第二章 第4课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 广东专用）

第4课时　专题强化：动态平衡和临界、极值问题 目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。 考点一　动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直，但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 例1　(2023·广东深圳市模拟)如图将光滑的重球放在斜面上，被竖直的挡板挡住而静止，设球对斜面的压力为FN1，对挡板的压力为FN2，当挡板从竖直缓慢地转到水平位置的过程中(　　) A．FN1变小，FN2变大 B．FN1变大，FN2变小 C．FN1变小，FN2先变小后变大 D．FN1和FN2都变小 答案　C 解析　以球为研究对象，受力分析如图。 小球受到重力G、斜面的支持力FN1′和挡板的支持力FN2′，FN1′与FN1是作用力和反作用力，大小相等，方向相反，FN2′和FN2是作用力和反作用力，大小相等，方向相反，由平衡条件得知，FN1′和FN2′的合力与重力G大小相等、方向相反，作出多个位置FN1′和FN2′的合力，如图，由图可看出，FN1′逐渐减小，FN2′先减小后增大，当FN1′和FN2′垂直时，FN2′最小，根据牛顿第三定律可知，FN1变小，FN2先变小后变大，故C正确，A、B、D错误。 2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 (1)一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，且构成矢量三角形的三个内角都变化，此时三力构成的矢量三角形与图中的实际几何三角形相似，如图所示，利用基本关系式：＝＝，来判断力的变化。 例2　(2024·广东省模拟)如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有(　　) A．拉力F逐渐增大 B．拉力F先减小后增大 C．小球对大圆环轨道的压力大小保持不变 D．小球对大圆环轨道的压力先增大后减小 答案　C 解析　对小球进行受力分析如图所示，根据相似三角形法可得＝＝ 在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，A点与小球间的距离变小，OA、OB不变，则拉力F逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力FN大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小不变，故选C。 (2)一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变。 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 例3　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 答案　AD 解析　法一：辅助圆 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。 法二：正弦定理 根据正弦定理＝＝，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。 分析动态平衡问题的流程 受力分析画不同状态下的平衡图构造矢量三角形 考点二　平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 例4　如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　若整个装置恰好静止，对光滑球体受力分析如图甲所示 根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图乙所示 根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ， 又Ff＝μFN4， 联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上方的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 答案　2 N 解析　设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。 课时精练 1.(2023·广东韶关市模拟)元代《王桢农书》记载了戽斗，它是一种小型的人力提水灌田农具，形状像斗，两边系绳，靠两人拉绳牵斗取水。如图所示，两根绳子与竖直方向夹角相同，忽略绳子质量，戽斗处于平衡状态时，两人站得越远，则(　　) A．两边绳子对戽斗的合力越大 B．两边绳子对戽斗的合力越小 C．人对每边绳子的拉力越小 D．人对每边绳子的拉力越大 答案　D 解析　对戽斗受力分析，可知两根绳子与竖直方向夹角相同，提供大小相等的拉力。两边绳子对戽斗的合力与戽斗的重力平衡，所以两人站的远近不影响绳子对戽斗的合力，两人站得越远，两绳夹角2θ越大，由F＝知人对每边绳子的拉力越大，故A、B、C错误，D正确。 2.如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B。若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是(　　) A．F和FN都增大 B．F增大，FN减小 C．F减小，FN增大 D．F和FN的合力不变 答案　D 解析　对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cos θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确。 3．(2023·广东深圳市高级中学三模)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　) 　 A．电脑受到的支持力变大 B．电脑受到的摩擦力变大 C．支架对电脑的作用力减小 D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小 答案　A 解析　根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小为FN＝Gcos θ 电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ 由原卡位4调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确； 支架对电脑的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力平衡，始终不变，C错误； 电脑受到的支持力与摩擦力两力的矢量和等于重力，支持力与摩擦力两力的大小之和大于其重力，故D错误。 4．(2023·广东韶关市模拟)学校农耕园施肥体验课，两位同学抬肥的示意图如图所示，重力为G的肥料桶(包括肥料)用绕过光滑细直硬木杆的轻绳悬挂处于静止状态，两侧绳子的夹角为θ，下列说法正确的是(　　) A．增加绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小 B．减小绳子长度，木杆两侧绳子的拉力都会减小 C．增加绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小 D．减小绳子长度，两同学肩膀受到的压力都会减小 答案　A 解析　对桶分析有2FTcos ＝G，解得FT＝，若增加绳子长度，减小，可知木杆两侧绳子的拉力都会减小，A正确；根据上述，若减小绳子长度，增大，可知木杆两侧绳子的拉力都会增大，B错误；根据平衡条件，可知两同学对木杆向上的支持力的合力大小等于肥料及桶和木杆的重力，若仅仅改变绳子的长度，两同学向上的支持力不变，即两同学肩膀受到的压力均不变，C、D错误。 5.(2023·广东汕头市模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　) A．绳子的拉力逐渐增大 B．该健身者所受合力逐渐减小 C．该健身者对地面的压力逐渐减小 D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 答案　D 解析　由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B水平缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。 6.(2023·广东梅州市质检)在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力FN1、竖直墙面对B的弹力FN2，下列说法正确的是(　　) A．FN1不变，FN2变大 B．FN1变小，FN2变大 C．FN1变大，FN2变小 D．FN1不变，FN2变小 答案　A 解析　以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示 当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力FN2变大；以圆柱体A、B为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向则有FN1－(mA＋mB)g＝0，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。 7.(2023·广东梅州市田家炳实验中学月考)如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为f，则该过程中(　　) A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小 C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大 答案　D 解析　以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为FT＝，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，故摩擦力方向向左，Ff＝FTcos θ＝，逐渐增大，故选D。 8.(2023·广东深圳市调研)如图所示，某同学将细绳穿过光滑圆环，绳的一端固定，另一端拴在手上，该同学将拴绳的手竖直向上缓慢移动过程中，下列说法正确的是(　　) A．细绳与竖直方向的夹角θ变大 B．细绳与竖直方向的夹角θ变小 C．圆环所受合力变大 D．细绳对圆环的拉力大小不变 答案　D 解析　该同学将拴绳的手竖直向上缓慢移动过程中，细绳两端水平间距d不变，细绳长度l不变，由几何关系知sin θ＝，所以细绳与竖直方向的夹角θ不变，故A、B错误；缓慢移动过程中，圆环受力平衡，所受合力始终为零，故C错误；由平衡条件得2FTcos θ＝mg，因为细绳与竖直方向的夹角θ不变，所以细绳对圆环的拉力FT大小不变，故D正确。 9．抖空竹在中国有着悠久的历史。假设抖空竹所用轻绳AB总长为L，空竹重力为G，可视为质点，简化图如图所示，绳能承受的最大拉力是2G，将绳一端固定，将另一端缓慢水平向右移动d而使绳不断，不计一切摩擦，则d的最大可能值为(　　) A.L B.L C.L D.L 答案　B 解析　设轻绳与水平方向的夹角为θ，根据受力分析可得竖直方向上有2FTsin θ＝G 绳的最大拉力是2G时，解得sin θ＝ 由几何关系可得sin θ＝ 联立解得d＝L，故选B。 10.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 答案　A 解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。 根据三角形相似得＝＝，又F合＝G，得FN＝ G ∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 11.(2023·广东佛山市顺德一中模拟)如图所示，木块a、b和沙桶c通过不可伸长的轻质细绳和轻质光滑滑轮连接，处于静止状态。其中AB细绳的B端与滑轮的转轴连接，A端固定于天花板上。现向沙桶c内加入少量沙子后，系统再次处于平衡状态。下列关于各物理量变化的说法正确的是(　　) A．斜面对木块a的摩擦力增大 B．细绳对沙桶c的拉力不变 C．地面对斜面体的支持力增大 D．AB绳与竖直方向的夹角增大 答案　D 解析　以沙桶c为研究对象，根据受力平衡可知，细绳对沙桶c的拉力等于沙与沙桶的重力，可知向沙桶c内加入少量沙子后，细绳对沙桶c的拉力变大，B错误；以木块a为研究对象，由于不清楚绳子拉力与木块a重力沿斜面向下的分力之间的大小关系，故斜面对木块a的摩擦力方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，向沙桶c内加入少量沙子后，细绳对a的拉力变大，斜面对木块a的摩擦力可能减小，也可能增大，甚至可能大小不变，A错误；以木块b为研究对象，设木块b两边绳子与竖直方向的夹角为θ，根据受力平衡可得2FTcos θ＝mbg，向沙桶c内加入少量沙子后，细绳拉力FT变大，可知cos θ变小，θ变大，以B端滑轮为研究对象，根据受力平衡可知，AB绳与竖直方向的夹角为，故AB绳与竖直方向的夹角增大，D正确；以木块a、轻质定滑轮和斜面体整体为研究对象，根据受力平衡可得FN地＝(M＋m)g＋FTcos θ＝(M＋m)g＋，可知向沙桶c内加入少量沙子后，地面对斜面体的支持力不变，C错误。 12．(多选)(2024·广东广州市广雅中学月考)如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b，若缓慢减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小。则(　　) A．斜面对a的弹力变大 B．斜面对a的弹力先变大后变小 C．b对a的弹力逐渐变小 D．b对a的弹力不变 答案　AC 解析　对a进行受力分析，如图甲所示。根据平衡条件可知，斜面对a的弹力F1、b对a弹力F2的合力与a的重力等大反向。在斜面倾角缓慢减小过程中，根据几何关系可知，F1和F2的夹角始终不变，而F1与竖直方向的夹角(锐角)逐渐减小，由此作出斜面对a的弹力F1和b对a的弹力F2的变化过程如图乙所示，可知斜面对a的弹力F1变大，b对a的弹力F2逐渐变小，故选A、C。 学科网（北京）股份有限公司 $