第11讲：二项式系数的性质【8个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，系统梳理从定义、对称性到系数和、特定项系数、奇偶次项系数和及最值的递进内容，构建从基础理解到综合应用的学习支架，涵盖赋值法、求导法等解题方法。 资料通过8大题型分类，结合知识梳理、解题方法与名师点睛，以经典例题和小试牛刀强化训练，培养数学思维的推理能力与数学语言的表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用与迁移能力。

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第11讲：二项式系数的性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求特定项的二项式系数】 【练方法】 知识梳理 二项式系数定义：展开式中称为第项的二项式系数，仅与有关，与无关 核心公式： 对称性： 解题方法 1.确定目标项对应的（第项对应） 2.代入组合数公式计算 3.若已知项的类型（如常数项、项），先由通项公式求，再算 名师点睛 区分二项式系数（）与项的系数（含的常数因子） 对称性可简化计算：，优先算小的 常见值：，， （2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ）经典例题1例题 A．9 B．8 C．7 D．6 （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ）小试牛刀1 A．6 B．16 C．24 D．216 （25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________．小试牛刀2 （24-25高二下·全国·课后作业）（1）展开式中第3项的二项式系数为______．小试牛刀3 （2）展开式中的系数为，则______． （3）已知在的展开式中，第6项为常数项．求展开式中所有的有理项． 【题型2：二项式系数与系数和】 【练方法】 知识梳理 二项式系数和：令，得 所有项系数和：对，令，得 核心赋值法：通过给变量赋值（）求系数和 解题方法 1.对，令，得所有项系数和 2.若求二项式系数和，令，得 3.若含多个变量，对每个变量分别赋值（如令） 名师点睛 赋值法是求系数和的唯一通法，记住“令得总和，令得常数项” 二项式系数和一定是，与无关；项的系数和与有关 （25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______．经典例题1例题 （2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ）经典例题2例题 A．48 B．64 C．40 D．80 （25-26高三下·云南昆明·月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）小试牛刀1 A．243 B．81 C．64 D．32 （2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江西宜春·期末）关于的展开式，下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 【题型3：求特定项的系数和】 【练方法】 知识梳理 场景：求含的项的系数和、某几项的系数和等 核心工具：通项公式+赋值法+分类讨论 解题方法 1.写出通项，确定目标项的 2.若求多项和，先分别求出各项系数，再相加 3.若为复杂多项式，用赋值法或分组法求和 名师点睛 特定项系数和=对应项的系数相加，本质是“先求单个系数，再求和” 若目标项不连续（如奇数项、偶数项），需先确定所有满足条件的，再逐个计算 避免漏算或重复计算，建议列表列出所有符合条件的项 （2026·福建龙岩·一模）设，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．31 D．32 【多选题】（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． （25-26高三下·青海西宁·开学考试）若，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．81 D．729 【多选题】（25-26高二上·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖南邵阳·一模）已知多项式，若，则___________．小试牛刀3 【题型4：奇次项与偶次项系数和】 【练方法】 知识梳理 对： 令： 令： 偶次项系数和： 奇次项系数和： 解题方法 1.令，得 2.令，得 3.代入公式： 偶次项和： 奇次项和： 名师点睛 口诀：“得总和，得交错和，相加得偶次，相减得奇次” 注意：偶次项指指数为偶数的项，不是项数为偶数的项 若为奇数，最后一项是奇次项；若为偶数，最后一项是偶次项 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ）经典例题1例题 A．127 B．128 C．129 D．256 （25-26高三下·河北雄安·开学考试）记，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中：小试牛刀1 (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·北京东城·月考）已知，则______，______．小试牛刀3 【题型5：二次项系数最值问题】 【练方法】 知识梳理 二项式系数先增后减，中间项最大 当为偶数时，中间一项最大 当为奇数时，中间两项和最大且相等 解题方法 1.判断的奇偶性 2.若为偶数：最大值为，对应第项 3.若为奇数：最大值为，对应第和项 4.若求最小值：最小值为 名师点睛 二项式系数的最值只与有关，与无关 口诀：“偶中最大，奇中两大，首尾最小” 高考中常考“求二项式系数最大的项”，直接找中间项即可 （25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________．经典例题1例题 （2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）经典例题2例题 A． B． C．80 D．160 （25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729.小试牛刀1 (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） （2025高三上·湖南常德·专题练习）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ）小试牛刀2 A．81 B．64 C．27 D．16 （25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ .小试牛刀3 【题型6：二项展开式的项的系数最值】 【练方法】 知识梳理 项的系数=二项式系数常数因子（如中系数为） 最值需通过不等式组求解：设第项系数最大，则 解题方法 1.写出第项的系数 2.列不等式组： 3.化简不等式组，解出的范围 4.取整数，代入求最大系数 名师点睛 区分“二项式系数最值”与“项的系数最值”：后者含常数因子，需列不等式求解 若，系数先增后减；若，系数正负交替，最值可能在两端 计算时注意符号，避免符号错误导致最值判断错误 （25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为．经典例题1例题 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在的展开式中，求：经典例题2例题 (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. （24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．小试牛刀2 （24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.小试牛刀3 (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【题型7：求导后项的系数和】 【练方法】 知识梳理 对，求导得： 令，得 再求导可得到等更高阶和 解题方法 1.设，写出展开式 2.对求导，得到 3.令，得 4.若需更高阶和，继续求导并赋值 名师点睛 求导法是求“型和”的唯一方法，本质是利用导数的线性性质 口诀：“求导赋值得，再导得” 高考中常考“求”，直接求导赋值即可 （2025高二·全国·专题练习）若，则______．经典例题1例题 （24-25高二下·河北·期中）若，则________，________．经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）已知，则__________．小试牛刀1 （23-24高二下·广东清远·期中）已知，则______．小试牛刀2 （23-24高二下·安徽六安·期中）已知,则__________.小试牛刀3 【题型8：二次项系数的综合问题】 【练方法】 知识梳理 场景：结合赋值法、求导法、最值、不等式、数列等知识的综合题 核心：将综合问题拆解为上述基础题型，分步解决 解题方法 1.拆解问题：将复杂问题分解为“求系数和、求最值、求特定项”等基础子问题 2.选择对应方法：赋值法、求导法、不等式组、通项公式等 3.分步计算：先解决子问题，再汇总结果 4.验证结果：检查是否符合定义域、符号、最值条件等 名师点睛 综合题“起点高，落点低”，本质还是基础性质的组合应用 优先用赋值法/求导法处理系数和，用不等式组处理最值 注意变量范围：，为正整数 【多选题】（2026·四川德阳·二模）设函数，且记，则（       ）经典例题1例题 A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【多选题】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ）经典例题2例题 A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． （24-25高二下·河南郑州·期末）已知 .小试牛刀1 (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. （24-25高二下·浙江台州·期中）已知展开式的二项式系数和为512，且．小试牛刀2 (1)求和的值； (2)若，且被6整除，求． （25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·海南海口·期中）若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）若，则等于（　　） A．4 B． C．32 D． 二、多选题 3．（24-25高二下·安徽·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 4．（24-25高二下·贵州黔西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东湛江·月考）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．被16除的余数是15 三、填空题 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知多项式，则______. 7．（24-25高二下·广东深圳·期中）若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______． 8．（25-26高三上·江苏徐州·期中）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________. 9．（25-26高二上·北京·期中）若，则__________，__________.（用数字作答） 10．（25-26高三上·天津西青·期中）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 四、解答题 11．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3). 12．（24-25高二下·山西·期中）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项． 13．（24-25高二下·吉林·期中）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 14．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求n的值及二项式系数最大的项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答） 15．（24-25高二下·福建三明·期中）已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求含的项； (2)若，求的值. 16．（25-26高三上·重庆·月考）把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第11讲：二项式系数的性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求特定项的二项式系数】 【练方法】 知识梳理 二项式系数定义：展开式中称为第项的二项式系数，仅与有关，与无关 核心公式： 对称性： 解题方法 1.确定目标项对应的（第项对应） 2.代入组合数公式计算 3.若已知项的类型（如常数项、项），先由通项公式求，再算 名师点睛 区分二项式系数（）与项的系数（含的常数因子） 对称性可简化计算：，优先算小的 常见值：，， （2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ）经典例题1例题 A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ）小试牛刀1 A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． （25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________．小试牛刀2 【答案】60 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 （24-25高二下·全国·课后作业）（1）展开式中第3项的二项式系数为______．小试牛刀3 （2）展开式中的系数为，则______． （3）已知在的展开式中，第6项为常数项．求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）55；（2）；（3） 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，再得到二项式系数即可. （2）利用二项式定理结合题意建立方程，求解参数即可. （3）先结合题意求出，再利用二项式定理求解有理项即可. 【详解】（1）由二项式定理得展开式的通项为， 令，解得，则第3项的二项式系数为． （2）由二项式定理得展开式的通项为， 令，可得含的项为第4项，即， 而的系数为，得到，解得． （3）由二项式定理得展开式的第6项为， 因为第6项为常数项，所以，解得， 由二项式定理得展开式的通项为， 而展开式中的有理项需要满足，且，解得． 故展开式中的有理项为 ． 【题型2：二项式系数与系数和】 【练方法】 知识梳理 二项式系数和：令，得 所有项系数和：对，令，得 核心赋值法：通过给变量赋值（）求系数和 解题方法 1.对，令，得所有项系数和 2.若求二项式系数和，令，得 3.若含多个变量，对每个变量分别赋值（如令） 名师点睛 赋值法是求系数和的唯一通法，记住“令得总和，令得常数项” 二项式系数和一定是，与无关；项的系数和与有关 （25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______．经典例题1例题 【答案】27 【详解】对，所有二项式系数和为，解得， 令，得， 故展开式中所有项的系数和为. （2026高三·北京·专题练习）已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ）经典例题2例题 A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. （25-26高三下·云南昆明·月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）小试牛刀1 A．243 B．81 C．64 D．32 【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用赋值法求各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为. 故选：B. （2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 【多选题】（25-26高二上·江西宜春·期末）关于的展开式，下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【分析】根据二项式定理以及性质逐一求出. 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 【题型3：求特定项的系数和】 【练方法】 知识梳理 场景：求含的项的系数和、某几项的系数和等 核心工具：通项公式+赋值法+分类讨论 解题方法 1.写出通项，确定目标项的 2.若求多项和，先分别求出各项系数，再相加 3.若为复杂多项式，用赋值法或分组法求和 名师点睛 特定项系数和=对应项的系数相加，本质是“先求单个系数，再求和” 若目标项不连续（如奇数项、偶数项），需先确定所有满足条件的，再逐个计算 避免漏算或重复计算，建议列表列出所有符合条件的项 （2026·福建龙岩·一模）设，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．31 D．32 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解系数和. 【详解】令得：， 令得：， 所以. 【多选题】（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【答案】ABD 【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D. 【详解】对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，的展开式中含项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以，即，故D正确． （25-26高三下·青海西宁·开学考试）若，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．81 D．729 【答案】C 【分析】方法一：由展开式令可得结论， 方法二：根据二项式定理依次求，再求结论. 【详解】方法一：令，则，所以原式左边为， 原式右边为． 方法二：根据二项式定理，得 ， 所以， 所以． 【多选题】（25-26高二上·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD （2026·湖南邵阳·一模）已知多项式，若，则___________．小试牛刀3 【答案】3 【分析】利用“赋值法”，分别令和，再利用可求的值. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相减得 . 又，所以 . 故答案为：3 【题型4：奇次项与偶次项系数和】 【练方法】 知识梳理 对： 令： 令： 偶次项系数和： 奇次项系数和： 解题方法 1.令，得 2.令，得 3.代入公式： 偶次项和： 奇次项和： 名师点睛 口诀：“得总和，得交错和，相加得偶次，相减得奇次” 注意：偶次项指指数为偶数的项，不是项数为偶数的项 若为奇数，最后一项是奇次项；若为偶数，最后一项是偶次项 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ）经典例题1例题 A．127 B．128 C．129 D．256 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 相减得，即. （25-26高三下·河北雄安·开学考试）记，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1. （25-26高二下·全国·课堂例题）求的展开式中：小试牛刀1 (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知，则 （    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过赋值和求解. 【详解】由题，当时，， 即①， 当时，， 即② ①②得， 所以， 故选：D. （25-26高三上·北京东城·月考）已知，则______，______．小试牛刀3 【答案】 1 16 【分析】根据二项式定理令，可得的值；令，则， 赋值即可得所求． 【详解】由题意令，可得， 令，则， 令，得， 令，得， 所以． 故答案为：1；16． 【题型5：二次项系数最值问题】 【练方法】 知识梳理 二项式系数先增后减，中间项最大 当为偶数时，中间一项最大 当为奇数时，中间两项和最大且相等 解题方法 1.判断的奇偶性 2.若为偶数：最大值为，对应第项 3.若为奇数：最大值为，对应第和项 4.若求最小值：最小值为 名师点睛 二项式系数的最值只与有关，与无关 口诀：“偶中最大，奇中两大，首尾最小” 高考中常考“求二项式系数最大的项”，直接找中间项即可 （25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用二项式性质确定二项式系数最大的项为第5项，再利用二项式定理求出展开式的通项，进而求解即可. 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： （2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）经典例题2例题 A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. （25-26高二上·安徽亳州·期末）已知的展开式中所有项的系数之和为729.小试牛刀1 (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】(1) (2)240 (3)140 【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果. （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （3）根据二项式定理求出所求项的系数. 【详解】（1）令，得，得. （2）的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. （3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. （2025高三上·湖南常德·专题练习）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ）小试牛刀2 A．81 B．64 C．27 D．16 【答案】A 【分析】根据二项式系数最大的项求得，利用赋值法求得正确答案. 【详解】因为展开式中只有第3项的二项式系数最大，即最大， 故，令，得展开式中的所有项的系数和. 故选：A （25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ .小试牛刀3 【答案】210 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 【题型6：二项展开式的项的系数最值】 【练方法】 知识梳理 项的系数=二项式系数常数因子（如中系数为） 最值需通过不等式组求解：设第项系数最大，则 解题方法 1.写出第项的系数 2.列不等式组： 3.化简不等式组，解出的范围 4.取整数，代入求最大系数 名师点睛 区分“二项式系数最值”与“项的系数最值”：后者含常数因子，需列不等式求解 若，系数先增后减；若，系数正负交替，最值可能在两端 计算时注意符号，避免符号错误导致最值判断错误 （25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为．经典例题1例题 (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式的展开式的通项公式可得答案； （2）将二项式中负号改为正号后，再令 可得答案； （3）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）所有项的系数之和可以通过令 来得到： ， 根据题意：， 解得：. 二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为 所以展开式中的常数项为 . （2）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，其绝对值为 ， 所有项的系数绝对值的和为： 构造二项式 ，其展开式为： 代入 ，得： ， 因此，. 所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . （3）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数）， 设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数）， 则，即， 化简得：， 整理得：， 又因为 为偶数， 所以只有满足上式， 所以 最大值出现在 处。计算： 对应项为： （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在的展开式中，求：经典例题2例题 (1)常数项； (2)二项式系数最大的项； (3)展开式中所有项的系数和. 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）根据二项式的性质写出通项公式，即可求出常数项. （2）二项式系数最大的项即中间项，利用通项法求解. （3）利用赋值法即可. 【详解】（1）展开式中第项， 因为是常数项，即， 所以，解得， 代入得常数项. （2）因为，展开式有9项， 所以二项式系数最大是第5项，该项为； （3）令，代入原式，得到的就是“所有项的系数和”， 即 ， 即展开式中所有项的系数和为. （24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________．小试牛刀1 【答案】 【分析】先求出二项式的通项，从而得出展开式的系数，根据展开式的系数的性质得出所有可能的系数最大项，求出所有可能的系数最大项进而得出系数最大项． 【详解】二项式的通项为：， 展开式的系数为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 展开式中系数最大的项出现在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 当时系数最大，即． 故答案为：． （2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为______，系数最大值为______．小试牛刀2 【答案】 70 7 【分析】写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可. 【详解】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 故答案为：70；7. （24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.小试牛刀3 (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【详解】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 【题型7：求导后项的系数和】 【练方法】 知识梳理 对，求导得： 令，得 再求导可得到等更高阶和 解题方法 1.设，写出展开式 2.对求导，得到 3.令，得 4.若需更高阶和，继续求导并赋值 名师点睛 求导法是求“型和”的唯一方法，本质是利用导数的线性性质 口诀：“求导赋值得，再导得” 高考中常考“求”，直接求导赋值即可 （2025高二·全国·专题练习）若，则______．经典例题1例题 【答案】81 【分析】两边求导，再应用赋值法计算求解. 【详解】两边分别求导得 ， 令得． 故答案为：. （24-25高二下·河北·期中）若，则________，________．经典例题2例题 【答案】 1 【分析】求导，结合赋值法即可求解. 【详解】令，得． 设， 则， 则． 故答案为：1；. （2025高三·全国·专题练习）已知，则__________．小试牛刀1 【答案】2022 【分析】先换元，令，再对展开式求导，并赋值，代入即得结果. 【详解】先换元，令，则， 两边同时求导，得， 令，得待求式． 故答案为：2022. （23-24高二下·广东清远·期中）已知，则______．小试牛刀2 【答案】10 【分析】将二项展开式两边求导，再代入，计算即得. 【详解】由两边求导得， ， 取，可得：. 故答案为：10. （23-24高二下·安徽六安·期中）已知,则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】对两边分别求导,再利用赋值法令即可求解. 【详解】对两边分别求导得: , 令得:. 故答案为:. 【题型8：二次项系数的综合问题】 【练方法】 知识梳理 场景：结合赋值法、求导法、最值、不等式、数列等知识的综合题 核心：将综合问题拆解为上述基础题型，分步解决 解题方法 1.拆解问题：将复杂问题分解为“求系数和、求最值、求特定项”等基础子问题 2.选择对应方法：赋值法、求导法、不等式组、通项公式等 3.分步计算：先解决子问题，再汇总结果 4.验证结果：检查是否符合定义域、符号、最值条件等 名师点睛 综合题“起点高，落点低”，本质还是基础性质的组合应用 优先用赋值法/求导法处理系数和，用不等式组处理最值 注意变量范围：，为正整数 【多选题】（2026·四川德阳·二模）设函数，且记，则（       ）经典例题1例题 A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】BD 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 【多选题】（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ）经典例题2例题 A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． （24-25高二下·河南郑州·期末）已知 .小试牛刀1 (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）令，得到，令，得到，两式相加除以2即可 （2）将代入化简并展开即可得出答案 （3）两边同时对求导，令即可 【详解】（1）令，有， 令，有， 即， 两式相加除以2，得. （2）当时， ， 所以被4除后的余数为3. （3）因为， 等式两边同时对求导可得 ， 令，可得. （24-25高二下·浙江台州·期中）已知展开式的二项式系数和为512，且．小试牛刀2 (1)求和的值； (2)若，且被6整除，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二项式系数和为可求得的值，再将原式中的进行赋值，即可求解； （2）利用的解析式先求出，再利用二项式定理展开，进而可求解. 【详解】（1）由二项式系数和为512知，，所以， ， 令，，令，， ； （2）由（1）知，则， ， 被6整除，能被6整除， 能被6整除， 能被6整除， ，，. （25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数．小试牛刀3 (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 【答案】(1)或13； (2) (3) 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； （2）， 原式； （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·海南海口·期中）若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 【答案】D 【分析】根据题意，分别令和，两式相减，求得，即可求解. 【详解】由， 令，可得， 令，可得， 两式相减，可得，所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）若，则等于（　　） A．4 B． C．32 D． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为：， 令，即得：， 所以. 故选：D 二、多选题 3．（24-25高二下·安徽·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 【答案】ABD 【分析】利用二项式系数的性质，二项式展开式公式，结合赋值法求奇偶项系数和，即能判断各选项. 【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由， 则，故B正确； 对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误； 对于D，令，则， 令， 上两式作差可得，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二下·贵州黔西·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得，故选项B正确； 令，得，故选项C错误； 将，两式相加，得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二下·广东湛江·月考）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．被16除的余数是15 【答案】BC 【分析】根据二项式展开式的性质，通过赋值法来求解各项系数的值，再根据余数的定义判断被16除的余数. 【详解】已知， 令，可得，即，所以选项错误. 展开式的通项为. 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 令，则，即，所以选项正确. 令，则. 又因为，所以，所以选项正确. .根据二项式定理展开可得： . 所以. 则被16除的余数是1，所以选项错误. 故选：BC. 三、填空题 6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知多项式，则______. 【答案】18 【分析】结合赋值法，分别令和，可得和，再把两式相加，可求的值. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相加可得. 故答案为：18 7．（24-25高二下·广东深圳·期中）若的展开式中各项系数的和为64，则展开式中常数项为______． 【答案】 【分析】令，先求出，再根据二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】令，得，解得， 的展开式的通项公式为， ， 令，得，所以展开式中常数项为． 故答案为：. 8．（25-26高三上·江苏徐州·期中）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________. 【答案】 【分析】写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可. 【详解】因为展开式的通项为 ， 因为第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，即，解得. 故答案为： 9．（25-26高二上·北京·期中）若，则__________，__________.（用数字作答） 【答案】 1 【分析】利用二项式定理求出通项，进而得到系数求解第一空，利用赋值法求解第二空即可. 【详解】由二项式定理得的通项是， 当时，可得， 令，得到. 故答案为：；1 10．（25-26高三上·天津西青·期中）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 【答案】135 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数. 【详解】由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 四、解答题 11．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)求的值； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）令即可求出； （2）令即可求出，进而可求； （3）令即可求出，结合（2）即可求. 【详解】（1）令得. （2）令，则， 由（1）知， 所以. （3）令，则① 由（2）知② 由①+②得， . 12．（24-25高二下·山西·期中）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大． (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项． 【答案】(1)60 (2) 【分析】（1）根据只有第4项的二项式系数最大，故，求出展开式的通项，得到第3项系数； （2）法一：设第项的系数最大，从而得到不等式组，得到，所以展开式中的系数最大的项为； 法二：在（1）基础上，分别求出从第1项到第7项系数，得到展开式中的系数最大的项为； 【详解】（1）只有第4项的二项式系数最大，故的展开式共7项， 由题意， 故展开式的通项为， 令，则第3项的系数为； （2）法一：设第项的系数最大，展开式的通项为， 则 即解得． 因为，所以，所以展开式中的系数最大的项为． 法二：由（1）知展开式的通项为． 则从第1项到第7项系数分别为1，24，60，160，240，192，64， 所以展开式中系数最大的是第5项，即． 13．（24-25高二下·吉林·期中）已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得展开式的通项公式为，根据第5项与第3项的系数之比为，累成方程，求得的值； （2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，可得， 即，解得或（舍），所以. （2）解：由（1）知二项式， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. . 14．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求n的值及二项式系数最大的项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答） 【答案】(1)，二项式系数最大的项为， (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数的增减项即可得，进而利用通项即可求解； （2）利用赋值法令可得； （3）利用赋值法令即可求解. 【详解】（1）由展开式中仅有第5项的二项式系数最大可知为唯一的最大，故， 则第5项为 （2）令，则 （3）令，则，与（2）中两式求和， 故 15．（24-25高二下·福建三明·期中）已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求含的项； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得展开式的通项为，进而求得的项，得到答案； （2）由（1）可得，分别令和，即可求解. 【详解】（1）解：由的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 可得，所以，即， 其展开式的通项公式为， 令，可得，所以含的项为. （2）解：由（1）可得， 令，可得， 再令，所以， 所以， 所以. 16．（25-26高三上·重庆·月考）把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 【答案】(1) ， ， ． (2) 【分析】（1）先求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得 ，然后写出数列的前2项即可； （2）利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为 ． 所以 ， . （2） ， 则， ， 两式相减得 ， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $