专题五 半角模型-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题五半角模型 常见类型 90°含45° 120°含60° 45o 60° 图形示例 D D C E D ∠BAC=120°，AB=AC ∠BAC=90°，AB=AC 正方形ABCD 作法1：将△BAD 作法2：将△ABD, 作法：将△BAF绕，点 作法：将△BAD绕，点A 绕点A逆时针旋转 △ACE分别沿AD, A逆时针旋转90°得 逆时针旋转120°得到 90°得到△CAF,连 AE翻折，点B,C在到△DAH △CAF,连接EF 接EF 点F处重合 辅助线 作法 45 △ADE≌△AFE; BD=DF,CE=EF; △AFE≌△AHE; △AFC≌△ADB; ∠ECF=90°； ∠DFE=90°； 重要结论 AG=AD; △DAE≌△FAE; BD2+CE2 CF2+ BD2+CE2=DF2+EF2 FE=EH=BF+DE ∠FCE=60° CE2=EF2=DE2 DE2 例[2025盘锦二模]如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在AB,AD上，若CE=25,且 ∠ECF=45°，则CF的长为 () .i8 B5VI⑩ 3 C.2√10 D.70 3 文思维教练 题眼：正方形ABCD中，∠ECF=45 模型思维：∠BCD与∠ECF形成“半角”模型 D 思维构建 辅助线：连接EF,过点C作CM⊥CF交AB延长线于点M 推理：证△CDF≌△CBM,△CFE≌△CME, B 得EF=EM=DF+BE,在Rt△AEF中利用勾股 定理列方程求DF,再在Rt△DFC中求CF 专项分类提升练·辽宁数学 27 ©针对训练 1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4,动点M,N分别在AD,CD上（不含端，点），若∠MBN= 60°，则四边形BMDW周长的最小值是 D D B B D E B E 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2023济宁]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC= 有则助 3.成名原创如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别在BC,CD上，∠EAF=45°，CE= 2BE,则DF= 4.[2025营口二模节选]给出如下定义：若以线段a,b,c为边长能围成直角三角形，则称线段a,b,c 为“勾股线段” (1)若线段a=5,b=12,且a,b,c为“勾股线段”，求线段c的长； (2)如图，点P,Q为线段AB上的两点，满足PQ>BQ≥AP,以AB为斜边在AB上方作等腰 Rt△ABC,连接CP,CQ.若∠PCQ=45°，求证：AP,PQ,BQ为“勾股线段”. 第4题图 28 专项分类提升练·辽宁数学EP EN PQ//AB PA-NE-1 又EN=FV,PQ∥AB, .EP=PA=24E=2. .PO∥AB,AD∥BC, .四边形PQBA是平行四边形 .∠A=90°，∴.口PQBA是矩形 .∠CQN=∠B=∠EPN=∠A=90°，BQ=AP=2, .QC=BC-BQ=4,∠PWE+∠PEN=90, ∠CNE=90°，∴.∠PWE+∠CNQ=90°， .∠PEN=∠CNQ .△EPW∽△NQC, EP PN EN 3 ,即2PN3 NQ QC NC 3NO 4 3 .N0=23,PW= 5. AB-PO-PN+M0-10. 专题四手拉手模型 例1子例2601902D3月 4.解：(1)·∠BAC=90°，点E是BD的中点， ∴.AE=DE ∠AED=∠ABE+∠BAE=45°， 1 六∠ADE=2(180°-∠AED)=67.5, .∠BDC=180°-∠ADE=112.5°： (2)解法一：过点A作AF⊥AE交BD延长线于点F,连 接CF,如解图①， .·∠AED=∠ABE+∠BAE =45°， .∠AFE=45=∠AEF, .∴.AE=AF .·AB=AC,∠BAC=90° .∴.∠BAE=90°-∠EAC= 第4题解图① ∠CAF, .∴.△BAE≌△CAF .CF=BE=4,∠AFC=∠AEB=180°-∠AED=135°， .∠CFB=∠AFC-∠AFE=90° c0=4+34=14 解法二：过点E作EG⊥BE,EG=BE,连接BG,CG,DG, 如解图②，则∠EBG=EGB=45°， .:AB=AC,∠BAC=90 .∠ABC=∠ACB=45 .∠ABC=∠EBG=45°， .∠ABE=45°-∠EBC= 2CBG,又：BCBC2 ABBE√2 .·.△BAE∽△BCG, 第4题解图② .·∠AED=∠ABE+∠BAE =45°， .∠BGC=∠AEB=180°-∠AED=135°， .∠EGC=∠BGC-∠BGE=90°=∠BEG, .·.CG∥BD 六5aw-5a708G了4+3)x4=14 26 参考答案与重又 专题五半角模型 例A1.45+42.3-√3 3.2【解析】解法一：如解图①，过点E作EG⊥AF于点 G,过点G分别向AD,BC作垂线交于点M,N,则M,G, N三点共线，且MN∥AB,构造一线三垂直，得△AMG≌ △GNE.设GN=AM=x,GM=EN=y,.x+y=GN+GM= AB=4①，·CE=2BE,BC=AD=6,.BE=2,CE=4,由 AM=EN+BE,得x=y+2②，由①②得x=3,y=1,即AM =3=7AD,CM=L,MC为△ADF的中位线，DF= 2GM=2. 解法二：如解图②，构造正方形AGHD,延长AE交GH 于点M,则BC/CH△ABE△ACM, 6C7CM=3,GM=MH=3,连接MF,构造半角 42 模型易得FM=GM+DF=3+DF,FH=DH-DF=6-DF, 在Rt△FHM中，MF2=FH+MH,得(3+DF)2=(6 DF)2+32,解得DF=2. D C H 图① 图② 第3题解图 4.(1)解：线段c的长为13或√19： (2)证明：由题意得∠ACB=90°，AC=BC,∠CAB=∠B =45°， 将△BCQ绕点C顺时针旋转90°得△ACG,连接PG,如 解图，则△BCO兰△ACG, 0 第4题解图 ∴.∠GCA=∠QCB,AG=BQ,∠GAC=∠B=45°，CG =CO. .∠PAG=∠GAC+∠CAB=90° 在Rt△PAG中，由勾股定理得PG2=AP2+AG=AP +BQ, ·.∠PCQ=45°，∠PCG=∠GCA+∠ACP=∠QCB+ ∠ACP=90°-∠PC0=45°， .∠PCG=∠PCQ, (PC=PC. 在△PCQ和△PCG中，了∠PCQ=∠PCG, CO=CG. .△PCQ≌△PCG(SAS), .PO=PG. .PQ=AP2+BQ,即AP,PQ,BQ为“勾股线段”. 专题六对角互补模型 例证明：如解图，过点A作AM⊥AF交FB延长线于点 M,则∠MAF=90°， 题解析·辽宁数学