，即， 因为是在上的单调递增函数， 由得 所以，解得； 当时，， 可化为，即， 因为是在上的单调递增函数， 所以，解得； 综上，关于x的不等式的解集为. 2．(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）将代入函数解析式求值即可. 【详解】（1）已知函数， 定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （2）已知函数， 则. 六、经典例题解析 【考试题型一】函数性质应用 【例1】（2025·湖南对口升学高考）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数. (1)求函数的值域； (2)证明：函数的图像关于点成中心对称图形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，即可求解； 根据题意，先求出函数的解析式，结合函数奇偶性的概念，即可证明函数是奇函数，继而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 又，故，则，进而， 所以，可得， 即函数的值域是. （2）因为， 所以，则， 令，定义域为R，则， 故是奇函数，即为奇函数， 所以函数的图像关于点成中心对称图形. 【例2】（2020·湖南对口升学高考）已知函数. (1)若为偶函数，求不等式解集； (2)若在区间上的最大值为10，求b的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）函数的图像开口向上， 若为偶函数，则函数图像关于y轴对称，， 则有， 所以为偶函数时，不等式的解集为. （2）函数图像开口向上，对称轴为， 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致； 当时， 函数在上的最大值为或， 得或； 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致. 综上所述，或. 【考试题型二】分段函数应用 【例3】（2021·湖南对口升学高考）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 【例4】（2024·湖南对口升学高考）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 【考试题型三】指对函数应用 【例5】（2022·湖南对口升学高考）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【详解】（1）由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. （2）若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 【例6】（2023·湖南对口升学高考）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数， 理由：因为的定义域为， 的定义域为， 所以的定义域为， 即的定义域关于原点对称， 又， ， 所以函数为奇函数. （2）由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. 审题三步走 步骤 核心技巧 关键提醒 1 定义域优先 任何函数题，潜意识先考虑定义域： 对数真数＞0 分式分母≠0 偶次根号内≥0 定义域不对称 → 奇偶性直接判“非奇非偶” 2 辨别题型 快速判断考察板块： 奇偶性？单调性？分段求值？指对数运算？ 不同板块调用对应的固定套路 3 规范步骤 基础题按步给分： 写出定义域、列出表达式、说明底数范围 关键步骤正确，即使结果有误也能拿大部分分 ​2.分段函数技巧 题型 操作口诀 易错警示 求函数值 “先看范围，再代解析式” 多层求值从内向外逐层算 注意分段点处函数值是否定义，避免代错段 解不等式/方程 “分情况讨论，每段解后取交集，最后取并集” 每一段解出的结果必须回头检查是否属于本段范围 含参分段问题 按参数可能落在不同区间分类讨论，结合图像分析 参数讨论不重不漏，最后综合 【专题内容总结2】备考策略 熟记公式：指数运算法则、对数运算法则、换底公式必须烂熟于心。 明确前提：讨论指数函数、对数函数单调性时，必须先说明底数范围规范书写：解答题中，定义域、分类讨论、结论等关键步骤清晰呈现。 回归课本：基础题多源自课本例题变式，确保基本题型熟练。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $