09-专题九 直线型最值问题-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题九直线型最值问题(10年5考) 类型①引入函数关系确定最值(2023.10) 例1[沪科八上P140第12题改编]如图，已知线段AB=2,点C点拨 C是线段AB上一动点，△DAC和△ECB都是等边三角形， 连接CW,首先证明∠MCN=90°，设AC= M是CD的中点，N是BE的中点，连接MN,则线段MN的 最小值为 a,则Bc=2-a,CM三)a,CY= ( 2(2-a), 在Rt△MCN中，MN=√CM+CW2,构 B. C.2 D. 2 2 建二次函数，利用二次函数的性质即可 解决问题. 例1题图 例2题图 例2[2025毫州期末]如图，在正方形ABCD中，AB=4,P为字点拨 对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF,则过点P作PM⊥AD于点M,根据正方 △APF的面积最大值为 ( 形的性质可知PM=DM,设PM=DM= A.8 B.6 C.4 D.22 x,则AM=4-x,根据等腰三角形的性质 即可得出AF,由三角形面积公式得出 S△F,根据二次函数的性质即可求解. 类型2垂线段最短(2022.10) 例3[2025广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=朗模型解读 AC=4,D是BC边上的一个动点，连接AD,则AD的最小值 问题1：如图①，直线1上一动点P和1 为 外一定点A,使得PA最小 作法：当AP⊥l时（垂线段最短）PA最小 定点A 定，点A' D AP≥APM 例3题图 动，点P→P定直线LOP定，点A下 图① 图② 例4如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P,Q分别 问题2：如图②，A是0N上一定点，点 是BC,BD上的动点，则CQ+PQ的最小值为 P,Q分别在ON,OM上，确定AQ+PQ 的最小值 作法：作点A关于OM的对称点A',过 点A'作A'P⊥ON,此时AQ+PQ有最小 值，即A'P的长 例4题图 专项分类提升练·安徽数学 15 类型③利用轴对称转化—将军饮马问题(2025.10,2023.10,2019.10,2017.10)》 例5如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中®模型解读 线，F是AD上的动点，E是AB的中点，则线段EF+CF的最(I)异侧两定点+定直线上动点 小值为 问题：如图③，在直线m上找一点P,使 A.3 B.23 C.5 D.4 得AP+BP最小 A M D 定点A 定，点A 定点B 定点B 定点B D B 图③ 图④ 例5题图 例6题图 总结：异侧两定点，连线交点定位置 例6[2025阜阳三模]如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4, (2)同侧两定点+定直线上动点 点P为边CD上的动点，连接BP并延长至点Q,使BP= 问题：如图④，在直线m上找一点P,使 2PQ,若M是AD的中点，则QM+QC的最小值为( 得AP+BP最小 A.10 B.45 C.43 D.8√5-8 总结：同侧两定点，对称化两边，连线交 点定位置 例7如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,0为对角线AC的 (3)两点一线线段差最大 中点，点P在AD边上，且AP=2,点Q在BC边上，连接PQ 问题：如图⑤，在直线m上找一点P,使 与0Q,则PQ-0Q的最大值为 得IPA-PBI最大 定点A,M 定点A 定点A 定点B 动点Q兴 P m 动点PN B 定点B 定点A 例7题图 例8题图 图⑤ 图⑥ 总结：异侧对称化同侧，连线交点定位置 例8[2025内江]如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB (4)一定点（角内）+两动点（角两边） =2W2,点D,E,F分别是边BC,AB,AC上的动点，则△DEF 周长最值 周长的最小值是 问题：如图⑥，确定△AQP周长最小时 点P,Q的位置 总结：两边作对称，连线与两边交点定位置 例9如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,AE=4,AF=2,G,H(5)两定点（角内）+两动点（角两边） 分别是边BC,CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值四边形周长最值 为 问题：如图⑦，确定四边形ABPQ周长 最小时点P,Q的位置 M 定点A, 动点02 定点A G 定点B 例9题图 定点B 图⑦ 总结：两边作对称，连线与边交点定位置 16 专项分类提升练·安徽数学 一战成名新中考 例10[2025自贡]如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC拓展：“滑梯”模型 的顶点C,A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC问题：如图⑧，∠MON=90°，等边 =30°，BC=2.以BC为边作等边△BCD.连接OD,则OD的△ABC的边长为2a,确定OC的最大值 最大值为 B N O B N 图⑧ D 依据：取AB的中点I,由三角形三边关 例10题图 系得OC≤01+lC=a+3a 类型④》利用平移转化—造桥选址问题 例11[新人教八上P96任务1改编]如图，已知在河的两岸®模型解读 有A,B两个村庄，河宽为4千米，A,B两村庄的直线距离 问题：如图⑨，现要在河上造一座桥 AB=10千米，A,B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千 MN,桥造在何处才能使从A到B的路 米，计划在河上修建一座垂直于两岸的桥MN,点M为靠近 径AMNB最短？（直线a∥b,MN⊥直线 A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为 ( ) a,b) 作法：作A4'⊥a,AA'=MN,连接A'B交 直线b于点N,过点N作MN⊥a于点M, 此时路径AMNB最短 8 例11题图 A.2√13千米 B.(1+35)千米 C.(3+37)千米 D.√85千米 图⑨ 例12如图，正方形ABCD的边长为3，点E,F是对角线AC上问题：如图⑩，点A,B是两定点，在直 的两个动点（点E在点F的左侧），且EF=1,则DE+BF的线l同侧，M,N为直线1上两动点，MW 最小值是 =a,求AM+MW+BN的最小值 Ar-aA A· B ·B M a N A 图0 B 例12题图 作法：过点A作AM'∥直线1且A4'=a, 作点A'关于直线l的对称点A”,连接 A"B交直线I于点N,连接A'N,将点N 向左平移a个单位长度得到点M 专项分类提升练·安徽数学 17 名综合训练· 1.[2025准北期中]如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠CAB=60°，BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,E 为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为 第1题图 备用图 2.[2025滁州一模]如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点F,交AB于点E,连接EC, AB=I0,△BEC的周长为18.若点P在直线EF上，连接PA,PB,则IPA-PB1的最大值为 B B 第2题图 备用图 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=122°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,N,当△AMN周长 最小时，∠MAN的度数为 第3题图 备用图 4.如图，在平面直角坐标系中，A(0,3),B(14,0),C(14,2),M,N是线段0B上的两个动点，且MN=2,则 △AOM与△NCB周长和的最小值为 OM N 第4题图 备用图 5.[2025铜陵三模]如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是射线DA上一动点，将BE绕点B顺时针 旋转90°得到线段BF,则CF+DF的最小值是 B 第5题图 备用图 6.[2025合肥期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6,D是平面上一动点，连接AD,DC,E是 DC的中点，连接BE,当AD=2时，BE的最大值为 B B 第6题图 备用图 18 专项分类提升练·安徽数学专题七十字模型 例【问题探究】证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠C=90°，AB=BC,∠CBG+∠ABP=90°， .·AF⊥BG,.∠BAF+∠ABP=90°， .∴.∠CBG=∠BAF .△ABF≌△BCG(ASA),.AF=BG: 【知识迁移】解：如解图①，作EM⊥DC于点M,作HIN⊥ BC于点N, 则EM∥AD∥BC,HN∥AB∥DC. ∴.EM⊥HN,EM=AD=BC,HN=AB=DC 又.·EG⊥HF,.易得∠GEM=∠FHN. .Rt△EMG∽Rt△HNF, HF 3 H A D FH 例题解图① 例题解图② 【拓展应用】解：如解图②，过点D作DH⊥BC于点H. 交CE于点M,则∠DHF=∠ABC=90°， .∠CMH+∠BCE=90°， .CE⊥DF, .∴.∠PDM+∠PMD=90°. .·∠PMD=∠CMH, .∠BCE=∠PDM,即∠BCE=∠HDF Rt△CBE∽Rt△DHF,DFD, .BD=CD,∠BDC=120°， .∠DCH=30°，BC=2CH. 在Rt△CHD中，∠CHD=90°. m0盟9 .CIH=√3DH,.BC=23DH CE_25Dl=25. ·DFDH 1102 ·变式40 3 专题八折叠问题 等边30，菱形例号1752后 3 3.(1)60:(2)5+14.(1)30:(2)√3 5.(1)90°-a:(2)3√5【解析】(1).：MN⊥EF,∠BEF=a, .∠EMN=90°-a,.·在正方形ABCD中，CD∥AB, ∴.∠CNM=∠EMW=90°-a,∴.∠C'NM=∠CNM=90°-a: (2)解法1：如解图①，设PⅢ与NC交于点G,·四边形 ABCD和四边形EFGH是正方形，∴.∠A=∠D=∠GHE= 90°，GH=EH,∠AHIE+∠GHD=∠AHE+∠AEH=90°， ∠GHD=∠AEH,∴.△HDG≌△EAH(AAS),同理可证 △IHDG≌△GCF≌△FBE,∴.DH=CG=AE=4,DG=EB=8, .GH=√DG+D㎡=45，'MN⊥GH,且∠C'NM= ∠0NM易得MN垂直平分cG,PG=PG=2cG,且 NG=NG',由折叠的性质得CN=C'N,∴.CN-NG=C'N NG',即C'G'=CG=4,.△GDH沿GH折叠得到△GD'H, ∴.GD'=GD=8,.·∠HCG'=∠HD'G=90°，∴.C'G∥D'G, 参考答案与重难题 一战成名新中考 HG'C'G'1 HcD元2HG=GG=2G=25,又：PG= 2GC-/5..PH-PG+HC=35. NG D D D B'M B'M 图① 图② 第5题解图 解法2：如解图②，设HB'与EF交于点0，MN写EF交 于点Q,连接QB,QB',易证△AHE≌△BEF,.HE=EF 三45，an∠A亚=tan∠BEF=7易证an∠A证E tan∠EH0=OE1 20E=0F=25,易证△0B'0≌ △QBF,∴.Q0=QF=5,HP=EQ=0E+0Q=25+5= 35. 专题九直线型最值问题 例1D例2C例32W2例4√2例5B例6A 例7√5例82√5例965例10√13+√3 例11A例12√191.22.83.64°4.305.4W2 6.3√2+1 专题十曲线型最值问题（含隐圆） 例18,18例28.32例335例427例5A 2 例6C例7B例8B1.25-122T 5 3.3 496 5 5(0,25)645 5 专题十一 与轨迹有关的问题 [自主解答] -----1 m A M BAh →B 解图① 解图② 解图③ 例16√2+6 例2C【解析】解法1：如解图①，过E作EQ∥BC,过A作 AB的垂线交EQ于点Q,则∠B=∠AEQ=60°，∴.∠AQE =∠EFG=30°，：∠EGF=∠EAQ=90°，.△AEQ a6器器5祭c-20e ∠OBG,△AEG∽△OEF,AC-A QF QE =sin30°=1 AG 2OF,过E作EH⊥BC于点H,则EH=BE·sin60°= 45,:点F是BC上的一点，∴.QF⊥BC时，QF最小，此 时QF=EH=45AG的最小值为)QF=23. 解法2：如解图②，过E作EM L BC于点M,连接MG, 作MH⊥AB于点H,作AP⊥MG交MG的延长线于点 P:∠EMF+∠ECF=180°，：点EM、F.G四点共圆， 解析·安微数学 25