第19卷 排列组合与二项式定理 2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第19卷。 2026年山东省春季高考 第19卷 排列组合与二项式定理 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．11 【答案】C 【分析】根据二项展开的通项可得答案. 【详解】因为中只有和中含的项， 的通项为，令，可知含的项为， 的通项为，令，可知含的项为， 所以的展开式中，含的项的系数是， 故选：C. 2．从8瓶酸牛奶和4瓶纯牛奶中任意选取4瓶，则恰有1瓶是酸牛奶的选取方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据组合数运算即可. 【详解】从8瓶酸牛奶选1瓶有种选法， 从4瓶纯牛奶中选瓶有种选法， 恰有1瓶是酸牛奶的选取方法有种， 故选：B. 3．若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用组合数的性质列方程即可求解. 【详解】由组合数的性质可得， 又，所以； 再由可得，所以或. 故选：D. 4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【分析】采用先捆绑，再插空，即将丙与丁绑定，内部排序，作一个整体与戊看作两个元素做一个全排列，最后将甲乙两人插入形成的三个空中即可求解. 【详解】由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与戊看作两个元素做一个全排列有种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲、乙两人插入三个空，排法种数为，则不同的排法种数为. 故选：B 5．3个男生和3个女生排成一列，进行远足拉练，要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（   ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学， 所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种， 所以一共有种． 故选：D. 6．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻（奇数为1、3、5），不同的六位数有（    ） A．72种 B．144种 C．216种 D．288种 【答案】B 【分析】根据插空法在数字排列中的应用，先排偶数（无相邻限制），再在偶数空位插入奇数（保证奇数不相邻）. 【详解】排偶数：2、4、6为偶数， 全排列有种排法； 找空位：3个偶数之间有2个中间空位，加上两端共4个空位； 插奇数：从4个空位选3个排列1、3、5， 有种排法. 总六位数个数为种，故选项B正确. 故选：B. 7．某班选派甲，乙，丙，丁4名学生参加米接力比赛，若甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，则不同的接力顺序种数是（    ） A．8 B．14 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据题意分类讨论甲跑第二棒和甲跑第三，第四棒的情况，结合排列数的计算即可得解. 【详解】甲跑第二棒的种数为； 甲跑第三，第四棒的种数为， 则接力顺序种数为， 故选：. 8．3名学生和2位老师站成一排拍照，要求2位老师相邻，不同的排法有（    ） A．24 种 B．48 种 C．60 种 D．120 种 【答案】B 【分析】相邻问题，利用捆绑法求解即可. 【详解】将2位老师视为1个“整体”，与3名学生全排列有种排法； 2位老师内部有种排法， 根据分步乘法原理，总排法数为种， 故选：B． 9．现从甲，乙等7人中选出3人分别担任学习委员，宣传委员，体育委员，则甲，乙两人都入选的所有不同选法种数为（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】C 【分析】根据题意结合组合及排列的应用即可得解. 【详解】从甲，乙等7人中选出3人分别担任学习委员，宣传委员，体育委员， 甲，乙两人都入选的所有不同选法种数为. 故选：. 10．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．18种 【答案】A 【分析】根据排列组合的问题结合乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意得，先将5名实习老师按1人、2人、2人，分为三组，则有种方法， 把分好的三组安排到3个班中，则有种方法， 所以总共不同的安排方法有种. 故选：A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．从4名男生和3名女生中任选2人参加知识竞赛，至少有1名女生的选法有______种. 【答案】15 【分析】根据组合计数原理，采用间接法，即用 “任选2人的选法数”减去“全是男生的选法数”可求解. 【详解】因为从7人中选 2 人，共有种选法；而任选2人全是男生的选法有种， 所以至少1名女生的选法数为（种）. 故答案为：15 12．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项为______． 【答案】 【分析】运用二项式定理的通项解答即可. 【详解】由题意得， 所以展开式中第6项为， 故答案为：. 13．如果，那么等于______. 【答案】 【分析】利用赋值法分别令，，化简求值即可. 【详解】令，则原式， 令，则原式， 所以. 故答案为：. 14．已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为______． 【答案】 【分析】由二项式定理的性质即可得解. 【详解】由题意得,即. . 故答案为:. 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数.求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数. 【答案】(1)48 (2)30 (3)36 (4)18 【分析】（1）利用特殊位置（元素）优先排列和分步计数原理即可得解； （2）利用特殊位置（元素）优先排列和分类计数原理即可得解； （3）利用排列和分步计数原理即可得解； （4）利用特殊位置（元素）优先排列和分步计数原理即可得解. 【详解】（1）0不能在首位，首位的排法有种， 其他两位从剩下的4个数字中选2个排列，有种， ∴共有（个）. （2）由于0的存在，分成两类： 第一类个位是0，有种； 第二类个位不是0，确定个位应从2，4中选一个，有种， 再定首位，有种，剩余的一位是三个数中选一个，有种. 共有（个）. （3）要组成比200大的数， 首位应从2，3，4中选一个，有种选法， 其余两位有种排法，共有（个）. （4）组成奇数，个位从1，3中选一个，有种， 首位从剔除0所剩下的三个数中选一个，有种， 十位上也有种选法，共有（个）. 16．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项. 【答案】(1)6 (2)60 【分析】（1）由二项式展开式的通项公式求出第2项与第3项的二项式系数，再利用组合数的计算公式求出的值； （2）由二项式展开式的通项公式，令，求出即可得解. 【详解】（1）的展开式的通项为， 由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是， 可得，即， 则，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）知， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． (1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ (3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 【答案】(1)60 (2)91 (3)14 【分析】（1）根据组合概念以及组合数公式求解即可. （2）根据对立事件以及组合数公式求解即可. （3）根据每个考点的人数进行分类讨论，再根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； （2）若小王和小红均未入选，则有种选法， 故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； （3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式， 故一共有8+6=14种派送方式. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第19卷。 2026年山东省春季高考 第19卷 排列组合与二项式定理 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．11 2．从8瓶酸牛奶和4瓶纯牛奶中任意选取4瓶，则恰有1瓶是酸牛奶的选取方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．若，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 5．3个男生和3个女生排成一列，进行远足拉练，要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（   ）种. A． B． C． D． 6．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻（奇数为1、3、5），不同的六位数有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．288种 7．某班选派甲，乙，丙，丁4名学生参加米接力比赛，若甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，则不同的接力顺序种数是（   ） A．8 B．14 C．18 D．24 8．3名学生和2位老师站成一排拍照，要求2位老师相邻，不同的排法有（   ） A．24 种 B．48 种 C．60 种 D．120 种 9．现从甲，乙等7人中选出3人分别担任学习委员，宣传委员，体育委员，则甲，乙两人都入选的所有不同选法种数为（   ） A．120 B．60 C．30 D．20 10．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（   ） A．90种 B．120种 C．150种 D．18种 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．从4名男生和3名女生中任选2人参加知识竞赛，至少有1名女生的选法有______种. 12．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项为______． 13．如果，那么等于______. 14．已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为______． 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数.求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数. 16．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项. 17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． (1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ (3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $