第13讲 随机抽样（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

本讲义聚焦高中数学“随机抽样”核心知识点，系统梳理全面调查与抽样调查的概念，简单随机抽样的定义及方法，总体与样本均值的计算，分层随机抽样的特征与应用，以及数据获取的基本途径，形成从基础概念到实际应用的递进学习支架。 该资料通过“举三反三”题型设计，结合例题与变式训练培养学生数学思维的推理能力，强化训练融入实际问题（如调查学生阅读时间、产品合格率）引导学生用数学眼光观察现实世界，分层抽样计算环节注重数据意识与模型观念的培养。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾知识、查漏补缺。

第13讲 随机抽样 知识清单 知识点01：全面调查与抽样调查及相关概念 知识点02：简单随机抽样的定义 知识点03：常用的简单随机抽样的方法 知识点04：总体均值与样本均值 知识点05：分层随机抽样的相关概念 知识点06：获取数据的基本途径 题型讲解 （举三反三） 题型1：简单随机抽样的特征及适用条件 题型2：抽签法和随机数表法 题型3：分层抽样的特征及适用条件 题型4：抽样比，样本总量，各层总数，总体容量的计算 题型5：获取数据的途径 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一 全面调查与抽样调查及相关概念 1．全面调查 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． 2．总体、个体 (1)我们把调查对象的全体称为总体． (2)组成总体的每一个调查对象称为个体． 3．抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． 4．样本、样本量、样本数据 (1)我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本． (2)样本中包含的个体数称为样本量． (3)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据． 知识点二　简单随机抽样的定义 1．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． 2．简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． 知识点三 常用的简单随机抽样的方法 1．常用的简单随机抽样的方法 (1)抽签法； (2)随机数法． 2．随机数的生成 (1)用随机试验生成随机数； (2)用信息技术生成随机数． 知识点四　总体均值与样本均值 1． 总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为 则称 为总体均值，又称总体平均数。如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为其中出现的频数为，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 2． 样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为 则称为样本均值，又称样本平均数。 3．样本均值与总体均值的关系 我们常用样本均值估计总体均值. 4．抽签法的优缺点与操作步骤 (1)优点：简单易行．当总体的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性． (2)缺点：仅适用于个体数较少的总体．当总体容量非常大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平． (3)用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤： ①编号：给总体中的所有个体编号(号码可以从1到N)； ②制作号签：将1～N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)； ③均匀搅拌：将号签放在一个不透明的容器里，搅拌均匀； ④抽取号码：每次从容器中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次； ⑤构成样本：从总体中将与抽到的号签上的号码一致的个体抽取，就构成了一个容量为n的样本． 5．随机数表法的优缺点及操作步骤 (1)优点：简单易行．它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题． (2)缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本量也较大时，用随机数表法抽取样本仍不方便． (3)随机数表法抽取样本的步骤： ①编号：对总体的个体进行编号(每个号码位数一致)； ②选定初始值：在随机数表中任选一个数作为开始； ③选号：从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若在编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止； ④确定样本：根据选定的号码抽取样本． 6．抽签法与随机数法的区别 抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽 样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样． 7．用样本估计总体，主要基于以下两点： 一是在很多情况下总体的个数往往很多，甚至无限，不能一一加以考察；二是有些从总体中抽取个体的试验常有破坏性，因而抽取的个体不允许太多。 知识点五、分层随机抽样的相关概念 1.分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 3．样本平均数的计算公式 在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数 ＝＋＝＋. 知识点六　获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制实验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗数据”，去伪存真 题型1：简单随机抽样的特征及适用条件 【例1-1】（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【例1-2】（2024高一下·全国·专题练习）通过简单随机抽样从某批零件中抽取50个，然后再从抽取的50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则可以推测该批产品的合格率为______. 【例1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本． (2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里． (3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）要从100位同学中抽取10位同学调查其期末考试的数学成绩，下图是电子表格软件生成的部分随机数，若从第一个数71开始抽取，则抽取的10位同学的编号依次为________.    【变式1-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 题型2：抽签法和随机数表法 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．以上都不对 【例2-2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________.                      【例2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某校二年级一班有40名学生，从中随机抽取3名学生进行视力测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程． 【变式2-1】（25-26高一上·江西景德镇·期末）现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（    ） A．36 B．43 C．35 D．29 【变式2-2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  15  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，选择合适的抽样方法确定志愿小组成员． 题型3：分层抽样的特征及适用条件 【例3-1】（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【例3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是________. 【例3-3】现在需要解决本校食堂每天应该准备多少米饭比较合适的问题．如果采用从本校学生中抽样调查每个人的饭量来得到相关信息，那么是否存在某变量作为分层的主要考虑因素？ 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【变式3-2】为制订某市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案: （1）测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; （2）查阅有关外地180名男生身高的统计资料; （3）用抽样调查的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计某市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案不合理的是____，合理的是____. 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 题型4：抽样比，样本总量，各层总数，总体容量的计算 【例4-1】（25-26高一上·辽宁·期末）某科研院所共有科研人员人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，无职称的人．欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定用分层抽样的方法抽取名科研人员进行调查，无职称的科研人员抽取人数为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·贵州遵义·月考）某校高一年级有男生520人，女生680人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取的人数为______ 【例4-3】（24-25高一下·安徽·月考）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【变式4-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【变式4-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）某校举行数学学科冬令营活动，该校高一､高二､高三年级参加的人数分别为150，120，120.为了了解本次冬令营开展的实际效果，从参加冬令营的学生中按年级采用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，若高二年级抽取的人数为8，则样本容量的值为__________. 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）某机构美术类艺体生的专业测试和文化测试成绩随机抽样统计如下（单位：人）： 文化成绩 专业成绩 优秀 良好 及格 优秀 6 4 8 良好 m 3 n 及格 4 3 5 已知样本中恰有10%的考生专业和文化成绩均为及格，恰有30%的考生专业成绩为优秀. (1)求m，n的值； (2)在抽取的专业成绩为优秀和良好的学生中，用分层随机抽样的方法抽取5人，分别求抽取的5人中专业成绩为优秀和良好的人数. 题型5：获取数据的途径 【例5-1】（24-25高一下·云南昭通·期末）为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是（   ） A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体 【例5-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列调查中，适宜采用抽样调查的是________（填上所有正确答案的序号）． ①调查某市中小学生每天的运动时间； ②某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查； ③农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量； ④调查某快餐店中8位店员的生活质量情况． 【例5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）一天，爸爸叫儿子去买一包糖．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．“糖都甜吗？”爸爸问．“都甜．”“你这么肯定？”儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 【变式5-1】（25-26高一上·河南·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解某市小麦的根部生长情况 B．了解某品牌手机的防摔功能 C．了解某省高一学生坚持晨读的情况 D．对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列调查中， ①调查我市中小学生每天的课外阅读时间； ②调查黄河某段水域的水质情况； ③调查某品牌汽车A柱（档风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性； ④调查某快餐店中8位店员的收入情况． 适合普查的是________，适合抽样调查的是________．（填序号） 【变式5-3】（2024高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 一、单选题 1．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 2．（2024高一下·全国·专题练习）在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 3．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（   ） A．42 B．45 C．49 D．50 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（    ） A．40人 B．36人 C．30人 D．24人 7．（25-26高一上·北京西城·期末）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（    ） A．101 B．808 C．909 D．1010 8．（25-26高一上·江西景德镇·期末）从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（    ） 0627  4313  2432  5327  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 A．51 B．25 C．32 D．12 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·单元测试）某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是（    ） A．总体编号为1~75，随机依次选出编号范围内的10个数作为抽中的编号 B．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，若或，则舍弃，重新抽取 C．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75 D．总体编号为6001~6879，在1~879之间产生随机整数r，把作为抽中的编号 11．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 三、填空题 12．（24-25高一下·河北·月考）为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 13．（2025高一·全国·专题练习）假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是_____（下面摘取了某随机数表第7行至第9行） 84421753315724550688770474476721763 35025839212067663016478591695556719 98105071851286735807443952387933211 … 14．（2025高一·全国·专题练习）为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）某市通过电话进行民意调查．该市的电话号码有7位，其中前两位为区域代码，只能为2，3，5，7的任意两位数组成（数字可重复），后5位取自0～9十个数字，现在任意选择3个区域，每个区域随机选取5个号码进行调查，请你设计一种抽取方案选出这15个电话号码． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 17．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 18．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 19．（2024高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 随机抽样 知识清单 知识点01：全面调查与抽样调查及相关概念 知识点02：简单随机抽样的定义 知识点03：常用的简单随机抽样的方法 知识点04：总体均值与样本均值 知识点05：分层随机抽样的相关概念 知识点06：获取数据的基本途径 题型讲解 （举三反三） 题型1：简单随机抽样的特征及适用条件 题型2：抽签法和随机数表法 题型3：分层抽样的特征及适用条件 题型4：抽样比，样本总量，各层总数，总体容量的计算 题型5：获取数据的途径 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一 全面调查与抽样调查及相关概念 1．全面调查 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查． 2．总体、个体 (1)我们把调查对象的全体称为总体． (2)组成总体的每一个调查对象称为个体． 3．抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查． 4．样本、样本量、样本数据 (1)我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本． (2)样本中包含的个体数称为样本量． (3)调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据． 知识点二　简单随机抽样的定义 1．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． 2．简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． 知识点三 常用的简单随机抽样的方法 1．常用的简单随机抽样的方法 (1)抽签法； (2)随机数法． 2．随机数的生成 (1)用随机试验生成随机数； (2)用信息技术生成随机数． 知识点四　总体均值与样本均值 1． 总体均值 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为 则称 为总体均值，又称总体平均数。如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为其中出现的频数为，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 2． 样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为 则称为样本均值，又称样本平均数。 3．样本均值与总体均值的关系 我们常用样本均值估计总体均值. 4．抽签法的优缺点与操作步骤 (1)优点：简单易行．当总体的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性． (2)缺点：仅适用于个体数较少的总体．当总体容量非常大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平． (3)用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤： ①编号：给总体中的所有个体编号(号码可以从1到N)； ②制作号签：将1～N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)； ③均匀搅拌：将号签放在一个不透明的容器里，搅拌均匀； ④抽取号码：每次从容器中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次； ⑤构成样本：从总体中将与抽到的号签上的号码一致的个体抽取，就构成了一个容量为n的样本． 5．随机数表法的优缺点及操作步骤 (1)优点：简单易行．它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题． (2)缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本量也较大时，用随机数表法抽取样本仍不方便． (3)随机数表法抽取样本的步骤： ①编号：对总体的个体进行编号(每个号码位数一致)； ②选定初始值：在随机数表中任选一个数作为开始； ③选号：从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中，则跳过，若在编号中，则取出，如果得到的号码前面已经取出，也跳过，如此继续下去，直到取满为止； ④确定样本：根据选定的号码抽取样本． 6．抽签法与随机数法的区别 抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽 样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样． 7．用样本估计总体，主要基于以下两点： 一是在很多情况下总体的个数往往很多，甚至无限，不能一一加以考察；二是有些从总体中抽取个体的试验常有破坏性，因而抽取的个体不允许太多。 知识点五、分层随机抽样的相关概念 1.分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 3．样本平均数的计算公式 在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数 ＝＋＝＋. 知识点六　获取数据的基本途径 获取数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制实验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗数据”，去伪存真 题型1：简单随机抽样的特征及适用条件 【例1-1】（2024高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（    ） ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案. 【详解】根据简单随机抽样的定义和性质知： ①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确； ②它是从总体中逐个地进行抽取，正确； ③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确； ④它是一种等可能性抽样，正确； 故选：A. 【例1-2】（2024高一下·全国·专题练习）通过简单随机抽样从某批零件中抽取50个，然后再从抽取的50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则可以推测该批产品的合格率为______. 【答案】 【分析】根据40个零件中合格品的个数来进行计算. 【详解】. 故答案为：. 【例1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本． (2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里． (3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． 【答案】(1)不是简单随机抽样，理由见解析 (2)是简单随机抽样，理由见解析 (3)是简单随机抽样，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）利用简单随机抽样的特征逐一判断各个命题. 【详解】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取的样本的总体的个数是无限的而不是有限的． （2）是简单随机抽样，因为有放回随机抽样与不放回随机抽样都是简单随机抽样． （3）是简单随机抽样，因为一次性抽取5个个体，与“逐个”抽取5个个体是等价的，都是简单随机抽样． 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，是有放回抽样，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）要从100位同学中抽取10位同学调查其期末考试的数学成绩，下图是电子表格软件生成的部分随机数，若从第一个数71开始抽取，则抽取的10位同学的编号依次为________.    【答案】71，7，4，1，15，2，3，5，14，11 【分析】根据已知条件，结合表格中的数即可求解. 【详解】如题图所示，抽取的10位同学的编号依次为71，7，4，1，15，2，3，5，14，11. 故答案为：71，7，4，1，15，2，3，5，14，11. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 【答案】(1)不适合 (2)适合 (3)不适合 (4)不适合 【分析】（1）总体容量较大，不适合； （2）总体容量较少，适合； （3）个体差异明显，不适合； （4）总体容量大，差异还较大，不适合. 【详解】（1）总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦； （2）总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便； （3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法； （4）总体容量大，且各类田地的差别很大，不宜采用简单随机抽样法． 题型2：抽签法和随机数表法 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据总体容量的大小，选择合适的简单随机抽样方法即可. 【详解】由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适． 故选：B． 【例2-2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________.                      【答案】32 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第 3 个有效编号即可. 【详解】先从随机数表第 9 个数字开始读取： 随机数表：39832776  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 第 9 个数字是 3（来自第二组 39918535）， 从左向右依次读取两位数字，并筛选出在 01~50 范围内且不重复的编号： 第 1 个：39 → 有效，对应编号 39 第 2 个：91 → 无效（>50），跳过 第 3 个：85 → 无效（>50），跳过 第 4 个：35 → 有效，对应编号 35 第 5 个：32 → 有效，对应编号 32 所以，抽取的第 3 支水笔的编号为 32. 故答案为：32. 【例2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某校二年级一班有40名学生，从中随机抽取3名学生进行视力测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程． 【答案】答案见解析 【分析】根据二年级一班学生的人数运用抽签法进行求解即可. 【详解】抽签法：步骤如下 （1）将40名学生编号，号码是01，02，…，40； （2）将号码分别写在大小相同的纸条上，揉成团，制成号签； （3）将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀； （4）从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号； （5）所得号码对应的3名学生就是要抽取的对象． 【变式2-1】（25-26高一上·江西景德镇·期末）现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（    ） A．36 B．43 C．35 D．29 【答案】D 【分析】根据要求，依次读取满足50以内且不重复的样本，得到答案. 【详解】第2行第7列的数据为4，依次读取满足50以内且不重复的数据为43,49,35,36,23,29， 故第6个样本的编号为29. 故选：D 【变式2-2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  15  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第1行第5列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是_____. 【答案】15 【分析】按照题意结合随机数表依次读出前4个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第5列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有40，37，14，15， 所以选出来的第4个个体的编号为15. 故答案为：15. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，选择合适的抽样方法确定志愿小组成员． 【答案】答案见解析 【分析】根据抽签法和随机数表法的概念写出即可. 【详解】因为本题的总体容量较小，样本容量也较小，所以，用抽签法和随机数表法皆可． （1）抽签法 第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02，…，18； 第二步：将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签； 第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员． （2）随机数表法： 第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02，…，18； 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向． 比如，选第8行第29个数“7”，向右读； 第三步：从数“7”开始，向右读，每次读取两位，凡不在01~18中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到12，07，15，13，02，09； 第四步：找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成员． 题型3：分层抽样的特征及适用条件 【例3-1】（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 【例3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样 【分析】由于客户个体因年龄存在较大差异，故选择分层抽样. 【详解】因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样， 才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价. 故答案为：分层抽样 【例3-3】现在需要解决本校食堂每天应该准备多少米饭比较合适的问题．如果采用从本校学生中抽样调查每个人的饭量来得到相关信息，那么是否存在某变量作为分层的主要考虑因素？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题设，结合分层抽样的定义，即可求解. 【详解】在学校中，不同年级的学生以及男女不同的性别，饭量大小存在较大的差异，所以可将其作为分层的主要考虑的因素. 【变式3-1】（24-25高一下·全国·课堂例题）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【分析】由分层抽样的适用条件即可判断； 【详解】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 故选：C 【变式3-2】为制订某市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案: （1）测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; （2）查阅有关外地180名男生身高的统计资料; （3）用抽样调查的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计某市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案不合理的是____，合理的是____. 【答案】 （1）（2） （3） 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【详解】（1）少年体校的男子篮球、排球队员运动员的身高一般高于平均水平， 因此不能用测量的结果去估计总体的结果，故方案（1）不合理， （2）用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况，故方案（2）不合理， （3）由于初中三个年级的男生身高是不同的， 所以应该用分层随机抽样的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高．故方案（3）合理． 故答案为：（1）（2）；（3）． 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 【答案】分层随机抽样，理由见解析 【分析】分析题意，各地块间植物覆盖面积差异很大，合理的抽样方法是分层抽样. 【详解】分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样理由如下： 由题知，各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大， 采用分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 题型4：抽样比，样本总量，各层总数，总体容量的计算 【例4-1】（25-26高一上·辽宁·期末）某科研院所共有科研人员人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，无职称的人．欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定用分层抽样的方法抽取名科研人员进行调查，无职称的科研人员抽取人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出分层抽样的抽样比，再利用已知无职称的科研人员数量乘以抽样比求解． 【详解】科研院所科研人员总计人，抽取人， 抽样比为：， 无职称的科研人员有人， 无职称的科研人员抽取人数为：人，故A正确． 故选：A． 【例4-2】（24-25高一下·贵州遵义·月考）某校高一年级有男生520人，女生680人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取的人数为______ 【答案】65 【分析】根据分层抽样的定义进行求解. 【详解】男生应抽取的人数为. 故答案为：65 【例4-3】（24-25高一下·安徽·月考）某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本. (1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例; (2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为，根据题意，列出方程求得，求得的值； （2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为，进而求得高三年级应抽取的人数. 【详解】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中， 设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为， 则，解得， 所以. 故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为. （2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为， 所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人. 【变式4-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）某校举行数学学科冬令营活动，该校高一､高二､高三年级参加的人数分别为150，120，120.为了了解本次冬令营开展的实际效果，从参加冬令营的学生中按年级采用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，若高二年级抽取的人数为8，则样本容量的值为__________. 【答案】26 【分析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，高二学生被抽取的比例，即为全校学生的比例，由此可求得样本容量的值. 【详解】由题可知，，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）某机构美术类艺体生的专业测试和文化测试成绩随机抽样统计如下（单位：人）： 文化成绩 专业成绩 优秀 良好 及格 优秀 6 4 8 良好 m 3 n 及格 4 3 5 已知样本中恰有10%的考生专业和文化成绩均为及格，恰有30%的考生专业成绩为优秀. (1)求m，n的值； (2)在抽取的专业成绩为优秀和良好的学生中，用分层随机抽样的方法抽取5人，分别求抽取的5人中专业成绩为优秀和良好的人数. 【答案】(1)， (2)优秀有3人，良好有2人 【分析】（1）通过表格找出相关数据，计算出样本共50人，根据题意分析进行计算即可； （2）利用分层抽样的定义计算求解即可. 【详解】（1）样本中专业和文化成绩均为及格的有5人，占10%， ∴样本量为， ∴专业成绩为优秀的人数为， ∴，解得． ∵，∴． （2）专业成绩为优秀的有15人，良好的有10人， 按分层随机抽样的方法抽取5人，抽样比为， ∴5人中专业成绩为优秀的有（人），良好的有（人）． 题型5：获取数据的途径 【例5-1】（24-25高一下·云南昭通·期末）为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是（   ） A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体 【答案】A 【分析】结合总体、个体、样本及样本量的相关概念进行判断即可. 【详解】根据定义，被抽取的40名学生是样本. 故选:A． 【例5-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列调查中，适宜采用抽样调查的是________（填上所有正确答案的序号）． ①调查某市中小学生每天的运动时间； ②某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查； ③农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量； ④调查某快餐店中8位店员的生活质量情况． 【答案】①③ 【分析】根据抽样调查适用的范围和条件即可. 【详解】因为②中要对所有小朋友进行检查，所以用全面调查的方式； ④中共8名店员，可采用全面调查的方式； ①③中总体中的个体数多，难以做到全面调查，故采用抽样调查的方式． 故答案为：①③. 【例5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）一天，爸爸叫儿子去买一包糖．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．“糖都甜吗？”爸爸问．“都甜．”“你这么肯定？”儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？ 【答案】普查；不好；抽样调查 【分析】略 【详解】在这则笑话中，儿子采用的是普查； 这种调查方式不好；因为儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”，说明这些糖都被尝过，所以这些糖就不能再吃； 他应该采用抽样调查的方法，即从糖果中选择几颗尝一尝是否甜即可. 【变式5-1】（25-26高一上·河南·月考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．了解某市小麦的根部生长情况 B．了解某品牌手机的防摔功能 C．了解某省高一学生坚持晨读的情况 D．对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 【答案】D 【分析】根据抽样调查与普查的特点，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：了解某市小麦的根部生长情况，普查工作量巨大且有破坏性，适合抽样调查，故A错误； 选项B：了解某品牌手机的防摔功能，普查工作量巨大且有破坏性，适合抽样调查，故B错误； 选项C：了解某省高一学生坚持晨读的情况，普查工作量巨大，适合抽样调查，故C错误； 选项D：“玄龙08战斗机”的各零部件数量有限，且是精确度要求较高的调查， 适合全面调查（普查），故D正确. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列调查中， ①调查我市中小学生每天的课外阅读时间； ②调查黄河某段水域的水质情况； ③调查某品牌汽车A柱（档风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性； ④调查某快餐店中8位店员的收入情况． 适合普查的是________，适合抽样调查的是________．（填序号） 【答案】 ④ ①②③ 【分析】依据普查与抽样调查各自的特点进行逐一判断选取. 【详解】④中共8名店员，数量较少，可采用普查方式； ①②因数量大，③由于具有破坏性，普查都是难以做到的，采用抽样调查的方式． 故答案为：④；①②③ 【变式5-3】（2024高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？ (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2)调查一个地区结核病的发病率； (3)调查一批炮弹的杀伤半径； (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据总体和个体概念以及普查和抽查的适用范围一一分析即可. 【详解】（1）总体是全班学生，个体是这个班的每一位学生，适合用全面调查， （2）总体是整个地区的居民，个体是这个地区的每一位居民，适合用抽样调查， （3）总体是这批炮弹，个体是这批炮弹的每一个炮弹，适合用抽样调查. （4）总体是这个水库里所有的鱼，个体是这个水库里的每一条鱼，适合用抽样调查. 一、单选题 1．（24-25高一下·天津河西·期末）下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 2．（2024高一下·全国·专题练习）在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（　　） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些 B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些 C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用简单随机抽样的意义逐项判断即得. 【详解】在简单随机抽样中，每个个体每次被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关，A，B，D错误，C正确． 故选：C 3．（24-25高一上·北京石景山·期末）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分层抽样的意义求解即可. 【详解】由题得应抽取男运动员的人数为. 故选：B. 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（   ） A．42 B．45 C．49 D．50 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分层抽样抽样比列式求解. 【详解】依题意，样本容量为. 故选：C 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断正确的是（    ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 【答案】D 【分析】根据样本及总体的定义及统计概念判断各个选项. 【详解】样本平均数可能大于总体平均数，也可能小于总体平均数，也可能等于总体平均数，因此A，B，C都有可能正确，也有可能是错误的， 但是当样本容量越大时，样本平均数越接近总体平均数，因此D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（    ） A．40人 B．36人 C．30人 D．24人 【答案】D 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 7．（25-26高一上·北京西城·期末）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（    ） A．101 B．808 C．909 D．1010 【答案】B 【分析】利用分层抽样的运算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由分层抽样的运算方法知，，即，所以. 故选：B 8．（25-26高一上·江西景德镇·期末）从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（    ） 0627  4313  2432  5327  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 A．51 B．25 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码即可. 【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过55和重复的号码，选取的号码依次为： 31，32，43，25，12，51，26， 04， 01，11， 所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·单元测试）某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 【答案】AB 【分析】根据分层抽样的相关概念及等比例性质依次判断各项的正误. 【详解】A：从中随机抽取30名，则样本量为30，对； B：设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，对； C：设高二与高三年级的社团成员共有人， 因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人， 所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，错； D：根据C知，高一年级的社团成员有（人），故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错. 故选：AB 10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是（    ） A．总体编号为1~75，随机依次选出编号范围内的10个数作为抽中的编号 B．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，若或，则舍弃，重新抽取 C．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75 D．总体编号为6001~6879，在1~879之间产生随机整数r，把作为抽中的编号 【答案】ABD 【分析】根据简单随机抽样的等可能性判断各项的正误. 【详解】A：因为总体编号为，且随机依次选出编号范围内的10个数， 所以每个数被抽中是等可能的，所以是简单随机抽样，对； B：总体编号为，在之间产生随机整数，若或则舍弃，重新抽取， 则每个编号均可能被抽中，且每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对； C：总体编号为，在之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75， 因为号与号被抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，错； D：总体编号为，在之间产生随机整数，把作为抽中的编号， 则每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对. 故选：ABD 11．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． 三、填空题 12．（24-25高一下·河北·月考）为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为．已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为_________人． 【答案】240 【分析】根据分层抽样的特征即高一年级抽取人数占比即为高一学生人数所占总学生人数占比，列式即可求解. 【详解】因为三个年级学生人数之比依次为，所以高一年级抽取的比例为，得. 则高三年级抽取的人数为. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·专题练习）假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是_____（下面摘取了某随机数表第7行至第9行） 84421753315724550688770474476721763 35025839212067663016478591695556719 98105071851286735807443952387933211 … 【答案】 【分析】根据随机数表法中数据的读取规则与方法进行求解. 【详解】根据随机数表法中数据的读取规则与方法， （不重复、在范围内即可）可得最先检验的5袋牛奶的号码是：． 故答案为:． 14．（2025高一·全国·专题练习）为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 【答案】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）某市通过电话进行民意调查．该市的电话号码有7位，其中前两位为区域代码，只能为2，3，5，7的任意两位数组成（数字可重复），后5位取自0～9十个数字，现在任意选择3个区域，每个区域随机选取5个号码进行调查，请你设计一种抽取方案选出这15个电话号码． 【答案】答案见解析 【分析】根据抽签法可抽取前两位，进而利用随机数表法求解后五位，即可求解. 【详解】解  第一步：列出只能由含2，3，5，7的任意两位数组成的区域代码，共16个，用抽签法随机抽取3个． 第二步：制作一张00000～99999的随机数，方法是用抽签法或计算机生成法产生若干个0～9之间的随机整数，5个一组，构成00000～99999之间的随机数． 第三步：用随机数表产生随机数的方法选出15个5位数即为所选号码，分成3组． 第四步：一组前加上用抽签法选出的第一个区域代码，第2，3组前分别加上选出的第2，3个区域代码． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况． (1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程． 【答案】(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样 (2)答案见解析 【分析】（1）由分层抽样和简单随机抽样的定义即可得出答案； （2）按照分层、确定抽样比、确定各层样本数、按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本、汇总构成一个容量为40的样本的过程求解即可. 【详解】（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样． （2）①分层，将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称及其他人员四层； ②确定抽样比； ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6； ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本． 17．（2024高一下·全国·专题练习）某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，分别按抽签法和随机数法的基本步骤依次分析，可得答案. 【详解】抽签法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，然后用大小、质地完全相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 随机数法： （1）将甲地30名艺人从01到30编号，准备10个大小、质地完全一样的小球．小球上分别写上数字0，1，2，…， 把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅匀，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止． （2）运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人． 18．（24-25高一下·全国·课堂例题）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某学校，从1000名高一学生中，挑选出20名最优秀的学生参加县级数学竞赛； (4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)是，理由见解析 【分析】根据简单随机抽样的概念判断即可. 【详解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体中的个数是有限的． （2）是简单随机抽样．“一次性抽取”和“逐个不放回的抽取”等价，符合简单随机抽样的要求． （3）不是简单随机抽样．因为这20名学生是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求． （4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样． 19．（2024高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少? 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）分析题意，得到分层比，再进行计算均值即可 （2）首先找出男、女的样本量都是25，进行总样本均值计算即可. 【详解】（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为cm. （2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为cm， 1 学科网（北京）股份有限公司 $