专题6 大题专攻1 导数与不等式-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

大题专攻1　导数与不等式 1 题型一　单变量不等式的证明 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)当a＝3，x＞0时，求证：f(x)＜(x－4)ex.(参考数据：e3≈20.1) 返回首页 二轮专题复习 故当x＞0时，p(x)＞p(0)＝0，即ex－x－1＞0， 由g′(x)＜0可得0＜x＜3，由g′(x)＞0可得x＞3， 所以函数g(x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，＋∞)， 所以g(x)min＝g(3)＝－e3＋21＞0，即g(x)≥g(x)min＞0， 故当a＝3，x＞0时，f(x)＜(x－4)ex. 返回首页 二轮专题复习 证明单变量不等式的常见思路 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　(2025·秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)ln x＋1. (1)求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：f(x)＋ex＞x＋1. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 题型二　双变量不等式的证明 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)求f(x)在[2，m](m＞2)上的最小值； 返回首页 二轮专题复习 (3)若F(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：(x1＋x2)g(x1＋x2)＞2. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 证明双变量不等式的三种方法 (1)消元法：借助题设条件，一种思路是建立x1与x2的等量关系，如x2＝g(x1)，从而将f(x1，x2)＞A的双变量不等式化成h(x1)＞A的单变量不等式；另一种思路是根据x1，x2与某参数a的关系，把所求问题均转化为关于参数a的函数问题解决． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)记两个极值点分别为x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)＋10＞ln a. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [例3]　(2025·沈阳二模)已知函数f(x)＝ln x－kx. (1)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≥0成立，求k的取值范围； 题型三　不等式恒(能)成立问题 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 不等式“恒”成立与“能”成立的区别与联系 类别 区别 联系 不等式问题 等价转化方式 不等 式恒 成立 问题 a≥f(x)在 x∈D上恒成立 a≥f(x)max， x∈D 对于单变量不等式，无论是恒成立问题还是有解(能成立)问题，都可以用分 离参数法或者构造函数法，转化为最值问题进行解决 a≤f(x)在 x∈D上恒 成立 a≤f(x)min， x∈D 返回首页 二轮专题复习 类别 区别 联系 不等式问题 等价转化方式 不等 式能 成立 问题 a≥f(x)在 x∈D上能成立 a≥f(x)min， x∈D 对于单变量不等式，无论是恒成立问题还是有解(能成立)问题，都可以用分 离参数法或者构造函数法，转化为最值问题进行解决 a≤f(x)在 x∈D上能成立 a≤f(x)max， x∈D 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　(2025·浙江二模)已知函数f(x)＝x(ex-1－1). (1)求函数f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程； 解：f′(x)＝ex-1－1＋xex-1＝(x＋1)ex-1－1，所以f′(1)＝1， 所以函数f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1. 返回首页 二轮专题复习 (2)若不等式f(x)≥ln x＋ax恒成立，求实数a的取值范围． 返回首页 二轮专题复习 所以当x∈(0，1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，所以当x∈(0，1)时，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0， 所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]. 返回首页 二轮专题复习 $