第五章 第3课时 专题强化：卫星变轨问题 双星模型（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 广东专用）

第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型 目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。 考点一　卫星的变轨和对接问题 1．卫星发射模型 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道 Ⅱ。 (3)在椭圆轨道B点(远地点)G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道 Ⅲ。 思考　若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？ 答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。四个速度关系为vA>v1>v3>vB。 (2)向心加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”) (3)周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1<T2<T3。 (4)机械能 在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1<E2<E3。 例1　(2023·广东省三模)“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021年10月16日成功对接，航天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远地点和近地点。下列说法正确的是(　　) A．在轨道Ⅲ上，载人飞船在Q点的向心加速度比在P点的向心加速度大 B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ运行的周期小 C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P点的速度 D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能比在Q点的机械能大 答案　A 解析　根据牛顿第二定律有G＝ma可得a＝，可知，离中心天体越近向心加速度越大，Q点为近地点，P点为远地点，因此在轨道Ⅲ上Q点的 向心加速度大于P点的向心加速度，故A正确；根据开普勒第三定律＝k，轨道Ⅲ为椭圆轨道，其半长轴大于轨道Ⅰ的半径，则可知在轨道Ⅲ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期，故B错误；载人飞船要实现在轨道Ⅲ向轨道Ⅳ变轨，则必须在两轨相切处P点点火加速才能顺利实现由低轨向高轨的变轨运行，因此载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度小于在轨道Ⅳ上经过P点的速度，故C错误；同一物体在同一轨道上运行时，其机械能守恒，因此在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能等于在Q点的机械能，故D错误。 例2　北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可 C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可 答案　D 解析　根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D。 考点二　双星和多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 思考　1.若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，向心加速度大小分别为a1、a2，则v、a与轨道半径r、两星质量m1、m2的关系怎样？ 答案　由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，由a＝ω2r及m1ω2r1＝m2ω2r2得＝＝。 2．两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？(已知引力常量G) 答案　由＝m1r1＝m2r2及r1＋r2＝L，得＝或m1＋m2＝。 例3　宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若r1>r2，则(　　) A．恒星A的质量一定大于B的质量 B．恒星A的线速度一定小于B的线速度 C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 答案　D 解析　根据万有引力提供向心力有m1ω2r1＝m2ω2r2，因为r1>r2，所以有m1<m2，即A的质量一定小于B的质量，选项A错误； 双星系统角速度相等，因为r1>r2，根据v＝rω知恒星A的线速度一定大于B的线速度，选项B错误； 设两星体间距为L，根据万有引力提供向心力，有G＝m1r1＝m2r2，解得周期为T＝2π，由此可知双星的距离一定，质量越大转动周期越小，选项C错误；总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期就越大，选项D正确。 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 例4　(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则G＋G＝mR，解得T1＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝，星体A所受合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m×，解得T2＝2πr，则T1∶T2＝，故选D。 考点三　星球“瓦解”问题　黑洞问题 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。 例5　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 答案　C 解析　毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3， 整理得密度ρ≥ ＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3，故选C。 例6　科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　地球的第一宇宙速度为v1＝，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝，并且有v2>c，联立解得r<，所以D正确，A、B、C错误。 课时精练 1.(多选)(2024·广东省开学考)我国已成功实现多次载人飞船与空间站径向交会对接，其过程可简化为飞船被送入预定轨道后，进行多次变轨，到了空间站下方几十公里后进行远距离导引，到更近的“中瞄点”后进行近距离导引，飞船一边进行姿态调整，一边靠近空间站，在空间站正下方约200米处调整为垂直姿态，再逐步向核心舱靠近，完成对接。下列说法正确的是(　　) A．飞船在低轨道的环绕周期比在高轨道的环绕周期大 B．远距离导引过程中，飞船需要点火加速 C．空间站的线速度比第一宇宙速度大 D．交会对接时，必须控制飞船绕地球运行的角速度与空间站的角速度相同 答案　BD 解析　对飞船，由万有引力提供向心力得 G＝m()2r可得T＝2π 由上式可知，飞船在低轨道的环绕半径比在高轨道的环绕半径小，因此飞船在低轨道的环绕周期比在高轨道的环绕周期小，A错误； 远距离导引过程中，飞船向高轨道变轨，必须加速做离心运动，需要点火加速，B正确； 根据万有引力提供向心力得G＝m 可得v＝ 第一宇宙速度是卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，轨道半径小于空间站的轨道半径，因此空间站的线速度比第一宇宙速度小，C错误； 交会对接时，为保证飞船一直在空间站的正下方向核心舱靠近，必须控制飞船绕地球运行的角速度与空间站的角速度相同，D正确。 2．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，其中的着陆巡视器于2021年5月15日着陆火星，则(　　) A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期 C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段” D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒 答案　C 解析　天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；根据开普勒第三定律k＝，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从图示“火星捕获段”需在近地点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故D错误。 3.(2023·广东湛江市一模)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与“天和核心舱”完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和核心舱”。对接过程的示意图如图所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到轨道Ⅲ。则神舟十五号飞船(　　) A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点减速 B．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1 C．在轨道Ⅰ上A点的向心加速度大于在轨道Ⅱ上A点的向心加速度 D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度 答案　D 解析　由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点加速，故A错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故B错误；由万有引力提供向心力可知，在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的合外力相同，向心加速度也相同，故C错误；由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确。 4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有：G＝m1r1()2，G＝m2r2()2，又L＝r1＋r2，M＝m1＋m2联立以上各式可得T＝，故当两恒星总质量变为kM，两星间距变为nL时，圆周运动的周期T′变为T，B正确，A、C、D错误。 5．2016年2月11日，激光干涉引力波天文台(LIGO)首次宣布发现了引力波。它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程。这一发现，证实了爱因斯坦100年前的预测，2017年诺贝尔物理学奖授予为发现引力波作出贡献的三位美国科学家。合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统。关于此双星系统，只考虑双星间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A．两个黑洞绕转的线速度大小相等 B．两个黑洞的质量分别与各自绕转的线速度大小成反比 C．两个黑洞绕转的向心加速度大小相等 D．质量大的黑洞旋转半径大 答案　B 解析　双星系统具有相同的角速度，靠两星之间的万有引力提供向心力，向心力大小相等，有m1r1ω2＝m2r2ω2，则轨道半径之比等于质量的反比，根据v＝rω知，线速度大小不等，故A错误。因为线速度与轨道半径成正比，轨道半径与黑洞质量成反比，则两个黑洞的质量分别与各自绕转的线速度大小成反比，故B正确。根据a＝rω2知，由于轨道半径不等，则向心加速度大小不等，故C错误。轨道半径与黑洞质量成反比，质量大的黑洞旋转的半径小，故D错误。 6.(2023·广东深圳市调研)由于潮汐等因素影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球。地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动。多年以后，地球(　　) A．与月球之间的万有引力变大 B．绕O点做圆周运动的周期不变 C．绕O点做圆周运动的角速度变小 D．做圆周运动的轨道半径变小 答案　C 解析　多年以后，地球和月球间距离变大，两星球的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力提供向心力有＝M1()2r1＝M1ω2r1，＝M2()2r2＝M2ω2r2，联立可得＝＝ω2，r1＝，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，则地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确。 7．一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对近地卫星，有 G＝m()2R，地球的质量M1＝ρ1·πR3，联立解得ρ1＝，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G＝m0()2R，M2＝ρ2·πR3，联立解得ρ2＝，所以＝，故选D。 8．2023年10月26日11时，神舟十七号载着汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员飞向蓝天，与“天和核心舱”对接展开一系列的科研任务。假设“天和核心舱”与“神舟十七号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现“神舟十七号”飞船与“天和核心舱”的对接，下列措施可行的是(　　) A．使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接 B．使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”，两者速度接近时实现对接 答案　C 解析　若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，故A错误； 若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行，然后“天和核心舱”减速，所需向心力变小，则“天和核心舱”将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，故B错误； 要想实现对接，可使飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的“天和核心舱”轨道，逐渐靠近“天和核心舱”后，两者速度接近时实现对接，故C正确； 若飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，故D错误。 9.(多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．每颗星体所需向心力大小为2G B．每颗星体运行的周期均为2π C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍 D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的 答案　BC 解析　任意两颗星体间的万有引力大小F0＝G，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cos 30°＝G，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m()2r′，其中r′＝＝，解得每颗星体运行的周期均为T＝2π，B正确；星体原来的角速度ω＝＝，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝＝，则星体的角速度变为原来的倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2π＝16π＝8T，星体的线速度大小v′＝×4r′＝，则星体的线速度变为原来的，D错误。 10.(多选)(2024·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是(　　) A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a0 B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为 C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3倍 D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为－ 答案　BD 解析　设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由＝ma得a＝，则a1＝a0＝a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝，解得v1＝＝，故B正确；根据开普勒第三定律有＝，解得＝，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝mv12－mv2＝－，故D正确。 11．2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已知引力常量为G。试解决如下问题： (1)若天文学家观测到一天体绕该黑洞做半径为r、周期为T的匀速圆周运动，求黑洞的质量M； (2)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c＝3×108 m/s)，若某黑洞的半径R约30 km，质量M和半径R的关系满足＝，求该黑洞的表面重力加速度大小。 答案　(1)　(2)1.5×1012 m/s2 解析　(1)根据G＝mr 可得M＝ (2)根据G＝m0g，＝ 解得g＝＝ m/s2＝1.5×1012 m/s2。 12.如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L，已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的。这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为M和m。求T2与T1两者平方之比。 答案　(1)2π　(2) 解析　(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有G＝MR，G＝mr，r＋R＝L 解得T＝2π (2)将地月看成双星，由(1)得T1＝2π，将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得G＝mL，化简得T2＝2π，所以＝。 学科网（北京）股份有限公司 $