第十一章 微点突破7 带电粒子在立体空间中的运动（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 广东专用）

微点突破7　带电粒子在立体空间中的运动 目标要求　1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和叠加场中的旋进运动。2.掌握带电粒子在立体空间中运动的解题思路和处理方法。 考点一　带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 例1　(2023·广东广州市三模)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　) A．匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变 C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D．若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆 答案　D 解析　将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误； 根据evyB＝m，T＝，且vy＝v0sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误； 若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误； 若仅增大α，则D增大而Δx减小，且α＝90°时Δx＝0，故D正确。 例2　某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置的半径均为R、间距为d的圆形金属板M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板； (2)仅在两板间加沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N板； (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v、方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 答案　(1)v≤　(2)v≤ (3)(n＝0、1、2、3…) 解析　(1)速度最大且速度方向与电场强度方向垂直的粒子能击中N板边缘，则全部粒子都能击中N板，对此种粒子有R＝v0t，d＝at2 其中a＝，解得v0＝ 所以速度大小满足v≤。 (2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋等距运动，vy＝vsin θ 根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝ 根据题意可知r≤，解得v≤ (3)设粒子在两板间运动时间为t′，在磁场中运动的周期为T，则应该满足t′＝(n＋)T(n＝0、1、2、3…)，根据d＝a′t′2， 其中a′＝，且粒子做圆周运动的周期T＝ 联立解得E＝(n＝0、1、2、3…)。 考点二　带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解。 例3　(2024·广东广州市联考)某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区域有沿－z方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0区域有沿－z方向的匀强磁场，在x＝－2d处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上P(0，－d,0)点以初速度v0沿＋y方向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与－x方向的夹角θ＝60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸收。求： (1)粒子的电性； (2)磁感应强度大小B； (3)粒子打到屏上位置的z轴坐标z1。 答案　(1)正电　(2)　(3)－ 解析　(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图 由左手定则知粒子带正电； (2)设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有rcos θ＝d，根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝m，解得B＝ (3)设粒子经过x轴时的坐标为－x1，则x1＋rsin θ＝2d 粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在xOy平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1， 则v0cos θ·t1＝2d－x1，粒子运动的加速度a＝ 在z轴负方向运动的距离z1′＝at12 解得t1＝，z1′＝ 所以打到屏上位置的z轴坐标z1＝－。 1．(2022·重庆卷·5)2021年我国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 答案　D 解析　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则电场力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力大小不变，合力大小不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。 2．(多选)(2023·广东珠海市三模)如图所示，以棱长为L的正方体顶点O为原点建立三维坐标系Oxyz，其中顶点P落在x轴上、Q落在y轴上。质量为m、电荷量为＋q的粒子(重力不计)由Q点沿x轴正方向以速度v0射入。第一次只在正方体内加沿z轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场，该粒子恰好能通过OQ的中点；第二次只在正方体内加沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，该粒子恰好能通过OP的中点；第三次在正方体内同时加上匀强磁场和匀强电场，磁场方向不变，电场方向调整为沿z轴正方向。则(　　) A．该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次 B．电场强度和磁感应强度大小满足E＝2v0B C．第三次该粒子在正方体内的运动为匀变速曲线运动 D．第三次该粒子将从正方体的上表面穿出 答案　ABD 解析　第一次粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为一半圆，运动半径为r＝L，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，解得B＝，运动时间t1＝＝，第二次粒子在电场中做类平抛运动，沿＋x方向做匀速直线运动，则运动时间为t2＝，可知该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次，故A正确；第二次运动中，粒子在沿－y方向做匀加速直线运动，则有L＝×t22，解得E＝2v0B，故B正确；第三次粒子射入时，所受电场力方向沿z轴正方向，洛伦兹力方向不断变化，合力不恒定，粒子不会做匀变速曲线运动，故C错误；该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次，则第三次粒子到达正方体的上表面时还未到达yOz面，故粒子最终会从正方体的上表面穿出，D正确。 3. (2023·广东佛山市一模)如图，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)电场强度E的大小； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看，如图所示 粒子从O1点进入右边磁场，则 L＝v0t ＝at2 qE＝ma 联立解得E＝ (2)设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴夹角为θ，如图所示，则 vy＝at，v＝ tan θ＝ 可得tan θ＝1，v＝v0 即有θ＝45° 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，如图所示，则 qvB＝m 又根据几何关系有R＋Rcos 45°＝L 解得B＝。 4．(2024·广东佛山市期末)医用质子治疗仪可将高能质子束精准地打在肿瘤病灶部位。如图，质子从O点射出，空间中存在一个沿y轴正方向的磁场，磁感应强度大小为B，不考虑质子重力作用，已知质子质量为m，带电荷量为q，为简化分析，假定环境为真空。 (1)若质子速度均沿y轴正方向，则质子将做什么运动，请简述理由； (2)若大量质子速度大小为v1，可从O点沿xOz平面内的任意方向射出，则每一个质子在磁场中运动多久后会回到O点？所有质子在xOz平面所能达到的区域是什么形状，面积有多大？ (3)若加速后的质子流，速度大小为v，方向沿y轴，但会有很小角度的偏差，则肿瘤块应处于y轴的什么位置附近，才能使质子会聚在肿瘤块上？ 答案　(1)匀速直线运动，理由见解析　(2)　能达到的区域是一个圆形　　(3)y＝n·(n＝1,2,3…) 解析　(1)若质子速度均沿y轴正方向，由于速度方向与磁场方向平行，可知质子受到的洛伦兹力为零，质子将做匀速直线运动。 (2)若大量质子速度大小为v1，可从O点沿xOz平面内的任意方向射出，可知质子速度方向与磁场方向垂直，质子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝m 解得质子的轨迹半径为R＝，则每一个质子在磁场中运动回到O点的时间为t＝T＝＝ 如图所示 所有质子在xOz平面所能达到的区域是一个圆形，该圆形区域的半径等于质子做匀速圆周运动的直径，则圆形区域的面积为S＝π(2R)2＝ (3)设偏差角度为θ，则可将质子的速度分解为沿y轴的分速度vy和垂直于y轴的分速度v⊥，可知质子在y轴方向以速度vy向前做匀速直线运动，同时在垂直于y轴平面以速度v⊥做匀速圆周运动，质子做匀速圆周运动的周期为T＝，根据周期性可知，质子经过y轴的时间为 t＝nT(n＝1,2,3…) 在这段时间内质子沿y轴前进的距离为y＝vyt 联立可得y＝n·≈n·(n＝1,2,3…) 则肿瘤块应处于y＝n·(n＝1,2,3…)位置附近，才能使质子会聚在肿瘤块上。 学科网（北京）股份有限公司 $