6.3.2 二项式系数的性质 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．二项式展开式的常数项为（ ） A． B．60 C．120 D．240 2．的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 4．已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 二、多选题 5．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共4项 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32 D．展开式中二项式系数最大的项为 三、填空题 8．的展开式中，的系数为______ 9．的展开式中所有有理项的系数之和为________． 10．已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则________． 四、解答题 11．（1）若，求的值； （2）在的展开式中， ①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《6.3.2二项式系数的性质 同步练习 解答 细目表 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B D AC ABD ACD 1．B 【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 2．C 【分析】先求出项式的展开式的通项为，进而可以求出的展开式中含的项，由此即可求出结果. 【详解】因为二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，所以的系数为. 故选：C． 3．B 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 4．D 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 5．AC 【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故正确； 令，得所有项的系数和为，故错误； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故正确； 因为展开式通项为， 所以当为整数时，即时为有理项，共有5项，故D错误. 故选：AC. 6．ABD 【分析】利用赋值法分别判断即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 由B可知， 所以， 即，，所以，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确； 故选：ABD 7．ACD 【分析】赋值法求得，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求的系数、奇数项的二项式系数和、二项式系数最大的项. 【详解】令，则，可得，A对； ， 当时，，B错； 由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对； 由上知：二项式系数最大为，即，则，D对. 故选：ACD 8． 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 9． 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 10．/ 【分析】由二项式系数最大和系数最大的定义求解. 【详解】由题意得，通项， 当满足时，系数最大， ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 故答案为： 11．（1）；（2）①②第6项和第7项 【分析】（1）由，利用赋值法求解； （2）先得到通项公式，①由二项式系数最大的项为中间项，即第5项求解；②设第项系数的绝对值最大，由求解. 【详解】解：（1）∵， 令，可得， 令，可得， ∴． （2）①． 二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以． ②设第项系数的绝对值最大， 则，所以 解得 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 考查范围：6.3.2二项式系数的性质 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 求指定项的二项式系数 2 容易 求指定项的系数 3 全部 二项式的系数和 4 全部 二项展开式各项的系数和 二、多选题 5 全部 二项式系数的增减性和最值 6 全部 奇次项与偶次项的系数和 7 全部 由二项展开式各项系数和求参数 三、填空题 8 全部 三项展开式的系数问题 9 全部 求有理项或其系数 10 全部 求系数最大（小）的项 四、解答题 11 全部 由二项展开式各项系数和求参数,求系数最大（小）的项,二项式的系数和 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $