第十一章 第6课时 专题强化：带电粒子在组合场中的运动（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

第6课时　专题强化：带电粒子在组合场中的运动 目标要求　1.掌握带电粒子在磁场与磁场的组合场中的运动规律。2.掌握带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动规律。 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见粒子的运动及解题方法 考点一　磁场与磁场的组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 例1　(多选)(2023·广东名校联盟联考)空间存在如图所示相邻的两个匀强磁场，磁场Ⅰ的宽度为d，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；磁场Ⅱ的宽度为2d，方向垂直纸面向外。现让质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小为的水平速度垂直磁场Ⅰ从P点射入磁场，粒子在磁场中运动后恰好从磁场Ⅱ的边缘C处水平射出。不计粒子所受的重力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为 B．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B C．粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为 D．粒子在两磁场中运动的总时间为 答案　AD 解析　粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为r1＝＝， 选项A正确； 由几何关系可知粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为 r2＝2r1，根据r2＝，可得磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B2＝B，选项B错误； 粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为T2＝＝，选项C错误； 由几何关系知，粒子在两磁场中运动时圆弧所对的圆心角均为37°，粒子在磁场Ⅰ中运动的周期为T1＝，磁场中运动的总时间为t＝(T1＋T2)＝，选项D正确。 例2　如图所示，三块挡板围成截面边长L＝1.2 m的等边三角形区域，C、P、Q分别是MN、AM和AN中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN水平，MN上方是竖直向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1；三角形AMN以外和MN以下区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝3B1。现将一比荷＝108 C/kg的带正电的粒子，从C点正上方2 m处的O点由静止释放，粒子从MN上的小孔C进入三角形内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN经过Q点进入三角形外部磁场。已知粒子最终又回到了O点。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚度，取π＝3。求： (1)磁感应强度B1的大小； (2)粒子第一次回到O点的过程，在磁场B2中运动的时间。 答案　(1)×10－2 T　(2)5.5×10－6 s 解析　(1)粒子从O到C在电场中加速，则由动能定理得Eqx＝mv2 解得v＝4×105 m/s 带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示 由几何关系可知R1＝＝0.6 m 由qvB1＝m 代入数据解得B1＝×10－2 T (2)由题可知B2＝3B1＝2×10－2 T，则qvB2＝m 则R2＝＝0.2 m， 在磁场B2中的运动周期为T2＝＝ 在磁场B2中的运动时间为t＝T2＝×10－6 s＝5.5×10－6 s。 考点二　电场与磁场的组合 1．先电场后磁场 先电场后磁场的几种常见情形 (1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 (2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 　　 例3　(2023·辽宁卷·14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 答案　(1)　(2)(或60°)　(3)见解析图 解析　(1)设板间距离为d，则板长为d，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为E＝，根据牛顿第二定律得qE＝ma，解得a＝ 设粒子在平板间的运动时间为t0，根据类平抛运动的规律得＝at02, d＝v0t0 联立解得U＝ (2)设粒子出电场时与水平方向夹角为α，则有 tan α＝＝，故α＝ 则出电场时粒子的速度为v＝＝v0 粒子出电场后做匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝ 已知圆形磁场区域半径为R＝，故r＝R 粒子沿PO方向射入磁场，轨迹如图所示，即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为θ，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为θ，由几何关系可得θ＝2α＝ 故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为(或60°)； (3)粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r＝R，根据几何关系可知，粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长，则相对应的运动轨迹以及圆心M的位置如图所示。 2．先磁场后电场 先磁场后电场的几种常见情形 常见情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图 运动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 例4　如图所示，在xOy平面(纸面)内，x＞0空间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以大小为v、方向与y轴正方向的夹角为θ＝60°的速度沿纸面从坐标为(0，L)的P1点进入磁场中，然后从坐标为(0，－L)的P2点进入电场区域，最后从x轴上的P3点(图中未画出)垂直于x轴射出电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P1点运动到P2点所用的时间t； (3)电场强度的大小E。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 其圆心为O1，对应轨道半径为R， 由几何关系可得Rsin θ＝L，解得R＝2L 由洛伦兹力提供向心力有qvB＝ 联立可得B＝ (2)带电粒子从P1点运动到P2点所用的时间为 t＝T，T＝＝ 联立可得t＝ (3)设带电粒子在电场中的运动时间为t′，由运动的合成与分解有vcos θ·t′＝L，vsin θ－at′＝0 由牛顿第二定律有qE＝ma 联立可得E＝。 3．粒子多次进出电场、磁场的运动 例5　(2024·广东东莞高级中学阶段测试)蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图所示，空间存在足够大且垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为MN、PQ，间距为d。MN与PQ之间存在沿水平方向且大小始终为E＝的匀强电场(未画出)，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子在纸面内以初速度v0从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度v0回到A点，磁场Ⅱ的磁感应强度大小B2＝，不计粒子重力。求： (1)粒子进入磁场Ⅱ时速度v的大小和方向； (2)磁场Ⅰ的磁感应强度大小B1。 答案　(1)v0　方向与PQ成45°指向右上方　(2) 解析　(1)粒子从MN进入电场做类平抛运动，竖直方向匀速运动，有d＝v0t，水平方向为加速运动，a＝，解得vy＝at＝v0 则粒子进入磁场Ⅱ的速度大小v＝＝v0 设速度v与PQ夹角为θ，由tan θ＝，解得θ＝45° 可知v方向与PQ成45°指向右上方。 (2)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 粒子在磁场Ⅱ中运动时，有qvB2＝ 粒子在电场中沿电场方向运动的距离y＝t(或y＝at2) 由几何关系r1＝y－r2cos 45°，粒子在磁场Ⅰ中运动时，有 qv0B1＝，解得B1＝。 课时精练 1. 如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误。 2. (多选)(2023·广东深圳市光明区期末)半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作。如图所示为某晶圆掺杂机的简化模型图，平行金属板A、B加上电压UAB，产生竖直方向的匀强电场；两电磁线圈间的圆柱形磁场视为匀强磁场，磁感应强度与电流I成正比。离子发生器产生的电荷量为＋q、质量为m的离子，以速度v0沿电场的中央轴线飞入电场，当UAB＝0、I＝0时，离子恰好打到晶圆圆心O(0,0)点。已知晶圆垂直纸面放置，晶圆面内xOy坐标系中，x轴为水平方向、y轴为竖直方向，掺杂过程中，离子全部打在晶圆上，忽略离子的重力和空气阻力。则在掺杂过程中(　　) A．UAB越大，离子穿过极板的时间越短 B．UAB越大，离子在竖直方向上的位移越小 C．当UAB＝0，I≠0时，离子打在x轴上 D．离子打在晶圆上时，其动能与电流I大小无关 答案　CD 解析　离子穿过极板过程中，在水平方向上为匀速直线运动，则l＝vt，穿过极板的时间与板长和初速度有关，故离子穿过极板的时间不变，故A错误； 离子在竖直方向上做匀加速直线运动，则y＝t2，则UAB越大，离子在竖直方向上的位移越大，故B错误； 当UAB＝0，I≠0时，离子在磁场中受到洛伦兹力发生水平偏转，则打在x轴上，故C正确； 由于洛伦兹力不做功，离子打在晶圆上的动能与电流I大小无关，故D正确。 3. (2024·广东省联考)如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第三象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场。M、N两个竖直平行金属板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近N板的S点由静止开始做加速运动，从电场的右边界y轴上的A点水平向左垂直于y轴射入电场，经x轴上的C点与x轴负方向成θ＝60°角进入磁场，最后从y轴上的D点垂直于y轴射出磁场，求： (1)A、C两点间的电势差UAC和粒子在磁场中运动的轨道半径r； (2)粒子从A点运动到C点所用时间和从C点运动到D点所用时间的比值。 答案　(1)3U　　(2) 解析　(1)设粒子运动到A点射入电场的速度大小为v0，由动能定理得qU＝mv02，解得v0＝ 设粒子经过C点时速度大小为v，根据题意可得＝cos θ 解得v＝2v0，粒子从A点运动到C点的过程，有qUAC＝mv2－mv02，解得UAC＝3U 如图所示，粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′C，有qBv＝m，解得r＝ (2)由几何关系得OC＝rsin θ，设粒子在电场中运动的时间为t1，根据题意有OC＝v0t1 ，解得t1＝ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝ 设粒子在磁场中运动的时间为t2，有t2＝T 解得t2＝ 粒子从A点运动到C点所用时间和从C点运动到D点所用时间的比值＝。 4. (2023·广东深圳市高级中学三模)如图所示，MHN和PKQ为竖直方向的平行边界线，水平线HK将两边界围成区域分为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从左边界A点以初速度v0垂直边界进入Ⅰ区域，从C点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域。已知AH＝h，HC＝2h，粒子重力不计： (1)求Ⅰ区域匀强电场强度E的大小； (2)若两竖直边界线距离为4h，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围。 答案　(1)　(2)<B< 解析　(1)如图所示，粒子从A点至C点做类平抛运动，垂直电场方向有2h＝v0t1，沿电场方向有h＝at12 根据牛顿第二定律有Eq＝ma，联立解得E＝ (2)粒子在C点速度的竖直分量vCy＝at1＝v0 故粒子在C点速度大小为vC＝＝v0 方向为斜向右下方与HK夹角为45°，当粒子恰好不从MHN边界射出，粒子轨迹如图轨迹①所示，设此种情况下，粒子在磁场中轨道半径为r1，由几何知识得r1＋r1sin 45°＝2h，解得r1＝2(2－)h 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力B1qvC＝m，解得B1＝ 当粒子恰好不从PKQ边界射出，粒子轨迹如图轨迹②所示，设此种情况下，粒子在磁场中轨道半径为r2，由几何知识得r2－r2sin 45°＝2h，解得r2＝2(2＋)h 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力B2qvC＝m，解得B2＝ 所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围为<B<。 5. (2023·广东潮州市期末)在如图所示的直角坐标系xOy中，x轴上方存在大小为E、方向与x轴负方向成45°角的匀强电场，x轴下方存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q带电粒子从y轴上的点P(0，L)由静止释放，从x轴上的A点第一次进入匀强磁场，不计粒子受到的重力，则 (1)求粒子第一次进入磁场的速度大小vA； (2)若第一次进入磁场后经第三象限垂直穿过y轴进入第四象限，求匀强磁场的磁感应强度大小B1； (3)若第一次进入磁场后是从x轴上的C点第一次离开匀强磁场，恰好又从A点第二次进入匀强磁场，求匀强磁场的磁感应强度大小B2。 答案　(1)2　(2)　(3) 解析　(1)粒子先在电场中加速，由动能定理得 Eq＝mvA2 故第一次进入磁场的速度大小vA＝2 (2)第一次进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图线1，由几何关系得轨迹半径R1＝2L 由牛顿第二定律得B1qvA＝m，解得B1＝ (3)粒子的运动轨迹如图线2，由几何关系知在C点速度大小仍为vA，方向与x轴负方向成45°角，出磁场后做类平抛运动，垂直电场线方向LACcos 45°＝vAt 沿电场线方向LACsin 45°＝t2，解得LAC＝8L 由几何关系得轨迹半径R2＝LACsin 45°＝8L 由牛顿第二定律得B2qvA＝m，解得B2＝。 6．(2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4。 (1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； (2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 答案　(1)　　8eU　(2) 解析　(1)电子在电场中加速有2eU＝mv2，在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r＝Rtan 22.5°＝0.4R，根据洛伦兹力提供向心力有B1ev＝m 联立解得B1＝ 电子在Ⅰ区磁场中的运动周期为T＝ 由几何关系可得，电子在Ⅰ区磁场中运动轨迹对应的圆心角为φ＝π，电子在Ⅰ区磁场中的运动时间为t＝T 联立解得t＝ 电子从P到Q在电场中共加速8次，故在Q点出射时的动能为Ek＝8eU (2)设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，由几何关系可得(R－rm)2＝R2＋rm2，解得rm＝R 根据洛伦兹力提供向心力有B1evm＝m 2eU＝mvm2－keU 联立解得k＝。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $