第六章 微点突破3 含弹簧的机械能守恒问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

微点突破3　含弹簧的机械能守恒问题 目标要求　知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。 1．由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。 2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。 3．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 例1　(2023·广东惠州市检测)如图所示，质量为m的小球从静止下落，落在与A点等高处、竖直放置静止的轻弹簧上，到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，图中与C点等高处是小球到达的最低点(不计空气阻力)。下列说法正确的是(　　) A．从O到C，小球重力势能减小、动能增大，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒 B．从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能不守恒 C．到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小 D．从O到A，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球系统机械能守恒 答案　D 解析　到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，此时加速度为0，速度达到最大，所以从O到C，小球重力势能减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误； 从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误； 到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小的点是A点，故C错误； 从O到A，只有重力做功，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球系统机械能守恒，故D正确。 1．当物体只受重力、弹簧弹力作用时，在合力变为零前后合力方向改变，则在此时往往速度最大。 2．当物体速度减为零时，此时弹簧长度为极值，则此时物体合力最大，加速度最大。 3．由振动知识可知物体速度大小和加速度大小关于平衡位置对称。 4．由机械能守恒可知，物体动能和重力势能与弹簧弹簧势能的和是定值，可据此由一种能量变化判断另外两种能量的和怎样变化。 例2　(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　) A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大 C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大 D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大 答案　AD 解析　在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，速度为零，小球机械能最小，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。 例3　如图所示，质量为2m的金属环A和质量为m的物块B通过光滑铰链用长为2L的轻质细杆连接，金属环A套在固定于水平地面上的竖直杆上，物块B放在水平地面上，原长为L的轻弹簧水平放置，右端与物块B相连，左端固定在竖直杆上O点，此时轻质细杆与竖直方向夹角θ＝30°。现将金属环A由静止释放，A下降到最低点时θ变为60°。不计一切阻力，重力加速度为g，则在金属环A下降的过程中，下列说法中正确的是(　　) A．金属环A和物块B组成的系统机械能守恒 B．金属环A的机械能先增大后减小 C．金属环A降到最低点时物块B的速度最大 D．弹簧弹性势能最大值为2(－1)mgL 答案　D 解析　A下降过程，弹簧逐渐伸长，对B的拉力水平向左，对物块B做负功，金属环A和物块B组成的系统机械能不守恒，故A错误；A、B与弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒，A下降过程中，弹簧的弹性势能一直增大，由机械能守恒定律可知，A、B机械能一直减小，B的速度先增大后减小，动能先增大后减小，重力势能不变，B的机械能先增大后减小，A的机械能一直减小，故B、C错误；A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，当A下降到最低点时A的重力势能转化为弹簧的弹性势能，到达最低点时，弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律可得弹簧的弹性势能最大值为Ep＝2mg×2L(cos 30°－cos 60°)＝2(－1)mgL，故D正确。 例4　如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求： (1)斜面的倾角α； (2)A球获得的最大速度vm的大小。 答案　(1)30°　(2)2g 解析　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。 由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0 则sin α＝，α＝30° (2)初始时系统静止且细线无拉力，弹簧处于压缩状态，设弹簧压缩量为Δx，对B：kΔx＝mg 因α＝30°， 则C球离开地面时，弹簧伸长量也为Δx，故弹簧弹性势能变化量为零， A、B、C三小球和弹簧组成的系统机械能守恒， 有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)vm2 联立解得vm＝2g。 1．(多选)(2024·广东东莞市模拟)“蹦极”被称为“勇敢者的游戏”。将一根自然长度为OA的弹性轻绳一端系在人身上，另一端固定在跳台边缘。人从跳台由静止下落开始计时，下落过程中速度随时间的变化如图所示，图中tA、tB、tC三个时刻分别对应A、B、C三个点，tB时刻是图像最高点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．重力加速度大小为 B．人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为动能 C．人在下落过程中，弹性绳对人先做正功再做负功 D．人从A点运动到C点这一过程中，人的机械能一直减少 答案　AD 解析　由题图可知，人从跳台下落到A点的过程，人做自由落体运动，可得重力加速度大小为g＝，故A正确；人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为人的动能和弹性绳的弹性势能，故B错误；人在下落过程中，弹性绳的形变量一直增大，弹性势能一直增大，故弹性绳对人一直做负功，故C错误；人从A点运动到C点这一过程中，人与弹性绳组成的系统机械能守恒，由于下落过程中，弹性绳弹性势能一直增大，故人的机械能一直减少，故D正确。 2.(2024·广东广州市真光中学开学考)如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂直挡板，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端连接质量为m的小球A，当小球A处于静止状态时，弹簧的弹性势能大小为E。现将另一个大小相等，质量相同的小球B(图中未画出)紧挨小球A右侧轻放在斜面上，已知重力加速度大小为g，弹簧一直处在弹性限度内，则弹簧的最大弹性势能为(　　) A．E B.＋E C.＋E D.＋2E 答案　B 解析　初始时A、B两小球的加速度最大，以A、B两小球为整体，根据牛顿第二定律有2mgsin θ－kx1＝2ma，kx1＝mgsin θ，解得a＝ 当两小球运动到最低点时，其速度为零，弹簧的弹性势能达到最大，根据简谐运动的对称性，有kx2－2mgsin θ＝2ma 解得x2＝，根据系统机械能守恒有Epmax＝2mgsin θ·(x2－x1)＋E＝＋E，故选B。 3.(多选)(2024·广东广州市联考)如图，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　) A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．物体A着地时的加速度大小为 D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2 答案　AC 解析　由题可知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，A正确；物体A与地面即将接触时，物体B对地面恰好无压力，则此时弹簧的弹力为T＝mg 开始时弹簧处于原长，由胡克定律知T＝kh 联立解得弹簧的劲度系数为k＝，B错误； 物体A着地时，弹簧的弹力为T＝mg 则细绳对A的拉力也等于mg，对A根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，解得a＝，C正确； 物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2m·v2，解得Ep＝2mgh－mv2，D错误。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $