专题六 对角互补模型-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题六对角互补模型 图形 特征 解题常用方法 方法2：构造旋转手拉手 方法1：向两边作垂线 对角 ①两组对角的和 互补 均为180°； 模型 180°-dC ②，点A,B,C,D 180 解读 a180°-a D 共圆 D 构图1：向两边作 构图2：△ACB绕点C 类型 结论 垂直 逆时针旋转 ①AC平分∠BAD; 90°对90°图形 BC=CD ②AB+AD=√2AC; B ③四边形AMCN是正 3个 方形； 常考 D ④△ACG是等腰直角三 的对 D 角形 角互 60°对120°图形1 补全 BC=CD 等模 60P ①AC平分∠BAD; 型及 60y M ②AB+AD=AC; X1201 X120 其构 ③△ACG是等边三角形 DN D 图与 120 D 结论 60°对120°图形2 BC=CD B B ①AC平分∠BAD: 120 120 ②AB+AD=√3AC 120 609 60 60 A 例[2025抚顺一模]如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是边AC上一点，CE⊥BD交BD 的延长线于点E,将△BEC沿BC翻折得到△BFC,连接AF:求证：CF+BF=√2AF 汶思维教练… 题眼①：将△BEC沿BC翻折得到△BFC,CE⊥BD 解读：∠BFC=∠BEC=90 思维构建 题眼②：AB=AC,∠BAC=90° 模型思维：四边形ABFC形成 “90°对90” 互补 辅助线：过，点A作AM⊥AF交FB延长线于M 推理：先证△ABM≌△ACF,再证MF=2AF 专项分类提升练·辽宁数学 29 【自主解答】 @针对训练 1.60对角互补如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面 积为4√3，则AC= E D 第1题图 第2题图 第3题图 2.120°对角互补如图，等边三角形ABC的边长为4，D是边AC的中点，点E在边AB上，BE=1,点F 在边BC的延长线上，且∠EDF=120°，则CF的长为 3.多解法)[2024宜宾]如图，△ABC内接于⊙0，BC为⊙0的直径，AD平分∠BAC交⊙0于D,则 AB+AC的值为 AD A.2 B.3 C.22 D.23 4.[2025烟台改编]数学老师小雪在黑板上写下如图所示的一个问题， 如图①，已知P是正方形ABCD外一点，且满足∠PBA+∠PDA=180°，探究PA,PB,PD三条线段 的数量关系 图① 图② 图③ 小雪通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图②，构造△QAD与△PAB全等，从而得出PB+PD与PA的数量关系； 思路二：如图③，构造△MAB与△NAD全等，从而得出PB+PD与PA的数量关系. 请参考小雪的思路，写出PB+PD与PA的数量关系，并证明你的结论 30 专项分类提升练·辽宁数学EP EN PQ//AB PA-NE-1 又EN=FV,PQ∥AB, .EP=PA=24E=2. .PO∥AB,AD∥BC, .四边形PQBA是平行四边形 .∠A=90°，∴.口PQBA是矩形 .∠CQN=∠B=∠EPN=∠A=90°，BQ=AP=2, .QC=BC-BQ=4,∠PWE+∠PEN=90, ∠CNE=90°，∴.∠PWE+∠CNQ=90°， .∠PEN=∠CNQ .△EPW∽△NQC, EP PN EN 3 ,即2PN3 NQ QC NC 3NO 4 3 .N0=23,PW= 5. AB-PO-PN+M0-10. 专题四手拉手模型 例1子例2601902D3月 4.解：(1)·∠BAC=90°，点E是BD的中点， ∴.AE=DE ∠AED=∠ABE+∠BAE=45°， 1 六∠ADE=2(180°-∠AED)=67.5, .∠BDC=180°-∠ADE=112.5°： (2)解法一：过点A作AF⊥AE交BD延长线于点F,连 接CF,如解图①， .·∠AED=∠ABE+∠BAE =45°， .∠AFE=45=∠AEF, .∴.AE=AF .·AB=AC,∠BAC=90° .∴.∠BAE=90°-∠EAC= 第4题解图① ∠CAF, .∴.△BAE≌△CAF .CF=BE=4,∠AFC=∠AEB=180°-∠AED=135°， .∠CFB=∠AFC-∠AFE=90° c0=4+34=14 解法二：过点E作EG⊥BE,EG=BE,连接BG,CG,DG, 如解图②，则∠EBG=EGB=45°， .:AB=AC,∠BAC=90 .∠ABC=∠ACB=45 .∠ABC=∠EBG=45°， .∠ABE=45°-∠EBC= 2CBG,又：BCBC2 ABBE√2 .·.△BAE∽△BCG, 第4题解图② .·∠AED=∠ABE+∠BAE =45°， .∠BGC=∠AEB=180°-∠AED=135°， .∠EGC=∠BGC-∠BGE=90°=∠BEG, .·.CG∥BD 六5aw-5a708G了4+3)x4=14 26 参考答案与重又 专题五半角模型 例A1.45+42.3-√3 3.2【解析】解法一：如解图①，过点E作EG⊥AF于点 G,过点G分别向AD,BC作垂线交于点M,N,则M,G, N三点共线，且MN∥AB,构造一线三垂直，得△AMG≌ △GNE.设GN=AM=x,GM=EN=y,.x+y=GN+GM= AB=4①，·CE=2BE,BC=AD=6,.BE=2,CE=4,由 AM=EN+BE,得x=y+2②，由①②得x=3,y=1,即AM =3=7AD,CM=L,MC为△ADF的中位线，DF= 2GM=2. 解法二：如解图②，构造正方形AGHD,延长AE交GH 于点M,则BC/CH△ABE△ACM, 6C7CM=3,GM=MH=3,连接MF,构造半角 42 模型易得FM=GM+DF=3+DF,FH=DH-DF=6-DF, 在Rt△FHM中，MF2=FH+MH,得(3+DF)2=(6 DF)2+32,解得DF=2. D C H 图① 图② 第3题解图 4.(1)解：线段c的长为13或√19： (2)证明：由题意得∠ACB=90°，AC=BC,∠CAB=∠B =45°， 将△BCQ绕点C顺时针旋转90°得△ACG,连接PG,如 解图，则△BCO兰△ACG, 0 第4题解图 ∴.∠GCA=∠QCB,AG=BQ,∠GAC=∠B=45°，CG =CO. .∠PAG=∠GAC+∠CAB=90° 在Rt△PAG中，由勾股定理得PG2=AP2+AG=AP +BQ, ·.∠PCQ=45°，∠PCG=∠GCA+∠ACP=∠QCB+ ∠ACP=90°-∠PC0=45°， .∠PCG=∠PCQ, (PC=PC. 在△PCQ和△PCG中，了∠PCQ=∠PCG, CO=CG. .△PCQ≌△PCG(SAS), .PO=PG. .PQ=AP2+BQ,即AP,PQ,BQ为“勾股线段”. 专题六对角互补模型 例证明：如解图，过点A作AM⊥AF交FB延长线于点 M,则∠MAF=90°， 题解析·辽宁数学 .·∠MAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90° .∴.∠MAB=∠FAC ·.·将△BCE沿BC翻折得到△BC,BE⊥CE, .∴.∠BFC=∠BEC=90, ∠BAC=90°，四边形ABFC的内角和是360°， ·.∠ABF+∠ACF=360°-90°-90°=180°； .:∠ABF+∠ABM=180°， ∴.∠ABM=∠ACF 又.AB=AC, .∴.△ABM≌△ACF(ASA), ∴.AM=AF,MB=FC, ∴.△MAF是等腰直角三角形， .MF=√2AF, MF=MB+BF=CF+BF, .CF+BF=√2AF M 例题解图 1.42.1 3.A【解析】解法一：如解图，连接BD,CD,BC是⊙O 的直径，.∠BAC=∠BDC=90°，AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD,.BD=DC,.BD=CD,在四边形AB DC中，∠BAC=∠BDC=90°，.∴∠ACD+∠ABD=180° 将△ADC绕点D逆时针旋转90°后得到△A'DB, ∠ACD=∠A'BD,.∴.∠ABD+∠ACD=∠ABD+∠A'BD= 180°，A,B,A'三点共线，.AB+AC=AB+A'B=AA',由 旋转可知∠A'DA=90°，A'D=AD,.△A'DA是等腰直 角三角形，AB+ACA Ak< 第3题解图 解法二：特殊值法.当点A是BC的中点时，AD是⊙O 的直径，设圆0半径为r,则AB=AC=√2r,AD=2r,则 AB+AC2+2-2. AD 2r 4解：PB+PD=√2PA,证明略 专题七与圆有关的模型 （含曲线型几何最值) 例12.25)函层3 ，1.25-22.C 例24 3.√I0或√34【解析】以点C为圆心，CP长为半径画 圆，连接CD交⊙C于点P,',延长DC交⊙C于点P, 连接AP,则P在⊙C上，CP=CP{=CP=2,如解图， ∠ACB=90°，AC=BC=32,.AB=√2AC=6,点D是 参考答案与重难题 一战成名新中考 AB的中点，.CD=AD =24B=3,∠ADC=90°，当DP ⊥AB时，∠ADP'=90°，此时点C、D、P在同一条直线 上，分两种情况：当点P'在CD上时，在Rt△ADP中， DP1=CD-CP1=1,.AP1=√AD+(DP,')=√3+1下= √I0:当点P'在DC的延长线上时，在R△ADP中， DP5=CD+CP5=5,.AP=√AD+(DP2')=√3+5= √34.综上所述，当DP'⊥AB时，AP'=√10或√34. B 第3题解图 4.7例322 8行【解折1作△B的外接西，圆心为点0，BH1 CD于点H,.∠BHE=90°，BE是⊙0的直径，.0 是BE的中点，l1∥2，点A是L1上的定点，AB⊥L2于 点B,∠CAE=∠DBE=90°，AB为定值，点C、D分 别是1、L2上的动点，.∠ACE=∠BDE,在△ACE和 I∠ACE=∠BDE, △BDE中， AC=BD. ·.△ACE≌△BDE N∠CAE=∠DBE (ASA).:AE=BE=2AB..OH=OE=2 BE-AB, =OE4AE=-AB+)AB=AB,“点H在。 41 4 运动，当AH与⊙0相切时，∠BAH最大，AH⊥OH, 1 .∠OHA=90°，..sin∠BAH= OH AB 0A3 3 D 第5题解图 6.2√7-2【解析】点P在以BE为弦所对圆周角∠BPE =60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心0时，PD 有最小值，连接OE,OB,过O作OH⊥BE于H,过O作 OM⊥AD于M,.AE:EB=1:2,AB=3√3，.BE=2√3， 3.0E=0B.OH LBE,.EOH=RO ‘.0元L=Hd97乙=HO87·∴·06=OHf7`￡=49，= 0h50H= 六∠E0H=60°，lam∠E0H=an60°=E 1,.·∠0EH=90°-60°=30°，..P0=0E=20H=2,.·四 边形ABCD是矩形，.∠A=90°，：∠AM0=∠AH0= 90°，.四边形AH0M是矩形，.AM=OH=1,OM=AH= AE+EH 23,..DM AD-AM =5-1=4,..OD 解析·辽宁数学 27