第一章 微点突破1 追及相遇问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

微点突破1　追及相遇问题 目标要求　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 考点一　追及相遇问题 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例。 1．二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断增大。 (2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变。 (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙的距离就不断减小。 2．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3．常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值。 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 例1　(2023·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以 10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车的最大距离。 答案　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m 解析　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为 v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。 (2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得 v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s 此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s (3)方法一　物理分析法 当两车速度相等时，两车相距最远 由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间 t3＝＝ s＝5 s 两车最远相距Δs＝v0t3＋200 m－a1t32 ＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。 方法二　二次函数法 Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－×2t2 ＝10t＋200－t2 当t＝＝ s＝5 s时，Δs有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。 方法三　图像法 从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s，得t＝5 s时相距最远，Δsmax＝v0t－t＋200 m＝225 m。 拓展　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题) 答案　20 s 解析　方法一　物理分析法 假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4 解得t4＝15 s 赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s 所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动 设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。 方法二　图像法 赛车和安全车的v－t图像如图。由图知t＝10 s，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝，得t5＝20 s。 解答追及和相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 二次函数法 设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，无解，追不上；Δ＝0，一解，恰好追上；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 例2　(2023·广东广州市华南师大附中模拟)根据新的交通规则，遇行人过斑马线，汽车要停车礼让，如图所示，一辆小汽车在平直马路上以v＝8 m/s的速度匀速行驶，当小汽车的车 头距停车线d＝8.4 m时，司机发现一行人正在通过斑马线，司机紧急刹车，待停稳时，恰有一半车身通过停车线。已知车长L＝4.0 m，司机反应时间0.50 s。 (1)求小汽车刹车的加速度大小； (2)此后小汽车以0.5 m/s2的加速度由静止匀加速出发，追赶前方s0＝ m处以15 m/s匀速行驶的同伴车辆。同伴车辆此时距下个路口900 m，若此路段限速60 km/h，试求出小汽车经过多长时间追上同伴车辆，并判断是在通过路口之前还是通过路口之后追上同伴车辆？ 答案　(1)5 m/s2　(2) s　通过下个路口之后才追上同伴车辆 解析　(1)小汽车匀速运动0.50 s过程位移s1＝vt0＝4 m 小汽车刹车过程汽车匀减速位移s2＝d＋－s1＝6.4 m 设小汽车加速度大小为a0，则0－v2＝－2a0s2 解得a0＝5 m/s2 (2)设小汽车匀加速至最大速度vm＝60 km/h用时为t1 t1＝＝ s 小汽车前进的位移为s3＝＝ m 该段时间内同伴车辆前进位移为s4＝v2t1＝500 m 此时小汽车未追上同伴车辆，之后两车均做匀速运动，设再经过时间t2小汽车追上同伴车辆，即s4＋s0－s3＝(vm－v2)t2 解得t2＝180 s 故小汽车追上同伴车辆经历时间t＝t1＋t2＝ s 又同伴车辆在时间t内的位移s5＝v2t＝3 200 m>900 m，所以小汽车通过下个路口之后追上同伴车辆。 考点二　图像中的追及相遇问题 1．s－t图像中，两图像交点表示两物体相遇，两图像切线斜率相同点表示两物体速度相等，此时两物体距离最大或最小。 2．v－t图像中，两图像交点表示两物体速度相同，图像和t轴所围面积表示物体位移。面积相等表示两物体位移大小相等。 例3　(多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　　) A．A车运动的加速度大小为1 m/s2 B．t＝3.5 s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.2 s D．两车相遇两次 答案　BC 解析　由匀变速直线运动规律可知s＝v0t＋at2，由题图乙可知当t＝2 s时s＝10 m，当t＝5 s时s＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s，由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正确；A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车满足vBt＝v0t0＋at02＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误。 例4　(多选)(2024·广东省四校联考)两车在不同的行车道上同向行驶，t＝0时刻，乙车在甲车前方25 m处。两车速度—时间(v－t)图像分别为图中直线甲和直线乙，交点坐标图中已标出，则(　　) A．乙车的加速度是0.6 m/s2 B．第5 s末两车相距40 m C．相遇前，甲、乙两车的最大距离是55 m D．25 s末时甲车追上乙车 答案　BD 解析　v－t图像中图线的斜率即为物体运动的加速度，所以乙车的加速度为a乙＝ m/s2＝0.2 m/s2，故A错误；由题图可得第5 s末时，两车的速度分别为v甲＝ m/s＝3 m/s，v乙＝ m/s＝5 m/s，v－t图像中图线与t轴所围成图形的面积表示物体运动的位移，所以由s＝·t，可得0～5 s内两车运动的位移分别为s甲＝×5 m＝7.5 m，s乙＝×5 m＝22.5 m，所以第5 s末两车相距Δs＝s乙－s甲＋s0＝40 m，故B正确；当两车速度相等时，两车相距最远，由题图可知，第10 s末时，两车速度相等，两车的距离最大。0～10 s内两车运动的位移分别为s甲′＝×10 m＝30 m，s乙′＝×10 m＝50 m，所以第10 s末两车相距Δs′＝s乙′－s甲′＋s0＝45 m，故C错误；由题图可得甲车的加速度为a甲＝ m/s2＝0.6 m/s2，设经过时间t甲车追上乙车，则s甲″－s乙″＝s0，s甲″＝a甲t2＝0.3t2，s乙″＝v0t＋a乙t2＝4t＋0.1t2，联立解得t＝25 s，所以25 s末时甲车追上乙车，D正确。 1.一运动员将静止的足球沿边线向前踢出，足球获得12 m/s的初速度，同时该运动员沿边线向前追赶足球，速度v随时间t的变化规律如图所示。已知足球停下时该运动员刚好追上足球，则足球的加速度大小与运动员加速阶段的加速度大小之比为(　　) A．4∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．7∶9 答案　B 解析　设运动员加速时间为t1，追上时位移相等，即v－t图像与t轴所围面积相等，有 ×12×t2＝×8×t1＋8×(t2－t1)， 解得t2＝2t1，则加速度大小之比＝＝，故选B。 2．(多选)(2024·广东深圳市南山为明学校开学考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s，甲、乙相距s0＝110 m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的关系分别如图甲、乙所示，取运动方向为正方向，下列说法正确的是(　　) A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为20 m C．t＝9 s时乙车速度减为0 D．t＝9 s两车距离为65 m 答案　BCD 解析　在3 s时，甲车速度和位移为v甲1＝v0＋at＝0，s甲1＝v0t＋at2＝45 m 乙车速度仍为v乙1＝30 m/s，位移为s乙1＝v0t＝90 m 因此乙车并未追上甲车 两者相距最近的条件为速度相等，因此设时间为t1，则 v甲1＋a甲′(t1－3 s)＝v乙1＋a乙(t1－3 s) 解得t1＝6 s 此时v甲2＝v乙2＝15 m/s t＝6 s时两车距离最近，最近距离为Δs1＝(×30×3＋×3×15＋110－30×3－×45×3) m＝20 m，故A错误，B正确。 乙车速度为0时，0＝v乙1＋a乙(t2－3 s) 解得t2＝9 s 从3 s到9 s时，两者位移分别为s甲2＝v甲1(t2－3 s)＋a甲′(t2－3 s)2＝90 m s乙2＝v乙1(t2－3 s)＋a乙(t2－3 s)2＝90 m 故两车相距Δs2＝s0＋s甲1＋s甲2－s乙1－s乙2＝65 m 故C、D正确。 3．(2022·广东广州华南师大附中模拟)无人驾驶汽车是利用先进的5G技术制造的汽车。无人驾驶汽车上配有主动刹车系统，当车速超过30 km/h时，汽车主动刹车系统会启动预判：车载电脑通过雷达采集数据在t0＝0.6 s内进行分析预判，若预判汽车以原速度行驶可能会发生事故，汽车会立即主动刹车。现有一无人驾驶汽车正以v1＝36 km/h的速度匀速行驶，在它的正前方相距L＝20 m处有一大货车正以v2＝28.8 km/h的速度匀速行驶。问： (1)预判结束时，两车之间的距离； (2)若预判结束时，汽车立即开始以a<4 m/s2的加速度刹车，同时大货车开始减速行驶，且从此时刻开始计时，大货车的速度与时间关系满足v＝8－3.2t(m/s)，则要使两车不相撞，求汽车加速度a的取值范围。(结果保留3位有效数字) 答案　(1)18.8 m　(2)1.74 m/s2≤a<4.00 m/s2 解析　(1)t0＝0.6 s内，汽车和大货车行驶的位移分别为s1＝v1t0＝6 m s2＝v2t0＝4.8 m 预判结束时，两车之间的距离为s0＝L－s1＋s2＝18.8 m (2)设汽车刹车总时间为t1，则0＝v1－at1 解得t1>2.5 s 由题意可知大货车减速时的加速度大小为a′＝3.2 m/s2 大货车刹车总时间为t2＝＝2.5 s<t1 所以大货车先停下来。 设汽车的刹车位移为s3，大货车的刹车位移为s4，根据运动学规律有0－v12＝－2as3 0－v22＝－2a′s4 要使两车不相撞，应满足s3≤s4＋s0 解得1.74 m/s2≤a<4.00 m/s2。 4．如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A车车长 LA＝4 m，B车车长 LB＝6 m，两车车头相距L＝26 m时，B车正以vB＝10 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝15 m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，其速度为vC＝8 m/s，C车车头和B车车头之间相距d＝94 m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。 (1)若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞？ (2)若A车选择加速超车，则A车能够安全超车的加速度至少多大？ (3)若A车选择超车，但因某种原因并未加速，C车司机在图示位置做出反应(不计反应时间)，则C车减速的加速度至少多大才能保证A车安全超车？ 答案　(1) m/s2　(2) m/s2　(3)1 m/s2 解析　(1)若A车选择放弃超车， 回到B车所在车道，当两车速度相同时，A恰好追上B，此时A加速度最小，根据运动学公式有vA－a1t1＝vB vAt1－a1t12＝vBt1＋L－LB 联立解得A车的最小加速度大小为a1＝ m/s2 (2)A车加速超车最长时间为 t2＝＝ s＝5 s A车安全超车，根据运动学公式有 vAt2＋a2t22＝vBt2＋L＋LA 解得A车能够安全超车的加速度至少为a2＝ m/s2 (3)C车做匀减速运动最长时间为 t3＝＝ s＝6 s A车安全超车，根据运动学公式有 vAt3＋vCt3－a3t32＝d＋L 解得C车减速的最小加速度大小为a3＝1 m/s2。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $