第二章 第4课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 苏京）

第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。 考点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 例1　(2023·江苏徐州市三模)如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(　　) A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变 C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变 答案　C 解析　方法一：解析法 对足球受力分析如图所示： 设网绳与竖直方向的夹角为θ，将网绳在钉子上多绕几圈后，绳子长度减小，θ增大，由平衡条件可得G＝FT2＝FTcos θ，网绳的拉力FT随着θ的增大而增大，A、B错误；由平衡条件可得FN＝FT1＝FTsin θ，解得FN＝Gtan θ，所以墙壁对足球的支持力随着θ的增大而增大，C正确，D错误。 方法二：图解法 把三力放在一个矢量三角形中，如图所示，当网绳长度减小时，θ增大，矢量三角形中，随着θ角增大，FT变大，FN变大，故C正确。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 例2　如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是(　　) A．初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力 B．初始时弹簧弹力大于小球a的重力 C．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球a的支持力先增大后减小 D．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大 答案　D 解析　对小球a进行受力分析，小球a受重力G，半圆环对小球a的支持力FN和弹簧弹力F，三力平移后构成一首尾相连的三角形，如图所示，力的三角形与三角形OPQ相似，根据三角形相似有 ＝＝ 初始时PQ＝OP＝R，OQ>R，所以G>FN＝F，选项A、B错误； 小球b缓慢上移过程，小球a处于动态平衡状态，随着小球b上移，OQ减小，OP不变，重力G不变，半圆环对小球的支持力FN增大，选项C错误； 设弹簧的原长为L，弹簧的形变量为x，根据胡克定律有F＝kx，则＝＝，OQ减小，重力G不变，L不变，则弹簧形变量x增大，弹簧弹力F增大，选项D正确。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 例3　如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 答案　D 解析　方法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以D正确，A、B、C错误。 方法二：正弦定理 把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中，如图所示 根据正弦定理有＝＝ 易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°，故有＝＝ 在OM由竖直被拉到水平的过程中，α角保持不变，β由钝角减小至90°，γ由锐角增大至钝角，故可判断F1逐渐增大，F2先增大后减小，故D正确。 分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形 考点二　平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 例4　如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对光滑球体受力分析如图甲所示 根据平衡条件可得 FN2cos θ＝mg， 对支架受力分析如图乙所示 根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4， 联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 答案　2 N 解析　设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。 在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsin θ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝。 课时精练 1.(2023·江苏省昆山中学模拟)如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。若用两段更长的等长细绳重新将书拴住，两环位置不变。环与书本仍处于静止状态，则横杆对A环的作用力与原来相比(　　) A．大小不变、方向不变 B．大小减小、方向改变 C．大小减小、方向不变 D．大小增大、方向改变 答案　B 解析　杆对环的作用力包括支持力和摩擦力，根据环受力平衡可知，两者的合力大小与绳的拉力大小相等，设书本质量为m，细绳与竖直方向间的夹角为θ，绳的拉力大小F＝＝，用更长的等长细绳重新将书拴住，θ减小，cos θ增大，拉力大小减小，方向改变，故B正确。 2．(2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　) 　 A．电脑受到的支持力变大 B．电脑受到的摩擦力变大 C．支架对电脑的作用力减小 D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小 答案　A 解析　根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小为FN＝Gcos θ 电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ 由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确。 支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，C、D错误。 3．抖空竹是我国传统文化中一株灿烂的花朵，既极具观赏性，又可健身。如图甲所示，若抖空竹者保持一只手不动，另一只手沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和绳子间的摩擦力，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是(　　) A．沿虚线a向左移动时，细线的拉力将增大 B．沿虚线b向上移动时，细线的拉力将减小 C．沿虚线c斜向上移动时，细线的拉力将增大 D．沿虚线d向右移动时，细线的拉力将减小 答案　C 解析　对空竹受力分析如图所示： 由平衡条件有2Fsin θ＝mg 若设绳长为L，由几何关系可知cos θ＝ 当B沿虚线a缓慢向左移动时，dAB减小，cos θ减小，sin θ增大，F将减小，A错误； 同理可知当沿虚线d向右移动时，dAB增大，cos θ增大，sin θ减小，F将增大，D错误； 当沿虚线b向上移动时，dAB不变，cos θ不变，sin θ不变，F不变，B错误； 当沿虚线c斜向上移动时，dAB增大，cos θ增大，sin θ减小，F将增大，C正确。 4．(2024·江苏南通市期中)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　) A．绳子的拉力逐渐增大 B．该健身者所受合力逐渐减小 C．该健身者对地面的压力逐渐减小 D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 答案　D 解析　由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。 5.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是(　　) A．FN1不变，FN2变大 B．FN1变小，FN2变大 C．FN1变大，FN2变小 D．FN1不变，FN2变小 答案　A 解析　以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示 当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力FN2增大；以圆柱体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向有FN1＝(mA＋mB)g，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。 6.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中(　　) A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小 C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大 答案　D 解析　以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为FT＝，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，Ff＝FTcos θ＝，逐渐增大，故选D。 7．如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．瓦片共受到4个力的作用 B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上 C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大 D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大 答案　D 解析　瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。 8．(2023·江苏徐州市调研)如图所示，一晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢增大时，每根斜杆受到地面的(　　) A．支持力增大 B．支持力减小 C．摩擦力增大 D．摩擦力减小 答案　C 解析　对衣架、横杆、衣服组成的整体受力分析。整体竖直方向所受重力与地面的支持力平衡。设整体重力为G，则每根斜杆受到地面的支持力FN＝ 即θ变化不影响支持力大小。每根斜杆受到地面的摩擦力为Ff＝ 随着角度θ缓慢增大，tan 增大，Ff也增大。 故选C。 9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有(　　) A．拉力F逐渐增大 B．拉力F先减小后增大 C．小球对大圆环轨道的压力大小保持不变 D．小球对大圆环轨道的压力先增大后减小 答案　C 解析　对小球进行受力分析如图所示，根据相似三角形法可得＝＝ 在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小保持不变，故选C。 10.(2024·江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校联考)如图所示，一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，穿过质量为m的圆环，现施加一作用力F使圆环保持静止，AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，且细线始终有张力作用，重力加速度为g，则力F的最小值为(　　) A.mg B．mg C.mg D．2mg 答案　A 解析　滑轮两侧绳上的力相等，且AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，设绳上两个力的合力为T，可知θ＝45°，如图 则力F的最小值为F＝mgsin θ＝mg 故选A。 11.(2024·江苏省泰州中学开学考)如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶端的O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α，开始时F水平。保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一直保持静止，则下列说法正确的是(　　) A．外力F先增大后减小 B．细线拉力FT逐渐增大 C．地面对斜面的摩擦力先增大后减小 D．地面对斜面的支持力先减小后增大 答案　C 解析　如图所示，作出外力F、细线拉力FT的合力如图所示，二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，由此可以看出外力F逐渐增大，细线拉力FT逐渐减小，选项A、B错误；在此过程中，拉力F变为F′时，水平分力最大，应用整体法可得，地面对斜面的摩擦力先增大后减小，选项C正确；在此过程中，拉力F的竖直分力逐渐增大，根据整体法可得，地面对斜面的支持力一直在减小，选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $