8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

教学设计 课题 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学科 数学 年级 高一 教学目标 1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.（直观想象、数学运算） 2.能用表面积和体积的公式解决简单实际问题.（数学应用） 重点 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积. 难点 球的体积公式的推导. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：前面已经学习了多面体的表面积与体积公式，那么该如何推导圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 设置问题情境，通过回忆上节所学引出新课. 新课讲授 知识点1：圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱的表面积公式：（ 是底面半径， 是母线长）， 圆锥的表面积公式：（ 是底面半径， 是母线长）， 圆台的表面积公式：（分别是上、下底面半径， 是母线长）． 教师提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 学生小组讨论，并展示所得结论. 教师总结：当圆台的上底面缩小成一个点，圆台的表面积公式就转化成圆锥的表面积公式；当圆台的上底面扩大到和下底面全等时，圆台的表面积公式就转化成圆柱的表面积公式. 知识点2：圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱的体积公式：（ 是底面半径，h是高）， 圆锥的体积公式：（ 是底面半径，h是高）． 圆台的体积公式：（分别是上、下底面半径，h是高）． 教师提问：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 学生小组讨论，并展示所得结论. 教师总结： （为底面积，为柱体高）； （为底面积，为锥体高）； （分别为上、下底面面积，为台体高）． 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 知识点3：球的表面积和体积 球的表面积：如果球的半径为，那么它的表面积是． 例3 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14） 教师提问：在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 如图，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”. 当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径.设是其中一个“小锥体”，它的体积. 由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积． 球的体积公式：． 例4 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 跟踪训练 1.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱部分的高，圆锥部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是( ) A. B. C. D. 2.（多选）已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球心O到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是( ) A.球O的半径为 B.球O的表面积为 C.球O的内接正方体的棱长为 D.球O的外切正方体的棱长为 通过学生自主回忆得出圆柱、圆锥表面积公式，推导得出圆台表面积公式，提高学生数学逻辑思维. 类比多面体的关系得出结论，让学生理解体会到转化的思想方法. 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系以及圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，保持一致，都由几何体自身结构特征决定，引导学生思考知识间的联系，完善数学认识结构. 通过球和圆柱组合体涉及表面积求法的举例，一方面熟悉球和圆柱的表面积，另一方面培养解决实际问题的能力. 利用无限切割的方法推导球的体积，渗透极限思想，使学生体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路. 通过思考和运用球和圆柱的体积公式，发现球的体积与圆柱的体积有内在联系，提高数学运算和空间想象学科素养. 通过课堂练习，让学生反复巩固圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，能够灵活运用. 课堂小结 1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积 通过总结，巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 2.圆柱、圆锥、圆台的体积 3.球的表面积和体积 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $