第19卷函数的性质（教师讲解卷）-江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》

编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第19卷 函数的性质 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若，则（    ） A． B． C． D．11 2．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 4．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 9．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 12．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 13．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 14．函数的单调递减区间为________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 16．（1）已知，求的解析式． （2）已知一次函数的图象经过点和，且．若的单调递增区间是，求的解析式． 17．已知在上有意义，单调递增且满足. (1)求证：； (2)求的值； (3)求不等式的的解集. 18．已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第19卷 函数的性质 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 2．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数基本性质结合基本初等函数的性质求解 【详解】A项，的定义域为，该函数在定义域上不具有单调性，A错误； B项，在定义域R上为非奇非偶函数，B错误； C项，为幂函数，在定义域R上单调递增且， 所以为奇函数，C正确； D项，为二次函数，，故为偶函数，D错误. 3．函数是（   ） A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减 C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减 【答案】A 【详解】令，， 又，所以函数是奇函数； 因为和均是R上的增函数，所以函数在上单调递增. 4．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，可判断D. 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，， 由于在上单调递增，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得， 当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性： 当时，令，当时，， 则时，，则； 时，，则； 即可知为奇函数，D正确. 5．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算，代入依次判断即可. 【详解】因为恒成立，所以函数定义域为， 由题意可得， 所以， 所以函数是定义在上的奇函数，故A正确， 而，故B错误， 而，非定值，故C，D错误. 6．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 【答案】D 【分析】由函数的对称性与单调性逐项分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于在上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的零点与单调性，进而可解不等式. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，， 当或时，， 又不等式可转化为或， 即或，即不等式的解集为. 8．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 9．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性及单调性依次判断即可． 【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误； 对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误； 对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确； 对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误． 10．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解. 【详解】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 12．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 13．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 14．函数的单调递减区间为________ 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性求解. 【详解】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 16．（1）已知，求的解析式． （2）已知一次函数的图象经过点和，且．若的单调递增区间是，求的解析式． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解； （2）待定系数法，设函数，代入，求出，从而得到，再由的单调递增区间是可确定m求解. 【详解】解：（1）法一：把的右边配成的表达式， 即，然后整体换成， 得：， 故的解析式为：． 法二：令，得代入得： ， 然后t换成x即， 故的解析式为：． （2）设，由题意得： 即，解得， 所以， 故， 由函数的图象的对称轴为，单调递增区间是， 故，解得， 所以， 故的解析式为：. 17．已知在上有意义，单调递增且满足. (1)求证：； (2)求的值； (3)求不等式的的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3) 【分析】(1)令代入可得； (2)令得可得； (3)令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组从而解得． 【详解】（1） ∵,令，∴＝． 即. （2）∵ ＝＝，∴, （3）∵, , 所以， 且函数 在上单调递增， ∴ 解得. 所以不等式的解集为. 18．已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 【答案】（1）图象见解析；（2）在上单调递减，在单调递增；值域为. 【解析】（1）由解析式可判断为偶函数，则画出右支图象，由图象关于轴对称即可得左支；（2）结合（1）所得图象确定单调区间和值域即可. 【详解】（1）由解析式知：，即关于轴对称性， 当时，，即可根据三点画出右支 由对称性即可得对应左支上的图象，如下图示： （2）由（1）所得图象，左右两支分别关于，对称， ∴在上单调递减，在单调递增；值域为. 【点睛】本题考查了函数的图象，利用数形结合确定单调区间、值域，属于简单题. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $