第十一章 第4课时 专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

第4课时　专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题 目标要求　1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2.学会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界问题。 考点一　平移圆法 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆 圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 例1　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 答案　CD 解析　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确。 考点二　旋转圆法 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆 圆心共圆 如图，各带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 例2　如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 答案　(1)或　(2) 解析　(1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点， 由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝， 解得t1＝，t2＝ (2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为＝。 例3　(2023·广东广州市阶段测试)如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B＝30°，∠C＝90°，BC＝L。BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子(不计离子重力及离子间相互作用)，离子质量为m、带电荷量为＋q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求： (1)离子的发射速率v； (2)从AB边射出的离子占全部离子的比例； (3)从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)有离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图甲所示， 可知该离子必定垂直于BC边入射，根据几何关系有2R＝ 离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m 解得v＝ (2)假设离子入射速度方向与SB夹角为α时，离子轨迹恰好与AB边相切，作出该方向离子的轨迹以及辅助线如图乙所示， 轨迹图中O为轨迹的圆心，OD与OS为半径，由几何关系有 ＝tan 30° 解得α＝60° 即在该离子入射速度与SB夹角在0～60°范围内进入的离子能够从AB边射出，由于离子是均匀地向三角形内的各个方向发射，则从AB边射出的离子占全部离子的比例为η＝＝ (3)由分析可知，离子从AB边射出时，轨迹为一条劣弧，轨迹弧对应的弦长越短，磁场中运动的时间越短，则当入射点与出射点连线垂直于AB边时，弦长最短，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图丙所示，轨迹图中O′为轨迹的圆心，O′S与O′J为半径，由几何关系有 xSJ＝·sin 30°＝＝R 则ΔO′JS为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为60°，最短时间为tmin＝·T 离子做圆周运动的周期T＝ 解得tmin＝。 考点三　放缩圆法 适用条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆 圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 例4　(多选)一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(　　) A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 答案　AD 解析　画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图所示，当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆，运动时间都相等，为，A正确，B错误；当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，C错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间不大于，故D正确。 例5　(2024·广东省月考)如图，在xOy坐标平面的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在y轴上OM区间有一个线状粒子收集器紧贴y轴放置，现有质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从x轴上的P点沿y轴正方向以不同速率射入磁场。已知OM＝OP＝2d，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。求： (1)一粒子刚好打到O点时，该粒子的入射速度大小； (2)粒子能打到收集器上的最大速率。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子刚好打到O点，其轨迹半径为r，轨迹如图所示：已知OP＝2d，则r＝d，根据洛伦兹力提供向心力得 qv1B＝，解得v1＝ (2)粒子打到M点时速率最大，在磁场中运动轨迹如图所示：由几何关系得R＝OM＝2d 根据洛伦兹力提供向心力得 qvmB＝ 解得vm＝。 课时精练 1. 如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　) A.　 B.　 C.　 D.　 答案　A 解析　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴最远为|x|＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。 2. 如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出 B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出 D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 答案　C 解析　由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，如图所示，则有Bqv＝m，r＝，T＝，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增大为原来的2倍，由图可知，粒子不会从b点射出，粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，A、B错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子的运动半径将减小为原来的，将从a点射出，C正确；结合C选项，由T＝可知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的2倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝，在磁场中运动时间t＝，与从N点射出时的运动时间相同，即时间将不变，D错误。 3. (2023·广东省一模)在如图所示的平面内，存在宽为L的匀强磁场区域(足够长、边界上有磁场)，匀强磁场的磁感应强度大小为B，左侧边界上有一离子源S，可以向纸面内各方向发射质量为m、带电荷量为＋q(q>0)、速度大小为的离子。不计离子受到的重力和空气阻力及离子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A．离子在磁场中运动的最长时间为 B．离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最短时间为 C．离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为 D．离子从左侧边界离开磁场时，射入点与射出点间的最大距离为L 答案　B 解析　由qvB＝m，得r＝＝·＝L 则垂直左边界射入的离子恰与右边界相切，运动半个圆周(如图①)，在磁场中运动的最长时间为tmax＝＝×＝ 此时，离子从左边界离开磁场，射入点与射出点间的距离最大，大小为2L，A、D错误； 当离子圆周运动的弦长最短时，圆心角最小，运动时间最短(如图②)，则最短弦长为L，由几何关系可知此时圆心角为60°，此过程时间最短，为tmin＝＝×＝，B正确； 离子初速度沿左边界向下时，离子做四分之一的圆周运动，此时有最大弦长(如图③)，则离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为tmax′＝＝×＝，C错误。 4. 如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m， 解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C。 5. (2023·广东省联考)如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源O可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为m、带电荷量为q的正粒子，一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQ＝L，PQ＝2L，OQ⊥PQ。要使PQ左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使粒子能打中PQ左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为OP，有2r1＝OP＝L，Bqv1＝m 可得对应的最小速度为v1＝ 要使粒子能打中PQ右侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹如图所示： 则有(r2－L)2＋(2L)2＝r22，Bqv2＝m，对应的最小速度为v2＝，综上可得，要使PQ左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为，故选D。 6. (2022·广东肇庆中学模拟)如图为一除尘装置的截面图，平板M、N的长度及其间距均为d，两板间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。工作时，大量质量为m、带电荷量为－q的带电尘埃，以平行极板的相同速度均匀地进入两板间，在磁场作用下就会被平板吸附。当带电尘埃以速度v0进入磁场时，贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，尘埃全部被平板吸附，除尘效率为100%(即打到M板上的尘埃占总尘埃的比例)，不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用力，不考虑电荷聚集在极板上产生的电场，求： (1)带电尘埃进入磁场速度v0的大小； (2)若尘埃速度大小变为v0，此时该装置的除尘效率是多少。 答案　(1)　(2)50% 解析　(1)尘埃在磁场中做匀速圆周运动，由于贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，由于平板M、N的长度及其间距均为d，根据几何关系可知R1＝d 尘埃粒子由洛伦兹力提供向心力，则有 qv0B＝m 解得v0＝ (2)若尘埃速度大小变为v1＝v0，则 qv1B＝m 解得R2＝d 作出恰好打在M板右边缘的尘埃的粒子的运动轨迹如图所示 令该尘埃到M板的距离为x，则有R22＝d2＋(R2－x)2 解得x＝d 可知，此时该装置的除尘效率为 η＝×100%＝50%。 7. 如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。 (1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为多少？ (2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动的时间的最大值； (3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R， 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝， 可得t1＝＝ (2)由v2＝，可得r2＝2R 粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图所示 由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60° 粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝＝ (3)由v3＝ 可得r3＝ 粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图所示 由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。 8. 如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。 答案　(1)　(2)<v0≤ 解析　(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示， 有qBv0＝，又T＝， 解得T＝ 又由几何关系得θ＝74°， 则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝ (2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示， 设此时速度为v01，轨道半径为R1， 由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l 又qBv01＝，解得v01＝ 当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2， 由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l， 又qBv02＝，解得v02＝ 综上可得<v0≤。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $