第4讲 万有引力定律及应用 讲义-2026年高三物理二轮专题复习

第4讲　万有引力定律及应用　讲义 知识体系： 考点一 开普勒定律与万有引力定律的应用 1.开普勒定律的理解 (1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1=v2r2； (2)根据开普勒第三定律，=k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r=R；其中k=，两个中心天体的质量之比与对应的成正比。 (3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 2.万有引力定律F= (1)r为两质点之间的距离或两个均匀球体的球心间的距离； (2)G为引力常量，由物理学家卡文迪什测出。 典例1:(2024·海南卷·6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　) A. B. C. D.(1+k)3 答案　D解析　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号， 根据万有引力提供向心力G=m·(k+1)R 月球的体积V=πR3 月球的平均密度ρ= 联立可得ρ=(1+k)3，故选D。 典例2:(2025·云南卷,5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　) 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.金星与地球的公转轨道之间 B.地球与火星的公转轨道之间 C.火星与木星的公转轨道之间 D.天王星与海王星的公转轨道之间 答案　C解析　由开普勒第三定律有=,解得R行=R地≈3.2 AU,结合题表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间,C正确。 典例3:(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的(　　) A.轨道半径之比为 B.周期之比为 C.线速度大小之比为 D.向心加速度大小之比为()2 答案　D解析　根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=，故A错误；根据万有引力提供向心力有=m()2r=m=ma，解得T=，v=，a=，故可得周期之比为=；线速度大小之比为=；向心加速度大小之比为=()2，故B、C错误，D正确。 考点二　人造卫星和宇宙航行 1.人造卫星运动问题的分析要点 2.卫星的发射、运行及变轨 在地面 附近静止 忽略自转：G=mg，故GM=gR2(黄金代换式) 考虑自转： 两极：G=mg 赤道：G=mg0+mω2R 卫星的 发射 地球的第一宇宙速度：v===7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 (天体) 卫星在 圆轨道 上运行 G=Fn= “轨高速低周期大” 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 典例4:(2025·河北承德模拟预测)北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星(MEO)、3颗地球静止同步轨道卫星(GEO)和3颗倾斜地球同步轨道卫星(IGSO)共30颗卫星组成。已知地球半径为R,地球表面赤道处重力加速度为g0,地球同步卫星到地心的距离为kR,中圆地球轨道卫星的周期为同步卫星周期T的一半,如图所示。下列关于地球静止同步轨道卫星A和倾斜地球同步轨道卫星B与中圆地球轨道卫星C的说法正确的是(　　) A.地球静止同步轨道卫星A和倾斜地球同步轨道卫星B均相对赤道表面静止 B.中圆地球轨道卫星C的动能大于倾斜地球同步轨道卫星B的动能 C.地球表面赤道处的重力加速度g0=(k-1) D.某时刻B、C两卫星相距最近,则再经T,两卫星间距离为kR 答案　D解析　地球静止同步轨道卫星A相对于赤道静止,倾斜地球同步卫星B只是周期等于地球自转周期,并不相对于赤道静止,故A错误;由于不知道卫星B、C的质量,所以无法比较两者的动能,故B错误;B卫星受到的万有引力提供向心力,有G=mkR,对任意地球表面赤道处的物体受力分析,有m'g0+m'R=G,联立得g0=(k3-1),故C错误;某时刻B、C两卫星相距最近,则再经T,B卫星运动半周,C卫星运动一周,此时两卫星相距最远,距离为两者轨道半径之和,即d=kR+rC,对于B、C卫星,由开普勒第三定律得=,联立解得d=kR,故D正确。 典例5:(2025·广东珠海一模)如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程,探测器从地球表面发射至地月转移轨道,在P点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动,然后在P点变轨后沿圆形轨道②运动,下列说法正确的是(　　) A.探测器在轨道①上经过P点时应该加速才能进入轨道② B.探测器在轨道②上的运行速度大于月球的第一宇宙速度 C.探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中,地球对探测器的万有引力对探测器做负功 D.探测器在轨道①上的周期小于轨道②上的周期 答案　C解析　探测器由椭圆轨道①上经过P点时应该减速做向心运动变轨到轨道②,故A错误;月球的第一宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度,由月球的万有引力提供向心力可得G=m,解得v=,探测器在轨道②上的环绕速度v2=,其中h是探测器距月球表面的高度,可知探测器在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度,故B错误;探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中,引力方向与运动方向的夹角大于90°,所以地球对探测器的万有引力对探测器做负功,故C正确;设探测器在轨道①上的半长轴为a,周期为T1,在轨道②上的半径为r,周期为T2,由开普勒第三定律可得=,由于a>r,则有T1>T2,即探测器在轨道①上的周期大于轨道②上的周期,故D错误。 考点三　双星或多星问题 多星问题的处理方法 模型 “双星”模型 “三星”模型 “四星”模型 示 意 图 受力 特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 关 键 点 m1r1=m2r2 r1+r2=L r=或r==L r=L或r==L 典例6:(多选)(2025·重庆模拟预测) “食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远,观测者不能把两颗星区分开,但由于两颗恒星的彼此掩食,会造成其亮度发生周期性变化,观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图所示,t1时刻,由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星,造成亮度L减弱,t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2,下列说法正确的是(　　) A.= B.= C.m1+m2= D.m1+m2= 答案　BC解析　由图可知双星周期T=2(t2-t1),对较亮的恒星,根据牛顿第二定律有G=m1r1,对较暗的恒星,根据牛顿第二定律有G=m2r2,联立可得=,m1+m2==,故B、C正确,A、D错误。 典例7:(多选)如图所示,天文观测中观测到有质量相等的三颗天体位于边长为l的等边三角形的三个顶点上,三颗天体均做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G,不计其他天体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法中正确的是(　　) A.三颗天体的质量均为 B.三颗天体的质量均为 C.三颗天体线速度大小均为 D.三颗天体线速度大小均为 答案　AD解析　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径,根据几何关系可知r=l,根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的万有引力的合力指向圆心,设每颗星的质量为M,则根据牛顿第二定律有2×cos 30°=Mr,解得M=,A正确,B错误;根据牛顿第二定律有2×·cos 30°=M,解得线速度大小为v=,C错误,D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $