5.3正方形 同步训练 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

5.3 正方形 同步训练 一、单选题 1．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作，与的延长线相交于点，连接，与边相交于点，与对角线相交于点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成如图所示边长为10的大正方形，连接，若小正方形的面积为4，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 4．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，是等边三角形，于点F，交延长线于G．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 9．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 10．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交于两点．若，则正方形的边长为 __________________ ． 11．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 12．如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 三、解答题 13．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 14．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 15．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 16．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． (1)求证：； (2)连接，若，F是的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 17．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 《5.3 正方形 同步训练 2025-2026学年浙教版数学八年级下册》参考答案 1．C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利用正方形的性质可证，得到，再根据等腰三角形及三角形外角性质可得，进而得到，即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．此题综合性较强，根据正方形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据线段之间的关系可得：，根据同角的余角相等可证，可证，根据全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， . 故选：C. 3．D 【分析】先设每个直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，其中 ，根据题意列出，，从而可求得a和 b，进而求得的面积． 【详解】解：设每个直角三角形的两条直角边分别为a和b，其中， 因为小正方形的面积为， 所以， 因为四个直角三角形全等，且围绕小正方形排列，大正方形的边长为10， 所以，大正方形边长， 由，得， 将代入，得， 解得：或， 所以， 所以的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，全等三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．B 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出的长． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3，， ∴，，； ∵将沿直线翻折得， ∴，，， ∴； 在和中， ∴， ∴； 设，则，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得； 在中，． ∵，， ∴， 解得； 故选：B． 5．B 【分析】连接，根据正方形和等边三角形性质得，，根据得，，进而得，是线段的垂直平分线，则，再证明得是等腰直角三角形，继而得，由此得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵于点F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵于点F，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵于点F， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 6．C 【分析】本题考查了正方形的性质，写出坐标系中点的坐标，根据正方形的性质得到，从而得到点B的横坐标为，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为． 【详解】解：正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限， ，点B的横坐标为，纵坐标为1， 点C的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是可得，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由折叠可得，， ∴，故结论②符合题意； ∵正方形边长是， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，， ∴，故结论①错误，不符合题意； ∴五边形的周长为，故结论③符合题意； 的面积为，故结论④符合题意； 综上，正确的结论为②③④，共三个， 故选C． 8．/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 9． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，根据正方形的性质，得，又因为点是的中点，，然后将绕点逆时针旋转，得到，运用勾股定理得，结合三角形三边关系，得，当三点共线时，则，此时的最大值为，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点， ∴在中，， 将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 则， 在中，， 即， 当三点共线时，则， 此时的最大值为， 故答案为：． 10． 【分析】设正方形的边长为，则，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由四边形为正方形，，可得出，在直角三角形中根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 11．17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 12． 45 【分析】因为图形是翻折得到的，所以可得，从而有，，，因为正方形边长为2，F是CD中点，所以可先证明，由此得到，进而可推出与正方形内角的关系，求出角度．再根据和，求出，最后根据勾股定理计算求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为2的正方形，F是的中点，点E在上， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点A的对称点落在上， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45，． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 13．(1) (2) 【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答． （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为3，， ，，， 在中，， ， 解得， ． （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 15．(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出； （3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $