第五章 第3课时 专题强化：卫星的变轨问题 双星模型（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第3课时　专题强化：卫星的变轨问题　双星模型 目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.会解决双星、多星系统相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。 考点一　卫星的变轨和对接问题 1．卫星发射模型 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 思考　若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？ 答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。 (2)加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”) (3)周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1<T2<T3。 (4)机械能 在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1<E2<E3。 例1　(2022·浙江1月选考·8)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A．发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　因“天问一号”要脱离地球引力束缚，则发射速度要大于等于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，从P点转移到Q点的时间为天问一号公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误； 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上的小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 例2　(2024·浙江温州市统考)2023年1月14日，中国探月航天IP形象太空兔正式对外公布了名称：中文名“兔星星”，英文名“Tostar”。“嫦娥五号”从地球发射飞向月球的轨道变化的示意图如图所示，“嫦娥五号”发射后先在轨道Ⅰ上运行，当回到近地点A(A点到地心的距离可以认为等于地球的半径)时使其加速进入轨道Ⅱ，再次回到近地点A时，第二次加速进入轨道Ⅲ，B点为轨道Ⅲ的远地点，关于”嫦娥五号”的发射和变轨过程，下列说法正确的是(　　) A．“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度 B．发射后进入轨道Ⅰ时，“嫦娥五号”在A点的速度大于第一宇宙速度 C．“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度小于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度 D．“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期 答案　B 解析　“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上经过A点时加速进入轨道Ⅱ，所以轨道Ⅰ上经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度，故A错误；在近地圆轨道上的运行速度为第一宇宙速度，在近地圆轨道上的A点处加速才能做离心运动进入轨道Ⅰ，所以进入轨道Ⅰ时，“嫦娥五号”在A点的速度大于第一宇宙速度，故B正确； “嫦娥五号”在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度与轨道Ⅲ上经过B点时的加速度均由万有引力提供，可得a＝＝，又因为rB>rA，所以“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度，故C错误；轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可得，“嫦娥五号”在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故D错误。 例3　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 答案　D 解析　根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。 考点二　双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2， ω1＝ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④双星的周期、距离、总质量的关系：＝。 ⑤两星运行的各参量的比值关系＝＝＝。 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度、周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 例4　如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则(　　) A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A的质量小于B的质量 C．恒星A、B的总质量为 D．恒星A的线速度大于B的线速度 答案　C 解析　每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，由题图知rA<rB，则mA>mB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA<vB，故D错误。 例5　宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则G＋G＝mR，解得T1＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝，星体A所受合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T2＝2πr，则T1∶T2＝，故选D。 考点三　星球“瓦解”问题　黑洞问题 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。 例6　科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　地球的第一宇宙速度为v1＝，则该星球的第一宇宙速度为v2＝，要使该星球成为黑洞，应有v2>c，联立解得r<，所以D正确，A、B、C错误。 课时精练 1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量 答案　BD 解析　在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，当只有引力做功时，机械能守恒，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确。 2．2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是(　　) 答案　A 解析　要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。 3．(2024·浙江衢州市期末)天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在“调相轨道”和“停泊轨道”上绕火星运行时与火星球心的连线在相等时间内扫过的面积S1和S2，则下列说法正确的是(　　) A．图中两阴影部分的面积S1和S2相等 B．探测器在P点的加速度大于在Q点的加速度 C．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”后周期变大 D．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”过程中机械能守恒 答案　B 解析　根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是图中两阴影部分不在同一轨道，则S1和S2不相等，故A错误；根据牛顿第二定律＝ma可得a＝，可知探测器在P点的加速度大于在Q点的加速度，故B正确；探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的轨道半长轴变小，根据开普勒第三定律可知周期变小，故C错误；探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”，需要在P点减速，探测器的机械能减少，故D错误。 4．(2024·浙江嘉兴市期末)卫星回收技术是航天技术中的重要组成部分。如图所示，卫星沿半径为19 200 km的圆轨道a绕地球运行，启动点火装置在极短时间内让卫星变速进入椭圆轨道b，该轨道近地点靠近地球表面。已知地球半径为6 400 km，若卫星全程仅受地球引力作用，则卫星(　　) A．沿椭圆轨道靠近地球的过程中机械能不断增大 B．在圆轨道上运行时需加速才能进入椭圆轨道靠近地球 C．到达椭圆轨道的近地点位置时，速度大于地球的第一宇宙速度 D．变速后运动至近地点的最短时间等于地球近地卫星的环绕周期 答案　C 解析　由于卫星靠近地球的全程仅受地球引力作用，因此机械能守恒，故A错误；卫星在圆轨道上运行时的半径大于在椭圆轨道运行的半长轴，从圆轨道变轨到椭圆轨道需减速，故B错误；地球的第一宇宙速度为近地轨道的环绕速度，卫星需要在近地点位置加速做离心运动，才能由近地轨道变到b轨道，因此在近地点的速度大于地球的第一宇宙速度，故C正确；变速后运动至地球近地点的最短时间为沿椭圆轨道运动的半个周期，椭圆轨道的半长轴为r＝＝12 800 km，设卫星在椭圆轨道运行周期为T1，近地卫星周期为T2，根据开普勒第三定律可得＝可得＝＝2，即卫星在椭圆轨道运行周期不是近地卫星周期的两倍，则变速后运动至近地点的最短时间不等于近地卫星的环绕周期，故D错误。 5．(2023·浙江金华市期中)图甲为我国航天局发布的由“天问一号”拍摄的首张火星图像；图乙为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，下列说法正确的是(　　) A．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速 B．探测器在轨道Ⅲ上Q点的速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度 C．探测器在轨道Ⅰ上运行时，在相等时间内与火星连线扫过的面积与在轨道Ⅲ上相等 D．探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间小于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间 答案　B 解析　探测器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ做的是近心运动，需点火减速，A错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，可知在Q点的速度大于过S点的圆轨道上的速度vS，而vS小于在轨道Ⅱ上S点的速度，可知在轨道Ⅲ上Q点速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度，B正确；开普勒第二定律描述的是同一卫星在同一个轨道上相等时间与中心天体的连线扫过的面积相等，探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ属于不同的轨道，扫过的面积不相等，C错误；轨道Ⅱ的半长轴大于在轨道Ⅲ的半径，由开普勒第三定律知，探测器在轨道Ⅱ的周期大于轨道Ⅲ的周期，故探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间大于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间，D错误。 6．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 答案　C 解析　毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3， 整理得密度ρ≥＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C。 7.(2023·浙江台州市期中)2021年2月，“天问一号”探测器成功与火星“交会”，如图所示为探测器经多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为 R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上正常运行时经过O点的速度为v，关于探测器下列说法正确的是(　　) A．沿轨道Ⅱ运动时经过P点的速度等于沿轨道Ⅲ经过O点的速度 B．沿轨道Ⅲ运动时经过Q点的速度等于沿轨道Ⅲ经过O点的速度 C．沿轨道Ⅱ的运动周期等于沿轨道Ⅲ的运动周期 D．沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于 答案　D 解析　探测器从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要在O点减速做近心运动，在轨道Ⅱ上经过O点与P点的速度相等，所以沿轨道Ⅱ运动时经过P点的速度大于沿轨道Ⅲ经过O点的速度，故A错误；由开普勒第二定律可知，探测器在近火星点的速度大于远火星点的速度，即沿轨道Ⅲ运动时经过Q点的速度大于沿轨道Ⅲ经过O点的速度，故B错误；由题意可知，探测器在轨道Ⅱ运行的轨道半径为3R，沿轨道Ⅲ运行的半长轴为2R，由开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ的运动周期不等于沿轨道Ⅲ的运动周期，故C错误；由牛顿第二定律可知，沿轨道Ⅲ运动时，探测器经过O点的加速度大小等于探测器沿轨道Ⅱ运动时经过O点的加速度大小，即为a＝，故D正确。 8．有研究发现黑洞是通过不断“吸食”中子星表面的物质，从而慢慢吞噬中子星的。假设吞噬过程末期较短时间内黑洞和中子星之间的距离保持不变，总质量不变，黑洞质量大于中子星质量，二者可视为双星系统，则吞噬末期(　　) A．二者之间的万有引力不变 B．黑洞和中子星做圆周运动的角速度不变 C．中子星的轨道半径逐渐减小 D．黑洞做圆周运动的线速度逐渐增大 答案　B 解析　设黑洞的质量为m1，轨道半径为r1，中子星的质量为m2，轨道半径为r2，一段时间内“吸食”的质量为Δm，则二者之间的万有引力为 F＝G 由数学知识可知，随着Δm的增大，F逐渐减小，故A错误； 对黑洞有 G＝(m1＋Δm)ω2r1 对中子星有 G＝(m2－Δm)ω2r2 两式联立可解得ω＝ 因r1＋r2与m1＋m2均为定值，故ω不变，故B正确； 因G＝(m2－Δm)ω2r2 整理可得G＝ω2r2 由于Δm逐渐增大，故r2也逐渐增大，故C错误； 因r2逐渐增大，故r1逐渐减小，由v黑＝ωr1 可知黑洞的线速度逐渐减小，故D错误。 9．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　设两恒星之间的距离为L，各自轨道半径为r1、r2，万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有G＝m1r1()2，G＝m2r2()2，又L＝r1＋r2，M＝m1＋m2，联立以上各式可得T＝，故当两恒星总质量变为kM，两星间距变为nL时，圆周运动的周期T′变为T，B正确，A、C、D错误。 10.(多选)如图为由四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是(　　) A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 答案　BD 解析　四颗质量相等的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L可知，ω＝，故B正确；由(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。 11．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度大小为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　) A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 答案　D 解析　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度大小为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝mv2－mv02＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度大小为v0′＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv0′2－mv12＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $