第六章 计数原理（能力提升卷）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版必修第三册

第六章 计数原理（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算． 详解：令，得，， ∴． 故选C． 点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆． 2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）若 展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开式中项的产生一部分来源于2与中项相乘， 另一部分来源于与中项相乘，可求. 【详解】，展开式中的系数为 所以 ，解得 故选：A 3．（24-25高二下·广东·期末）凸10边形内对角线最多有个交点 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据凸边形内对角线最多有个交点的公式求得. 【详解】凸边形内对角线最多有 个交点， 又 ，故选D. 【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题. 4．（24-25高一下·天津河东·期末）在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率求法，求任取2盒取到的酸奶中有已过保质期的概率即可. 【详解】由题意，任取2盒取到的酸奶中有已过保质期的概率. 故选：C 5．（24-25高二下·黑龙江·期中）一个盒子装有相同大小的红球32个，白球4个，从中任取两个，则下列事件概率为的是 A．没有白球 B．至少有一个是红球 C．至少有一个是白球 D．至多有一个是白球 【答案】C 【分析】根据、的意义可得正确的选项. 【详解】表示从36个球中任取两个球的不同取法的总数，表示从36个球中任取两个球且两球是一红一白的不同取法的总数，表示从4个白球中任取两个不同的球的取法总数，故为从36个球中任取两个球，至少有一个白球的概率，故选C. 【点睛】古典概型的概率的计算，往往在于总的基本事件的个数的计算和随机事件中含有的基本事件的个数的计算，计数时应该利用排列组合相关的知识和方法. 6．（25-26高三·陕西·月考）已知在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据题意，列出关于的方程，求出的值，再利用展开式的通项公式求出其系数的最大项 【详解】因为各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，所以，即，，解得，故展开式中第3项和第4项的二项式系数同时取得最大值，又，， 故选：A. 【点睛】本题考查二项式系数的概念及二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题. 7．（24-25高二下·山西太原·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别取和，联立求得，，则答案可求． 【详解】解：在中， 取，可得， 取，可得， 两式相加可得， 两式相减可得． ． 故选：A. 8．（2025·河北沧州·一模）设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题： ①； ②对于任意正整数； ③对于任意正整数； ④对于任意正整数． 则所有的真命题为（    ） A．①④ B．② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由二项式定理即可证明被7除所得余数为2，即可判断①；由费马小定理可得，即可判断②；由，结合即可判断③；由，结合即可判断④. 【详解】对于①：因为， 所以被7除所得余数为1， 所以被7除所得余数为2， 所以，正确； 对于②：若正整数能被整除，则能被整除， 所以； 若正整数不能被整除，由费马小定理得：，即，正确； 对于③：若正整数能被整除，则能被整除， 所以； 若正整数不能被整除，由费马小定理得：，即， 又，所以，正确； 对于④：由费马小定理得：，即， 又， 所以，错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：解本题的关键在于充分理解新定义，然后结合带余数法以及费马小定理等初等数论知识即可求解. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·福建泉州·月考）关于的展开式，下列结论正确的是 A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 【答案】BC 【分析】首先写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断； 【详解】解：二项式展开式的通项为 令，解得，则常数项为，故C正确； 且二项式系数最大的项为第4项，故D错误； 二项式系数和； 令，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确； 故选：BC 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题． 10．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（    ） A． B．展开式中常数项为160 C．展开式中各项系数的绝对值的和为1450 D．若k为偶数，则展开式中和的系数相等 【答案】AD 【分析】此题考查二项式定理展开式公式，通过公式即可对选项逐个进行验证是否正确. 【详解】对于A，，令二项式中的x为1，得到展开式的各项系数的和为，，，故A正确． 对于B，，展开式中常数项为，故B错误． 对于C，的展开式中各项系数的绝对值的和与的展开式中各项系数的和相等，对于，令，可得，的展开式中各项系数的绝对值的和为1458，故C错误． 对于D，，的展开式的通项为，的展开式的通项为， 当k为偶数时，保证展开式中和的系数相等，则①和x的系数相等，的展开式中的系数为，x的系数为，此时和x的系数相等； ②和的系数相等，的展开式中的系数为，的系数为，此时和的系数相等； ③和的系数相等，的展开式中的系数为，的系数为，此时和的系数相等，故D正确． 故选：AD． 11．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B．当时，设，则 C．当时，中最大的是 D．当时， 【答案】AD 【分析】令可得各项系数和判断A，根据二项式定理求得判断B，求出后判断C，在展开式中先求得，再令计算后判断D． 【详解】在已知式中令得，A正确； 时，， ， ，，B错； 时，， ，C错； 在中，令得， 令，则， 所以，D正确． 故选：AD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）的展开式中的系数是_____ 【答案】480 【分析】根据题意，利用组合数的性质即可得结果. 【详解】展开式中含项为: , 含项的系数为：， 由于， 所以， 即展开式中含项的系数为480. 故答案为：480 13．（25-26高三上·广东深圳·月考）的展开式中，不含x的各项系数之和为______. 【答案】256 【分析】对式子进行变形得，利用二项式定理的展开式可得通项公式可得当时不含有x，再利用赋值法，即可得答案； 【详解】的展开式的通项为， 可知当时不含有x，此时， 令可得到各项系数之和为256. 故答案为：256. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式及赋值法，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 14．（25-26高二上·辽宁大连·期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答） 【答案】2022 【分析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可． 【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即， 当时， ， 则的系数是， 故答案为：2022． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·江苏泰州·月考）（1）解不等式； （2）若，求正整数． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据排列数计算公式化简后代入检验求解即可； （2）由组合数的运算及组合数的性质化简得出方程，验证满足，由单调性确定唯一解即可. 【详解】（1）因为， 所以且，， 即且，， 经验算，可解得； （2）因为 ， 所以，则满足题意，且在且时递增， 因此是唯一解. 16．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【分析】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【详解】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 17．（24-25高二下·江苏苏州·月考）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)比35142小． 【答案】(1)288 (2)216 (3)347 【分析】（1）由分步计算原理，分别求出各步的方法种数，然后得到结果； （2）由分类计数原理，先求出各类方法种数，然后得到结果； （3）由分类和分步计算原理，求出各类情况方法种数，然后得到结论. 【详解】（1）得到一个五位奇数，可以分3步： 第一步，定个位数，从1、3、5中任选一个，有3种方法； 第二步，定首位，从余下除0外的4个数中任选一个，有4种方法； 第三步，定其余位数，从余下4个数中任选3个按序排上，有种方法. 由分步计数原理得，共有个这样的五位数. （2）被5整除且无重复数字的五位数，个数上的数有2类情况： 第一类，当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个； 第二类，当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数， 由分类计算原理共有个这样的五位数． （3）得到比35142小的一个五位数，可分4类： 第一类，首位比3小的，即首位为1或2， 其余位置从5个中任选4个排列，有个， 第二类，首位是3，千位比5小的，即千位为1、2、3、4任选1个， 其余位置从4个数中任选3个排列，有个， 第三类，当首位为3千位为5，且百位比1小的，即百位为0， 从余下3数中任选2个按序排在个位与十位，则有个， 第四类，当首位为3千位为5百位为1， 满足题意的数有35140，35124，35120，35102，35104，共5个， 由分类计数原理，所以共有个这样的五位数． 18．（25-26高二下·河北沧州·月考）在二项式的展开式中 (1)若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项； (2)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，常数项为； (2)，. 【分析】（1）首先写出通项公式，根据展开式中存在常数项，得到，根据的取值范围，即可求解，再求常数项； （2）根据二项式系数的性质求，再代入不等式法求系数最大的项，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式， 因为展开式有常数项，所以，， 所以时，，满足条件，时，不是正整数，不满足条件， 所以，常数项为； （2）展开式的后三项的二项式系数和前三项的二项式系数和一样， 所以，所以，整理为：， 解得：，或（舍）， 设中第项的系数最大，第项为，所以系数为， 则，， 得，解得：，且， 所以或， 则系数最大的项为，. 19．（2026高二下·浙江台州·专题练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)，， (3)， 【分析】（1）写出展开式前三项的系数，然后由等差数列的性质列方程求解； （2）写出展开式的通项公式，，令的指数部分为整数可得有理项； （3）先写出系数的表达式，，研究其单调性即可. 【详解】（1）展开式包含有前项，则， ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，， ，解得(舍去)． （2）由， 当时，为有理项． 且，符合要求． 故有理项有3项，分别是，，． （3）设第项的系数为最大，则， 则，，解得． 当时，；当时，， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为，． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果为 A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）若 展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·期末）凸10边形内对角线最多有个交点 A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津河东·期末）在5盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·黑龙江·期中）一个盒子装有相同大小的红球32个，白球4个，从中任取两个，则下列事件概率为的是 A．没有白球 B．至少有一个是红球 C．至少有一个是白球 D．至多有一个是白球 6．（25-26高三·陕西·月考）已知在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，则展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（24-25高二下·山西太原·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北沧州·一模）设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题： ①； ②对于任意正整数； ③对于任意正整数； ④对于任意正整数． 则所有的真命题为（    ） A．①④ B．② C．①②③ D．①②④ 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·福建泉州·月考）关于的展开式，下列结论正确的是 A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 10．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（    ） A． B．展开式中常数项为160 C．展开式中各项系数的绝对值的和为1450 D．若k为偶数，则展开式中和的系数相等 11．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B．当时，设，则 C．当时，中最大的是 D．当时， 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）的展开式中的系数是_____ 13．（25-26高三上·广东深圳·月考）的展开式中，不含x的各项系数之和为______. 14．（25-26高二上·辽宁大连·期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答） 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·江苏泰州·月考）（1）解不等式； （2）若，求正整数． 16．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 17．（24-25高二下·江苏苏州·月考）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)比35142小． 18．（25-26高二下·河北沧州·月考）在二项式的展开式中 (1)若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项； (2)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项． 19．（2026高二下·浙江台州·专题练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $