第九章 第3课时 专题强化：电场中的图像问题 电场中的功能关系（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

第3课时　专题强化：电场中的图像问题　电场中的功能关系 目标要求　1.掌握电场力做功的计算方法，掌握电场中常用的功能关系。2.掌握电场中的几种常见图像。 考点一　电场中的功能关系 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。 (3)电场力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。 说明：动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来；能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。 例1　(2019·天津卷·3)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　) A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2 C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2 答案　B 解析　小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；电场力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp′＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。 例2　(2024·广东广州市华南师范大学附属中学月考)如图，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上，沿倾角为α的AC方向固定有一光滑绝缘细杆，AC＝2L，且D点为AC的中点；在O点有一固定的正点电荷。现有一质量为m，带电量为－q的有孔小球(可视为质点)从杆上A点无初速度下滑，小球滑到D点时速度大小为。小球从A运动到C的过程中，当小球电势能最小时其速度为vm。以A为零电势点，重力加速度为g。求： (1)小球滑到C点时的速度大小； (2)C点的电势； (3)从A到C过程中，小球电势能的最小值。 答案　(1)　(2)　(3)mgLsin α－mvm2 解析　(1)根据点电荷的电场特征可知，DC所在的圆是一条等势线，所以小球从D到C电场力做的总功为零，由几何关系可得DC的竖直高度为hDC＝Lsin α 根据动能定理有mgLsin α＝mvC2－mvD2 解得vC＝ (2)小球从A到C，由动能定理有mg×2Lsin α－qUAC＝mvC2 解得UAC＝－ 又知以A为零电势点，则有UAC＝φA－φC＝－φC 联立可得C点的电势为φC＝ (3)小球从A运动到C的过程中，当小球电势能最小时其速度为vm，由于小球带负电，则当小球电势能最小时，所处位置电势最高，根据点电荷电势分布特点可知，离正点电荷越近，电势越高，可知当小球运动到CD中点时，小球的电势能最小，从A到电势能最小位置的过程，根据能量守恒可得mg·Lsin α＋(0－Epmin)＝mvm2 解得小球电势能的最小值为Epmin＝mgLsin α－mvm2。 考点二　电场中的图像问题 1．电场中的v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。 例3　(2023·广东佛山市德胜中学段考)如图甲所示，场源电荷为点电荷Q，它的电场中有一条电场线，电场线上有A、B两点，若从某点由静止释放一电子，假设电子仅受电场力作用，电子从A点运动到B点的速度—时间图像如图乙所示。则(　　) A．点电荷Q一定为负电荷，并且在B的右侧 B．A、B两点的电场强度大小EA > EB C．A、B两点的电势φA > φB D．电子在A、B两点具有的电势能EpA < EpB 答案　B 解析　根据题意，电子从静止释放后从A运动到B，则电子受到的电场力方向从A→B，由题图乙可知从A→B加速度逐渐减小，点电荷Q一定为负电荷，并且在A的左侧，故A错误； 电场线方向从B→A，则B点的电势大于A点的电势，即φA>φB，故C错误； 从图像可看出，电子从A运动到B过程速度增大，加速度变小，电场力减小，即FA>FB，场强变小，B点的场强小于A点的场强，即EA>EB，故B正确； 因电场力做正功，则电势能减小，故D错误。 2．φ－x图像(电场方向与x轴平行) (1)电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。 (2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图) (3)电场中常见的φ－x图像 ①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。 ②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。 ③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。 例4　(2024·广东东莞市检测)在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处，两点电荷形成的静电场中，x轴上的电势φ随x变化的图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．x3处电势φ最高，电场强度最大 B．Q1带负电，Q2带正电 C．Q1的电荷量大于Q2的电荷量 D．电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能减小 答案　C 解析　φ－x图像的斜率表示电场强度，所以由题图可知x3处电势φ最高，电场强度最小为0，故A错误；由于沿着电场线方向电势逐渐降低，则O～x3电场线方向指向x轴负方向，x3～＋∞，电场线方向指向x轴正方向，并且在x3处电势φ最高，电场强度最小为0，根据点电荷场强公式E＝k，由近小远大规律可知，Q1的电荷量大于Q2的电荷量，并且Q1带正电，Q2带负电，故B错误，C正确；电子从x1处沿x轴移动到x2处，电场力做负功，电势能增加，故D错误。 3．E－x图像(电场方向与x轴平行) (1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。 (2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。 (3)电场中常见的E－x图像(沿x轴正方向为电场强度正方向) ①点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。 ②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。 ③两个等量正点电荷的E－x图像，如图。 例5　如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称，它们在x轴上的E－x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q，它将沿x轴正方向运动，不计重力。则(　　) A．A、B带等量正电荷 B．点电荷q在x1处电势能最大 C．点电荷q在x3处动能最大 D．点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为2x2 答案　D 解析　由E－x图像可知，在x轴上的P点对应x2点，在P点的左侧电场强度为正值，沿x轴正方向，右侧为负值，可知A、B带等量负电荷，A错误；电荷量为q的正点电荷，从O点到P点，电场力做正功，电势能减小，从P点沿x轴正方向运动，电场力做负功，电势能增加，因此点电荷q在x1处电势能不是最大，且点电荷q在x2处动能最大，B、C错误； 由对称性可知，点电荷q沿x轴正方向最远能到达O′处，由动能定理qUOO′＝ΔEk＝0，则UOO′＝0，由对称性知O′与O关于P点对称，故点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为2x2，D正确。 4．Ep－x图像、Ek－x图像 (1)Ep－x图像 由电场力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于电场力大小，正负代表电场力的方向。 (2)Ek－x图像 当只有电场力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，斜率表示电场力。 例6　(多选)(2023·广东茂名市一模)一带负电的微粒(电荷量不变，所受重力不计)只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是(　　) A．0～x1段电场强度逐渐增大 B．0～x1段电势逐渐升高 C．x1～x2段电场强度为零 D．x2～x3段微粒做匀加速直线运动 答案　CD 解析　图线的斜率表示电场力，0～x1段粒子所受电场力减小，故0～x1段电场强度减小，同理，x1～x2段电场强度为零，故A错误，C正确； 0～x1段微粒的电势能逐渐增大，而微粒带负电荷，所以其电势降低，x2～x3段微粒受到的电场力不变，电势能降低则动能增加，则微粒做匀加速直线运动，故B错误，D正确。 课时精练 1. 如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同心圆位于同一竖直平面内，MN为一粗糙直杆，A、B、C、D是杆与实线圆的交点，一带正电的小球(视为质点)穿在杆上，以速度v0从A点开始沿杆向上运动，到达C点时的速度为v，则小球由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是(　　) A．小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功 B．小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功 C．小球的机械能守恒 D．小球的机械能增大 答案　B 解析　小球由A点运动到C点，重力做负功，重力势能增加，电场力做的总功为负功，电势能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电势能与产生的热量之和，故A错误，B正确；电场力和摩擦力都做负功，机械能一定减少，故C、D错误。 2．(多选)一带负电粒子仅在电场力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．A、B两点的电势关系为φA>φB B．A点附近的等差等势面要比B点附近的等差等势面稀疏 C．A、B两点的电场强度大小关系为EA>EB D．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面 答案　AC 解析　根据速度由v1变为v2，速度减小，可知电场力对粒子做负功，电势能增加。根据带电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA>φB，故A正确；电场线密集的位置等差等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的电场力更大，加速度大，在v－t图像中斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系EA>EB，A点附近的等差等势面要比B点附近的等差等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则电场力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。 3. (多选)(2024·广东东莞市期中)空间有一沿x轴方向的电场，x轴上各点电势φ随位置的变化情况如图所示，图像关于O点中心对称。下列说法正确的是(　　) A．O点的电场强度沿x轴正方向 B．－x1和x1两点在同一等势面上 C．－x1与x1两点电场强度相同 D．将负电荷从x1移到x2过程中，电荷的电势能一直增大 答案　AC 解析　沿电场线方向电势降低，故O点的电场强度沿x轴正方向，故A正确； 电势是标量，－x1和x1两点处电势不同，一正一负，不在同一等势面，故B错误； φ－x图像斜率表示电场强度，由题图知，－x1与x1两点斜率相同，则电场强度相同，故C正确； 将负电荷从x1移到x2过程中，电势先减小后增大，则电势能先增大后减小，故D错误。 4．(2023·广东茂名市电白区第一中学测试)如图甲所示，粗糙的水平面上放有一个可视为质点的带电体，带电体的质量为m，电荷量为＋q，整个空间存在方向水平向右的电场，电场强度大小随位置不同而不同。带电体从O点由静止开始水平向右运动，运动过程中带电体的动能Ek与带电体通过的路程x的关系图像如图乙所示，其中0～x1和x1～x2过程的图像为曲线，x1处曲线切线斜率为零，x2～x3过程的图像为直线。下列说法正确的是(　　) A．0～x1区间，电场强度不断增大 B．在x1处，带电体所受的合力为零 C．0～x1过程中带电体的机械能一直减小 D．x2～x3过程中带电体做匀速直线运动 答案　B 解析　根据动能定理可得F合＝，可知Ek－x图像斜率的物理意义为带电体所受合力。0～x1过程，图像斜率越来越小，故F合越来越小，又因为F合＝qE－μmg，所以电场强度大小不断减小，故A错误； 在x1处，Ek－x图像斜率为零，所以带电体所受的合力为零，故B正确； 0～x1过程中，F合与运动方向相同，根据动能定理，0～x1过程中带电体的动能一直增加，而重力势能不变，弹性势能为零，所以机械能一直增加，故C错误； x2～x3过程，图像斜率不变，带电体所受的合力恒定不变，所以带电体做匀变速直线运动，故D错误。 5. (2023·广东肇庆市二模)工业生产中有一种叫电子束焊接机的装置，其核心部件由如图所示的高压辐向电场组成。该电场的电场线如图中带箭头的直线所示。一电子在图中H点从静止开始只在电场力的作用下沿着电场线做直线运动，设电子在该电场中的运动时间为t，位移为s，速度为v，受到的电场力为F，电势能为Ep，运动经过的各点电势为φ，则下列四个图像可能合理的是(　　) 答案　D 解析　电子所受的电场力的方向与电场强度方向相反，指向A极，所以电子向A极运动，电场强度逐渐增大，根据F＝eE，电场力逐渐增大，B错误；电子的加速度a＝，电子的加速度增大，v－t图线的斜率增大，A错误；根据Ep＝eEs，电子向A极运动，电势能减小，电场强度增大，Ep－s图线的斜率增大，C错误；电子向A极运动，电势升高，电场强度增大，φ－s图线的斜率增大，D正确。 6. (多选)真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的x＝－L处的P点和x＝L处的Q点，它们之间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的试探电荷由x＝－0.5L处的M点由静止释放后能通过x＝0.5L处的N点。不计试探电荷的重力，O为坐标原点，以下判断正确的是(　　) A．a、b均带正电 B．a电荷量大于b电荷量 C．x轴上从P至Q电势先降低再升高 D．M、O间的电势差大于O、N间的电势差 答案　BD 解析　由题图可知，从P到Q电场强度方向不变，带正电的试探电荷从M点由静止释放后能通过N点，说明a带正电、b带负电，故A错误；a带正电、b带负电，合电场强度最小时，a、b在该点产生的电场强度相等，设合电场强度最小时横坐标为x，则有Ea＝k，Eb＝k，可知Qa>Qb，故B正确；从P到Q电场强度方向不变，从正电荷指向负电荷，沿着电场线的方向电势降低，可知x轴上从P至Q电势逐渐降低，故C错误；M、O间的平均电场强度大于O、N间的平均电场强度，M、O间距离和O、N间距离相等，根据E＝，可知M、O间的电势差大于O、N间的电势差，故D正确。 7．如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，电荷量为QA、QB的两个点电荷分别固定于相距为6L的A、B两处。一质量为m、电荷量为q的带负电小滑块(可视为质点)从x＝－L处由静止释放后沿x轴正方向运动，在x＝2L处开始反向运动。滑块与地面间的动摩擦因数为μ，滑块在不同位置所具有的电势能Ep如图乙所示，P点是图线最低点，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．两固定点电荷均为正电荷 B．QA＝2QB C．x＝L处电势最低 D．从－L到2L，电势升高 答案　D 解析　小滑块带负电，结合题意可知两固定点电荷均为负电荷，在x＝L处电势能最低，则x＝L处电势最高，故A、C错误；根据功能关系知Ep－x图像的斜率表示电场力，可知在x＝L处电场力为零，则k＝k，解得QA＝4QB，故B错误；对滑块，从－L到2L，由动能定理有－qU－μmg·3L＝0－0，解得U＝，则从－L到2L，电势差为负，电势升高，故D正确。 8．(多选)(2024·广东省联考)如图(a)所示，倾角θ＝30°的光滑固定斜杆底端固定一电荷量为Q＝2×10－4 C的正点电荷，将一带正电的绝缘小球(可视为点电荷)从斜杆的底端(但与Q未接触)由静止释放，小球沿斜杆向上滑动过程中能量随位移的变化图像如图(b)所示，其中线1为重力势能随位移变化图像，线2为动能随位移变化图像，取杆上离底端3 m处为电势零点，杆足够长，重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，则(　　) A．小球的质量为2 kg B．小球的电荷量约为1.11×10－5 C C．斜杆底端至小球速度最大处由底端正点电荷形成的电场的电势差为4.0×106 V D．当小球运动到s＝1 m处时具有的电势能为13 J 答案　BD 解析　 根据重力势能随位移的变化关系有Ep＝mgssin θ 根据图像可知当小球位移为3 m时，重力势能为60 J，则小球的质量为m＝＝ kg＝4 kg，故A错误； 由图线2可知，当位移为1 m时，小球的动能达到最大值，电场力与重力沿杆的分力相等，则有mgsin θ＝k 解得q≈1.11×10－5 C，故B正确； 斜杆底端至小球速度最大处，由能量守恒可知qU＝Ekm＋Ep2，代入数据解得U＝4.23×106 V，故C错误； 从s＝1 m到最高点的过程中，根据能量守恒可知减少的电势能和减少的动能全部转化为重力势能，则有Epq＋ΔEk＝ΔEp，代入数据解得当小球运动到s＝1 m处时具有的电势能为Epq＝13 J，故D正确。 9. (2023·广东中山市模拟)如图，固定于同一条竖直线上的点电荷A、B相距为2d，电荷量分别为＋Q和－Q。MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球，质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷，q远小于Q)，现将小球从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v。已知MN与AB之间的距离也为d。静电力常量为k，重力加速度为g。求： (1)从C到O过程电场力对小球做的功WCO与C、O间的电势差UCO； (2)小球经过O点时加速度的大小； (3)小球经过与点电荷B等高的D点时速度的大小。 答案　(1)mv2－mgd　 (2)＋g　(3)v 解析　(1)根据动能定理有mgd＋WCO＝mv2，得WCO＝mv2－mgd，C、O间的电势差为 UCO＝＝ (2)点电荷A、B在O点的电场强度大小均为E＝k 则合电场强度大小E′＝E，小球经过O点时加速度的大小为a，由牛顿第二定律得qE′＋mg＝ma，解得a＝＝＋g (3)小球在CO和OD两个过程中，电场力做功相同，则根据动能定理有2WCO＋mg·2d＝mv′2 则小球经过与点电荷B等高的D点时速度的大小为v′＝v。 10．(多选)(2024·广东东莞市测试)如图甲，同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为L，O为水平连线AB的中点，M、N在AB连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q(Q＞0)，以O为原点、竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为零电势点，则ON上的电势φ随位置x的变化关系如图乙所示。一电荷量为Q(Q＞0)的小球以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，且在N点的加速度大小为2g，g为重力加速度，k为静电力常量。则(　　) A．小球在M点的加速度为零 B．从O点到N点场强逐渐增大 C．从M点到N点过程中，电场力对小球先做负功后做正功 D．从O点到N点小球的动能增加了 答案　ACD 解析　小球在N点的加速度大小为2g，说明在N点的电场力大小等于mg，方向竖直向下，根据对称性，在M点的电场力大小也为mg，方向竖直向上，故M点的加速度为0，选项A正确； φ－x图像的斜率表示电场强度，结合图像来看从O点到N点场强先增大后减小，选项B错误； 根据场强的叠加可知两个点电荷在O点上方产生的合场强竖直向上，在O点下方产生的合场强竖直向下，则小球在O点上方受到的电场力竖直向上，在O点下方受到的电场力竖直向下，故从M点到N点过程中，电场力对小球先做负功后做正功，选项C正确； 由几何关系知两个点电荷到N点的距离均为2L，根据库仑定律可知两个点电荷在N点产生的电场力大小都为F＝ 则合成之后的合电场力大小为 F合＝2Fsin 45°＝ 在N点由牛顿第二定律有mg＋＝ma， 其中a＝2g① 从O点至N点过程中，由动能定理：＋mg·L＝ΔEk② 由①②得，从O点到N点小球的动能增加了，选项D正确。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $