专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形（7类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理解三角形核心知识点，系统梳理定理内容、变形形式及解的个数判定，通过9个递进式考点构建学习支架，从基础应用到综合问题，涵盖形状判定、边角互化、面积及最值等，形成完整知识脉络。 该资料亮点在于考点分类系统，结合代数推理与几何直观分析解的个数，培养数学思维与眼光，例题与练习题适配不同层次需求。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决与应用意识。

专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形 【知识梳理】 1 【考点1：利用余弦定理解三角形】 3 【考点2：利用正弦定理解三角形】 4 【考点3：正弦定理判定三角形解的个数】 6 【考点4：正弦定理求外接圆半径】 7 【考点5：正、余弦定理判定三角形的形状】 8 【考点6：正、余弦定理边角互化的应用】 9 【考点7：三角形的面积公式及应用】 11 【考点8：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 12 【考点9：求三角形面积的最值或范围】 14 【知识梳理】 1．正弦定理、余弦定理及其变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R cos A＝； cos B＝； cos C＝ [方法技巧]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤 2．对三角形解的个数的研究 (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【考点1：利用余弦定理解三角形】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 【考点2：利用正弦定理解三角形】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 3．（2026高一·全国·专题练习）（1）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 （2）在中，角，，的对边分别为，，，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． 4．（25-26高三上·陕西·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 5．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围． 【考点3：正弦定理判定三角形解的个数】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 5．（25-26高一下·上海·课后作业）在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【考点4：正弦定理求外接圆半径】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点为的外心，求的周长. 【考点5：正、余弦定理判定三角形的形状】 1．（25-26高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（24-25高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（24-25高一下·广西来宾·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．（2026高一·全国·专题练习）在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； 【考点6：正、余弦定理边角互化的应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，，则_____． 2．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 3．（25-26高三下·云南昆明·月考）在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【考点7：三角形的面积公式及应用】 1．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·江西南昌·一模）已知的角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)若的面积为2，求和. 4．（25-26高三下·青海西宁·月考）在中，内角的对边分别为，，的面积为． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 5．（四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【考点8：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 5．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【考点9：求三角形面积的最值或范围】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 5．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 6．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形 【知识梳理】 1 【考点1：利用余弦定理解三角形】 3 【考点2：利用正弦定理解三角形】 5 【考点3：正弦定理判定三角形解的个数】 8 【考点4：正弦定理求外接圆半径】 11 【考点5：正、余弦定理判定三角形的形状】 13 【考点6：正、余弦定理边角互化的应用】 16 【考点7：三角形的面积公式及应用】 20 【考点8：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 23 【考点9：求三角形面积的最值或范围】 27 【知识梳理】 1．正弦定理、余弦定理及其变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R cos A＝； cos B＝； cos C＝ [方法技巧]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤 2．对三角形解的个数的研究 (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【考点1：利用余弦定理解三角形】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件通过配方得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 即， 所以， 或. 故选：AC 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 【答案】 【分析】先由余弦定理求出c边，再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，， 所以，故， 所以由余弦定理得. 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 【答案】，， 【分析】根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】由余弦定理得：， ， ， ， 又， ，， ，，． 【考点2：利用正弦定理解三角形】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 2．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 3．（2026高一·全国·专题练习）（1）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 （2）在中，角，，的对边分别为，，，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． 【答案】（1）或；（2）时，，a=；时，，a=c= 【分析】（1）由正弦定理解三角形即可求解. （2）利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由， 利用正弦定理得，所以或． ①当时，利用三角形内角和定理； ②当时，利用三角形内角和定理. （2）在△ABC中，由正弦定理可得， 即，解得， 又因为， 所以或， 当时，， 所以. 当时，， 所以△ABC为等腰三角形，所以. 4．（25-26高三上·陕西·期中）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 5．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用向量垂直的坐标公式计算，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； （2）因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故， 在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 【考点3：正弦定理判定三角形解的个数】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 【答案】答案见解析 【分析】法一：直接由即可判断，法二：先由余弦定理求得，进而可求解. 【详解】（方法一）由，， 可得：，有两解． 或 （1）当时，， ， （2）当时，，，． （方法二）由得， ． ， ，即或． 当时，有，，． 当，，，． 即有两解．. 5．（25-26高一下·上海·课后作业）在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【分析】（1）由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，使该三角形有唯一解. （2）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形两解. （3）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形无解. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）由（1）知， 当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知， 当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 【考点4：正弦定理求外接圆半径】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用余弦定理得出边长，再应用同角三角函数关系得出正弦值，最后应用正弦定理得出外接圆直径即可. 【详解】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为， 则由余弦定理得， ，． 由，得． ． 故选：B. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点为的外心，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用两角和的正切公式可得，再利用正弦定理计算即可得； （2）利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用余弦定理计算可得，即可得的周长. 【详解】（1）在中，由，得， 所以，所以，又,所以， 因为，由正弦定理得， 由，则所以； （2）由（1）知， 因为点为的外心，所以的外接圆半径， 在中，所以， 所以，解得（舍去）或， 所以的周长为. 【考点5：正、余弦定理判定三角形的形状】 1．（25-26高二上·山东德州·期中）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 2．（24-25高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 3．（24-25高一下·广西来宾·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理求解判断. 【详解】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 所以为钝角，所以的形状是钝角三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 5．（2026高一·全国·专题练习）在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； 【答案】(1)60°； (2)等边三角形； 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可； （2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， 又， ∴，且， ∴， 又， 所以， 所以， ∴为等边三角形. 【考点6：正、余弦定理边角互化的应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知在中，，则_____． 【答案】 【分析】分别算出的值，代入原式求解即可 【详解】设， 则， 同理可得． 又 由，， 可得，即 于是． 所以 故答案为： 2．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件及余弦定理直接可得； （2）由条件及正弦定理，及三角形的恒等变换可得. 【详解】（1）因为，再由余弦定理得， 化简整理得. （2）因为，再由正弦定理得，， 又因为在三角形中，所以， ，所以， 所以 3．（25-26高三下·云南昆明·月考）在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和与两角和的正切公式得到，再结合已知条件求出，根据角的范围求解； （2）根据等面积法得到，利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式求出，最后利用同角三角函数的平方关系求出. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由已知得， 因为，所以，，所以. （2）设角所对应的边分别为， 因为的面积，则， 由正弦定理得， 因为，所以， 即，由，得， 所以， 所以，因为，解得. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换运算即可求解； （2）由已知可求得的外接圆的半径，结合正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得，可求得其周长． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为，所以，所以； （2）由（1）得，又，所以， 设的外接圆的半径为， 因为的外接圆的面积为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，解得， 所以的周长为． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 【考点7：三角形的面积公式及应用】 1．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 2．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 3．（2026·江西南昌·一模）已知的角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)若的面积为2，求和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可. （2）根据同角三角函数关系求出，，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 又所以，. 所以，即，所以， 所以，解得， 所以. 因此，. 4．（25-26高三下·青海西宁·月考）在中，内角的对边分别为，，的面积为． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和三角形面积公式可得； （2）由余弦定理求出的值，再由正弦定理可求得外接圆半径. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，即 又由面积公式得，即，两式相除，得， 由，得． （2）由（1）知，结合得，即， 再由余弦定理，得到， 记的外接圆半径为，由正弦定理得． 5．（四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 【考点8：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 2．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 3．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 4．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 5．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 【考点9：求三角形面积的最值或范围】 1．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，进而得到的表达式，然后根据基本不等式的性质求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当时等号成立，此时取最大值为25， 所以面积的最大值为. 故选：C. 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 3．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 5．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 6．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $