11-专题十一 与轨迹有关的问题-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题十一与轨迹有关的问题(10年4考) 类型①特殊条件下的直线轨迹问题(2023.10,2022.10,2017.10) 颶模型解读 问题：(1)如图①，已知线段AB及一点P,且满足PA=PB,画出点P的轨迹； (2)如图②，已知∠AOB及∠AOB内一点P,且满足点P到射线OA,OB的距离相等，画出点P的轨 迹： (3)如图③，已知线段AB,点P是线段AB上方一点，且满足点P到直线AB的距离是定值m,画出 点P的轨迹. P P D →B A。 B 图① 图② 图③ 原理：(1)线段垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上： (2)角平分线逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上： (3)两条平行线之间的距离处处相等. 【自主解答】 例1[2017安徽第10题改编]如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一点，且满足 S△BPC=9,则△BPC周长的最小值为 例1题图 类型②“主从联动”问题（瓜豆原理） 考法1直线型(2025.10) 即模型解读 问题 图示 作图 依据 已知直线m和，点A,,点M在直 媒介A 媒介A 定点为媒，由瓜定豆， 线m上运动，点N在AM上， 豆N 豆N- 豆线n 平行线分线段成比例 AN=nAM(n<1),在图中画出，点 N的运动轨迹 瓜M→ 瓜线m 瓜M→ 瓜线m 定瓜线与豆线平行 专项分类提升练·安徽数学 23 豆线n 已知，点M在直线m上，将点 媒介A 媒介A 定点为媒，同向旋转由 -日定点01 M绕，点A逆时针旋转α得点 豆N 瓜找豆（旋转手拉 N,试画出点N的运动轨迹 瓜M+ 瓜线m 豆Na 手)，对角互补定夹角 瓜本定，点O瓜线m 已知点M在直线m上，点N 豆线n 媒介A 定点为媒，同向旋转由 是平面内一点，∠MAN=a, 媒介A 日定点0” Q AN=AM(k<1),试画出，点W 豆N &豆N 瓜找豆（旋转手拉 瓜M 瓜线m -a 手)，对角互补定夹角 的运动轨迹 瓜M→定点O瓜线m 例2多解法如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4,BE=8, 点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角 形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 A.2 B.43-2 C.23 D.4 例2题图 >考法2曲线型 即模型解读 问题 图示 作图 作法总结 媒介A 媒介A 点M是⊙B上一点，点 豆心C 构造△ANC∽△AMB,得C A是一定点，点N在 豆N 是定点，CN=BM,得点N AM上，AN=AM(k< 在以C为圆心，kBM长为半 I瓜M 1),画出，点N的轨迹 瓜心B 瓜心B 瓜M 径的圆上 媒介A 媒介A 点M是⊙B上的动点， 连接AB,将AB绕点A同向 豆心C ,点M绕点A旋转α得 瓜M 瓜M 旋转得AC,则△AMB≌ 点N,在图中画出点N 豆W △ANC,得点N在以C为圆 的轨迹 瓜心B 瓜心B 心，BM长为半径的圆上 例3 多解法如图，点A的坐标为(4,3)，AB⊥x轴于点B,点C为坐标平面内一 点，OC=2,点D为线段AC的中点，连接BD,则BD的最大值为 8综合训练· B主 例3题图 1.如图，在△ABC中，AB=3√2，AC=2,以BC为边 等边△ABC的中心，点P在 作Rt△BCD,BC=BD,点D与点A在BC的两侧， △ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,△PCA的面积 则AD的最大值为 分别记为S,S1,S2,S3.若S1+S2+S,=2S,则线段 A.2+32 B.6+22 OP长的最小值是 C.5 D.8 A.C.303 D 3.一成名原创如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC =4,点E是边AD上的动点，连接CE,以CE为 第1题图 第3题图 边在其左侧作等边三角形CEF,连接BF,则BF 2.[2022安徽10题4分]已知点0是边长为6的 的最小值为 24 专项分类提升练·安徽数学专题七十字模型 例【问题探究】证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠C=90°，AB=BC,∠CBG+∠ABP=90°， .·AF⊥BG,.∠BAF+∠ABP=90°， .∴.∠CBG=∠BAF .△ABF≌△BCG(ASA),.AF=BG: 【知识迁移】解：如解图①，作EM⊥DC于点M,作HIN⊥ BC于点N, 则EM∥AD∥BC,HN∥AB∥DC. ∴.EM⊥HN,EM=AD=BC,HN=AB=DC 又.·EG⊥HF,.易得∠GEM=∠FHN. .Rt△EMG∽Rt△HNF, HF 3 H A D FH 例题解图① 例题解图② 【拓展应用】解：如解图②，过点D作DH⊥BC于点H. 交CE于点M,则∠DHF=∠ABC=90°， .∠CMH+∠BCE=90°， .CE⊥DF, .∴.∠PDM+∠PMD=90°. .·∠PMD=∠CMH, .∠BCE=∠PDM,即∠BCE=∠HDF Rt△CBE∽Rt△DHF,DFD, .BD=CD,∠BDC=120°， .∠DCH=30°，BC=2CH. 在Rt△CHD中，∠CHD=90°. m0盟9 .CIH=√3DH,.BC=23DH CE_25Dl=25. ·DFDH 1102 ·变式40 3 专题八折叠问题 等边30，菱形例号1752后 3 3.(1)60:(2)5+14.(1)30:(2)√3 5.(1)90°-a:(2)3√5【解析】(1).：MN⊥EF,∠BEF=a, .∠EMN=90°-a,.·在正方形ABCD中，CD∥AB, ∴.∠CNM=∠EMW=90°-a,∴.∠C'NM=∠CNM=90°-a: (2)解法1：如解图①，设PⅢ与NC交于点G,·四边形 ABCD和四边形EFGH是正方形，∴.∠A=∠D=∠GHE= 90°，GH=EH,∠AHIE+∠GHD=∠AHE+∠AEH=90°， ∠GHD=∠AEH,∴.△HDG≌△EAH(AAS),同理可证 △IHDG≌△GCF≌△FBE,∴.DH=CG=AE=4,DG=EB=8, .GH=√DG+D㎡=45，'MN⊥GH,且∠C'NM= ∠0NM易得MN垂直平分cG,PG=PG=2cG,且 NG=NG',由折叠的性质得CN=C'N,∴.CN-NG=C'N NG',即C'G'=CG=4,.△GDH沿GH折叠得到△GD'H, ∴.GD'=GD=8,.·∠HCG'=∠HD'G=90°，∴.C'G∥D'G, 参考答案与重难题 一战成名新中考 HG'C'G'1 HcD元2HG=GG=2G=25,又：PG= 2GC-/5..PH-PG+HC=35. NG D D D B'M B'M 图① 图② 第5题解图 解法2：如解图②，设HB'与EF交于点0，MN写EF交 于点Q,连接QB,QB',易证△AHE≌△BEF,.HE=EF 三45，an∠A亚=tan∠BEF=7易证an∠A证E tan∠EH0=OE1 20E=0F=25,易证△0B'0≌ △QBF,∴.Q0=QF=5,HP=EQ=0E+0Q=25+5= 35. 专题九直线型最值问题 例1D例2C例32W2例4√2例5B例6A 例7√5例82√5例965例10√13+√3 例11A例12√191.22.83.64°4.305.4W2 6.3√2+1 专题十曲线型最值问题（含隐圆） 例18,18例28.32例335例427例5A 2 例6C例7B例8B1.25-122T 5 3.3 496 5 5(0,25)645 5 专题十一 与轨迹有关的问题 [自主解答] -----1 m A M BAh →B 解图① 解图② 解图③ 例16√2+6 例2C【解析】解法1：如解图①，过E作EQ∥BC,过A作 AB的垂线交EQ于点Q,则∠B=∠AEQ=60°，∴.∠AQE =∠EFG=30°，：∠EGF=∠EAQ=90°，.△AEQ a6器器5祭c-20e ∠OBG,△AEG∽△OEF,AC-A QF QE =sin30°=1 AG 2OF,过E作EH⊥BC于点H,则EH=BE·sin60°= 45,:点F是BC上的一点，∴.QF⊥BC时，QF最小，此 时QF=EH=45AG的最小值为)QF=23. 解法2：如解图②，过E作EM L BC于点M,连接MG, 作MH⊥AB于点H,作AP⊥MG交MG的延长线于点 P:∠EMF+∠ECF=180°，：点EM、F.G四点共圆， 解析·安微数学 25 .LEMG=LEFG=30°，：∠B=60°，.LBEM=30°= :∠EMG,.MG∥AB,.四边形MHAP是矩形.MH AP,BE=8,EM=BE·cos30°=45，.MH=2E =25=AP,AG≥AP=2W5,AG的最小值是25. B HE B MF 图① 图② 例2题解图 例3子【解析】解法1：如解图①，连接40，取40的中点 M,连接MD,.点D为AC的中点，.MD为△AOC的中 位线MD=子0C=1,点M的坐标为(2，多)点D 为以M为圆心，MD长为半径的圆上一点，当B,M,D 三点共线时，BD有最大值，此时BD=BM+DM,.A(4, 3),.0A=5,:∠AB0=90°，M为0A的中点，.BM= 5 之BD的最大值为1+ 57 2-2 B x 图① 图② 例3题解图 解法2：如解图②，作点A关宇x轴的对称点E(4, -3),则点B是AE的中点，.BE=3,又·点D是AC的 中点，BD是△AEC的中位线，BD=)EC,.当EC 最大时，BD最大，点C为坐标平面内一点，且OC= 2,点C在以0为圆心，2为半径的圆上运动，.当 EC经过圆心0时，EC最大.E(4,-3),.0E=5,∴ 飞的最大值为5+2=1心BD的最大值为 L.D【解析】如解图，将BA绕点B顺时针旋转90得BA', 连接A'D,易得△ABC≌△A'BD,.A'D=AC=2,A'B=AB= 3万，.A4'=√万AB=6,由题意得，点C在以A为圆心，AC 长为半径的圆上运动，点D在以A'为圆心，A'D长为半径 的圆上运动，当A,A',D三点共线时，AD的值最大，此 时AD=AA'+A'D=6+2=8. B 第1题解图 二、中档题 专题一解直角三角形的实际应用 1.解：由题意可知AD=4200m,∠AD0=30°，∠BC0=45° CD=500m, 在Rt△A0D中，A0=)AD=2100(m 26 参考答案与重对 2.B【解析】如解图①，不妨假设点P在AB的左侧， S△PB+S△Bc=S△P8c+S△Pc,.S,+S0=S,+S,S1+S,+S, =25S+S,+S=2S=2S△4BC是等边三 3 9√5 角形，边长为6S,=×6=95S=2,过点P作 AB的平行线PM,连接CO并延长交AB于点R,交PM于 点T.:△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线 PM,O是△ABC的中心，.CT⊥AB,.CT⊥PM, 分Br-25m90R=35,0吸- 3 50T=0R+7R-550P=0mP的最小值为 ;如解图②，同理可得当点P在①36区域时，0P的 5w3 最小值为当点P在240区线时，最小值为 5575 22 则线段0P长的最小值是)学 ,M ⑥， T ① ⑤ ②/ ③ ④ 图① 图② 第2题解图 3.23-3【解析】如解图①，将BC绕点C顺时针旋转60° 得到B'C,连接B'E.B'C=BC,∠FCB+LB'CF=60°，' △CEF为等边三角形，.CE=CF,∠ECF=60°，.∠ECB +∠B'CF=60°，∴.∠FCB=∠ECB',在△FCB和△ECB ICF=CE. 中，了∠FCB=∠ECB',.△FCB≌△ECB'(SAS),.BF= CB=CB', B'E,∴.要求BF的最小值，即求B'E的最小值，点E为 线段AD上的动点，则B'E的最小值为点B'到AD的距 离，当B'E⊥AD时，B'E取得最小值，如解图②，过点B 作B'G⊥BC于点G,交AD于点E..∠B'CB=60°，B'C= BC=4BG=BC:sm∠BG8=4x号-2万Bg=gG -EG=2√3-3，则BF的最小值为25-3. 图① 图② 第3题解图 分类提升练 0D=√30A=2100N3(m). .·CD=500m, ∴.0C=0D-CD=(2100W5-500)m 在Rt△B0C中，∠BC0=45°， ∴.B0=(2100W3-500)m, 题解析·安微数学