第十一章 第3课时 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第3课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目标要求　1.会确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。2.会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。3.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法 1．圆心的确定方法 (1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。 (2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。 (3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。 2．半径的计算方法 方法一　由R＝求得。 方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。 如图甲，由R＝或R2＝L2＋(R－d)2求得 　 常用到的几何关系 (1)粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。 (2)弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。 3．时间的计算方法 方法一　利用圆心角θ、周期T求得t＝T。 方法二　利用弧长l、线速度v求得t＝。 二、带电粒子在有界磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 4．多边形边界或角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。 例1　如图，水平虚线上方存在匀强磁场，甲、乙两个相同的带电粒子从虚线上的A点射入磁场，甲粒子与水平方向的夹角α＝60°，乙粒子与水平方向的夹角θ＝30°，两粒子都经过虚线边界的B点，不计粒子重力及粒子间相互作用。设甲粒子的速度大小为v甲，乙粒子的速度大小为v乙，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　画出甲、乙粒子在磁场中运动的轨迹，建立几何关系如图所示，设AB长度为L，可得2R甲sin 60°＝L，甲粒子圆周运动的半径R甲＝L，同理乙粒子圆周运动的半径R乙＝L，由R＝可得＝＝。故选B。 例2　真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为θ＝30°，则(　　) A．粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60° B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子射入磁场时的速度大小为 答案　D 解析　轨迹如图所示，根据对称性知，粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角也为30°，则转过的圆心角为α＝300°，粒子在磁场中运动周期为T＝，则运动的时间为t＝T＝，A、B、C错误；设轨迹半径为r，由l＝r＋rcos 30°，解得r＝2(2－)l，根据qvB＝m，解得v＝，D正确。 例3　(2024·浙江绍兴市期末)如图，圆形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，不同速率的正、负电子从A点指向圆心，竖直向上进入该磁场，偏转后出射点为B、C、D、E，其中B、C、D三个出射点与圆心的连线与初速度的方向分别成90°、30°、45°角。下列判断正确的是(　　) A．沿径迹AC、AB的粒子为正电子 B．沿径迹AE的粒子飞行时间最短 C．沿径迹AC做圆周运动粒子的周期等于沿径迹AB做圆周运动粒子的周期 D．沿径迹AD的粒子速度是AB的倍 答案　C 解析　根据左手定则，沿径迹AC、AB的粒子为负电子，故A错误；根据qvB＝m得r＝，粒子做圆周运动的周期T＝＝，沿径迹AE的粒子对应圆心角最大，飞行时间最长，故B错误；根据T＝，沿径迹AC做圆周运动的粒子的周期等于沿径迹AB做圆周运动的粒子的周期，故C正确；设圆形区域半径R，根据几何关系，沿径迹AD运动粒子的半径rAD＝，沿径迹AB运动粒子的半径rAB＝R，又r＝，沿径迹AD的粒子速度是AB的倍，故D错误。 例4　如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m，又＝k，解得va＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－)2，解得rd＝，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m，又＝k，解得vd＝，选项B正确。 考点二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 (1)找出多解的原因。 (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 例5　(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等，均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　能够从ab边射出的电子，半径最小时为从b点射出，如图甲所示 　 由几何关系可知r1＝＝L，半径最大时为从a点射出，如图乙所示 由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使电子从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为≤v≤kBL，故选B、C。 例6　如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝k，则以下说法正确的是(　　) A．质子的速度可能为BkL B．质子的速度可能为BkL C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 答案　C 解析　因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，质子可能的运动半径r＝(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，即v＝＝Bk(n＝1,2,3，…)，质子的速度不可能为BkL和BkL，故A、B错误；质子由A到C的时间可能为t＝×n×＝＝(n＝1,2,3，…)，故C正确，D错误。 课时精练 1.(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　) A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 答案　AD 解析　由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，整理得r＝，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误；由周期公式T＝可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝T，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。 2．(2023·浙江杭州市模拟)如图所示，在xOy坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场右边界线与y轴平行。一束质量为m的带正电同种粒子从O点沿着x轴正方向以恒定速率进入磁场，粒子从右边界离开磁场时速度方向与x轴正方向成θ角。若撤掉磁场，该种粒子从进入到离开右边界用的时间为t。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则此种粒子的电荷量为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，由几何关系得rsin θ＝vt，联立解得q＝，故A正确，B、C、D错误。 3.(2023·浙江金华市联考)如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一负电荷(所受重力忽略不计)从A点沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。则带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为(　　) A. B．Rtan C．Rsin D．Rcos 答案　A 解析　根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系有＝tan ，解得r＝，故选A。 4．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力及粒子间相互作用，下列判断正确的是(　　) A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 答案　B 解析　由左手定则可知，a粒子带正电，b粒子带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，则Ra∶Rb＝1∶，故B正确；由qvB＝m得v＝，两粒子比荷相同，磁感应强度相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C错误；粒子运动周期T＝，故Ta＝Tb，a运动时间ta＝Ta＝Ta，b运动时间tb＝Tb＝Tb，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。 5.如图所示，宽为L、长为2L的矩形MNPQ区域内(包含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，一带负电的粒子，沿MN方向以速度v0从M点射入磁场，从P点射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　作出粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系有R2＝(R－L)2＋(2L)2，解得R＝L，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝m，解得＝。故选D。 6．(多选)(2023·全国甲卷·20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　) A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 答案　BD 解析　假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图甲所示，O1为圆周运动的圆心，由题可知粒子沿半径方向射入圆形磁场，出射时也沿半径方向，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性得粒子在其他点撞击同理，D正确； 假设粒子运动过程过O点，粒子从P点进入磁场中速度发生偏转，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的，不能交于一点确定圆心； 撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；由题意可知粒子射出磁场以后的每次偏移圆心连线组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，这个多边形最少应为三角形，如图乙所示，即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能增多，但粒子运动时间不一定减少， C错误。 7.在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m、带电荷量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的O′向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计粒子重力，则O、O′间的距离为多少？ 答案　见解析 解析　若粒子带负电荷，其在磁场中运动的轨迹如图甲所示， 由图甲可得ab＝2R，O′a＝R，Oa＝4R 即OO′＝3R 　 根据洛伦兹力提供向心力可得 Bqv0＝得R＝， 可得OO′＝ 若粒子带正电荷，其在磁场中运动的轨迹如图乙所示， 则可得OO′＝R 所以OO′＝。 8.如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)以速度v0沿水平方向从A点射入磁场，其速度方向与半径OA的夹角为30°，经过一段时间后，粒子恰好从O点正下方的D点射出磁场，下列说法正确的是(　　) A．该粒子带正电 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．若只改变带电粒子的入射方向，则其在磁场中的运动时间一定变短 答案　C 解析　轨迹向下偏转，根据左手定则，该粒子带负电，A错误；由几何关系得轨道半径为R，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B错误；该粒子在磁场中运动的时间为t＝T，T＝，解得t＝，C正确；若其从A点射入时速度方向与半径OA的夹角变大，则粒子在磁场中的运动轨迹变长，则其在磁场中的运动时间一定变长，D错误。 9.(多选)(2020·天津卷·7)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则(　　) A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距(＋1)a 答案　AD 解析　由题意可知，粒子在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝a，故C错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则v＝，故B错误；由图可知，ON＝a＋a＝(＋1)a，故D正确。 10.(2023·浙江杭州市模拟)如图所示，空间存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，粒子源O可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为m、带电荷量为q的正粒子；一薄光屏与纸面的交线为PQ，OQ＝L，PQ＝2L，OQ⊥PQ，不计粒子重力及粒子间相互作用。要使PQ左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使粒子能打中PQ左侧的所有位置，则粒子最小速度对应轨迹的直径为OP，由几何关系可得2r＝OP＝L，由洛伦兹力提供向心力可得Bqv＝m，可得对应的最小速度为v＝；要使粒子能打中PQ右侧的所有位置，速度最小时轨迹如图所示，由几何关系可得(R－L)2＋4L2＝R2，解得R＝L，由洛伦兹力提供向心力可得Bqv′＝m，联立解得对应的最小速度为v′＝，要使PQ左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的速率至少为。故选D。 11.如图所示，边长为a＝0.4 m正方形区域ABCD内无磁场，正方形中线PQ将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B＝0.2 T的匀强磁场区域，PQ右侧磁场方向垂直于纸面向外，PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为m＝1×10－8 kg，电荷量为q＝2×10－6 C的正粒子从AB中点以某一速率垂直于AB射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是(　　) A．若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的最大速度为12 m/s B．若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为10 m/s C．若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为 m/s D．若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子的速度可能为2 m/s 答案　C 解析　根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝， 若粒子能垂直于BC射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示 由几何关系可得(2n＋1)r＝(n＝0,1,2…) 解得v＝(n＝0,1,2…) 当n＝0时，速度最大为vmax＝8 m/s 当n＝1时v＝ m/s；当n＝2时v＝ m/s 故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $