专题5 一次函数、二次函数、分段函数 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题5 一次函数、二次函数、分段函数 1、 【考点导读】 1.掌握一次函数函数图像与性质 2.掌握二次函数函数图像与性质 3.掌握分段函数函数图像与性质 二、【真题精练】 题型一、一次函数函数图像与性质 1.（2025·湖南·真题T03）下列函数是增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数单调性即可求解. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A项错误； 对B：函数是线性函数，斜率为1，当时，随的增加而增加，所以是增函数，故B项正确； 对C：函数在和上分别单调递减，不是增函数，故C项错误； 对D：函数是常数函数，不是增函数，故D项错误. 故选：B. 题型二、二次函数函数图像与性质 2.（2022·湖南·真题T04）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. 3.（2021·湖南·真题T03）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调递减区间是， 故选：C. 4.（24-25高三下·湖南·三模）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析二次函数的图象，再利用其单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数的开口向上，对称轴为， 又在区间上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 5．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）下列四个函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性即可得解. 【详解】对于A，在上为增函数，故A错误； 对于B，在上先减后增，故B错误； 对于C，在上为增函数，故C错误； 对于D，当时，，则其在上为减函数，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）若在上是减函数，在上是增函数，则实数a的值为（   ）． A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴，再由对称轴公式列方程求解即可. 【详解】由在上是减函数， 在上是增函数，可得函数的对称轴为， 则，即，解得， 故选：A. 7．（24-25高三下·湖南·二模）已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【分析】对a分类讨论，根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数，对于任意实数，均有， 当时，，符合题意； 当，且， 解得：； 当时，不符合题意， 综上所述. 故答案为：. 8．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知二次函数． (1)若函数为上的偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由偶函数的定义列式求解即可； （2）先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的图象和性质，可得，即可求解. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数，则，所以 即，，解得． （2）因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上单调递增，所以，即有， 解得，故的取值范围为． 9．（24-25高三上·湖南永州·一模）已知二次函数． (1)若函数图像都在轴上方，求的取值范围； (2)若函数在上有最大值9，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由于函数图像都在轴上方，那么的图像只能开口向上，且在定义域内与轴无交点，接着利用判别式即可求解. （2）先求出函数的对称轴，再分别讨论和时的情况即可求解. 【详解】（1）当函数图像都在轴上方时，的图像开口向上，且在定义域内与轴无交点， 于是有，且，解得． （2）因为，所以的对称轴为． ①当时，在上递减，在上递增， 函数最大值为，解得． ②当时，在上递增，在上递减， 函数最大值为，解得． 综上所述，或． 题型三、分段函数函数图像与性质 10.（2021·湖南·真题T18）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数的图象如图所示： 【小问2详解】 ， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 11.（2024·湖南·真题T19）已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【小问1详解】 时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； 【小问2详解】 当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 12．（24-25高三下·湖南·三模）已知函数，则等于（   ） A．5 B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】将代入合适的解析式求出的值，再将的值代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知函数， 因为，则， 则， 故选：D. 13．（25-26高三上·湖南·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】函数在上为增函数， 所以最小值为； 又在上为增函数，值域为. 因为分段函数在上单调递增， 故，解得，即. 故选：D. 14．（24-25高三下·湖南·三模）已知函数 (1)写出函数的定义域，作函数的图像； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的表达式求解即可. （2）根据函数的表达式分别讨论，结合一元二次不等式和指数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的定义域为，即． （2）当时，因为， 即，则， 当时，因为， ，得到， 因此，的取值范围为. 15．（22-23高三·湖南·模拟预测）已知函数． (1)画出函数的大致图像； (2)写出函数的最大值和单调递减区间． 【答案】(1)答案见解析 (2)2， 【分析】（1）根据分段函数的性质，分段作出各区间的函数图像. （2）根据函数图像，分析函数的最大值和单调递减区间. 【详解】（1）函数的大致图像如图所示. （2）由函数的图像得出，的最大值为2，此时. 单调递减区间为. 三、【考点演练】 【考点1】一次函数函数图像与性质 16．函数，则当时，（    ） A．1 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】直接将代入函数求得，从而得解. 【详解】因为函数，将代入，可得. 故选：B 17．下列函数在其定义域内为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数以及幂函数的单调性逐项分析即可. 【详解】函数在上为增函数，在上为减函数，故A错误， 在上为增函数，故B错误， 在上为减函数，故C正确， 在和上分别为减函数，故D错误， 故选：C. 【考点2】二次函数函数图像与性质 18．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质可判断结果. 【详解】由函数可知， 其图象开口向上，且对称轴为， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 19．若函数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数的图像为开口向上的抛物线，且其对称轴为， 所以当时，函数取最小值，最小值为. 故选：B. 20．已知二次函数，若的解集为，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性求解即可 【详解】因为为二次函数且的解集为， 所以且， 其图像是一条开口向下且对称轴为的一条抛物线， 故的单调增区间为， 故选：B. 21．已知不等式的解集为，则函数在区间上的最大值与最小值的差为（    ） A．18 B． C． D． 【答案】A 【分析】先用韦达定理求出a，b的值，再由二次函数的性质即可求解最大值和最小值. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两个根为和， 由韦达定理可知， 解得，， 所以函数为， 因为函数的对称轴为， 又因为，所以函数图象开口向下， 所以可知函数在区间上为增函数，上为减函数， 当时函数有最大值，最大值为， 当时函数有最小值，最小值为， 所以最大值与最小值差为. 故选:A. 【考点3】分段函数函数图像与性质 22．已知函数，则（    ） A．-3 B．22 C．-7 D．3 【答案】A 【分析】根据自变量取值所处的范围代入对应的函数解析式即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2 3．已知函数若，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求，再求，最后根据解析式，求解即可. 【详解】函数， 所以，因为，所以， 因为，故，所以，即. 故选：A. 24．已知函数若，则的取值范围为_______（用区间表示）． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】由题意，若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，的取值范围是，即． 故答案为：. 25．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或5 (2) 【分析】（1）分情况讨论的取值范围，再代入对应的函数表达式求解； （2）分情况讨论的取值范围，再根据函数单调性求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，由可得方程，解得（舍去）或； 当时，，由可得方程，解得，满足， 综上，的值为或5. （2）当时，，在上为减函数， 则，即，， 当时，，在上为增函数， 则，即，， 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题5 一次函数、二次函数、分段函数 1、 【考点导读】 1.掌握一次函数函数图像与性质 2.掌握二次函数函数图像与性质 3.掌握分段函数函数图像与性质 二、【真题精练】 题型一、一次函数函数图像与性质 1.（2025·湖南·真题T03）下列函数是增函数的是（　　） A. B. C. D. 题型二、二次函数函数图像与性质 2.（2022·湖南·真题T04）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3.（2021·湖南·真题T03）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4.（24-25高三下·湖南·三模）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）下列四个函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）若在上是减函数，在上是增函数，则实数a的值为（   ）． A． B．3 C．5 D． 7．（24-25高三下·湖南·二模）已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为______________． 8．（24-25高三下·湖南永州·二模）已知二次函数． (1)若函数为上的偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 9．（24-25高三上·湖南永州·一模）已知二次函数． (1)若函数图像都在轴上方，求的取值范围； (2)若函数在上有最大值9，求的值． 题型三、分段函数函数图像与性质 10.（2021·湖南·真题T18）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 11.（2024·湖南·真题T19）已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 12．（24-25高三下·湖南·三模）已知函数，则等于（   ） A．5 B．4 C．6 D． 13．（25-26高三上·湖南·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·湖南·三模）已知函数 (1)写出函数的定义域，作函数的图像； (2)若，求的取值范围． 15．（22-23高三·湖南·模拟预测）已知函数． (1)画出函数的大致图像； (2)写出函数的最大值和单调递减区间． 三、【考点演练】 【考点1】一次函数函数图像与性质 16．函数，则当时，（    ） A．1 B．10 C． D． 17．下列函数在其定义域内为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【考点2】二次函数函数图像与性质 18．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 19．若函数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 20．已知二次函数，若的解集为，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 21．已知不等式的解集为，则函数在区间上的最大值与最小值的差为（    ） A．18 B． C． D． 【考点3】分段函数函数图像与性质 22．已知函数，则（    ） A．-3 B．22 C．-7 D．3 2 3．已知函数若，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 24．已知函数若，则的取值范围为_______（用区间表示）． 25．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $