7.3.2 离散型随机变量的方差（题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 题型一：求离散型随机变量的方差或标准差 1．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【答案】 / 【详解】由，解得， ， ． 2．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质、数学期望公式、方差公式计算可得答案. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 3．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 【答案】 【分析】先求出数学期望，再根据方差公式计算最后得出标准差计算求解. 【详解】， ． 的标准差为． 故答案为：. 4．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量方差公式求解即可. 【详解】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 5．甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 6．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 题型二：方差定义和性质求参 1．若的方差为4，则的方差为_______． 【答案】16 【分析】根据方差的线性变化公式，即即可求解. 【详解】由题意得，则. 2．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由方差的性质直接求解. 【详解】因为，所以. 故选：A． 3．（多选）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 4．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 5．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 6．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两点分布得，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 题型一：均值和方差的综合应用 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1)答案见详解 (2)，. (3) 【分析】（1）由题意可知 的可能取值为 ，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1） 的可能取值为 则 ， 所以 的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到” 则. 2．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， 方差． 3．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望和方差． 【答案】(1)见解析 (2)期望为，方差为. 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列； (2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差． 【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有， 所以 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）由(1)的分布列得， ． 4．编号为1,2,3的三位学生随机入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是. （1）求随机变量的概率分布； （2）求随机变量的数学期望和方差. 【答案】（1）概率分布列见解析；（2）数学期望为，方差为. 【详解】试题分析：（1）求得当分别为，，时的概率，列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论. 试题解析：（1）随机变量的取值为0，1，3， ，， ， 所以概率分布列为： 0 1 3 （2） 考点：分布列、数学期望、方差. 5．一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，一次从中摸出个球． (1)求“红球甲”没有被摸出的概率； (2)设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再由期望与方差公式计算可得. 【详解】（1）记红球甲没有被摸出为事件，则. （2）依题意，表示摸出的个球中的红球的个数，则的可能取值为、、， 则，，， 则的分布列为 所以， . 6．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等. (1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出选出的名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4名的情况种类即为答案；（2）求出X的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差 【详解】（1）设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件， 则， 所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为； （2）随机变量的所有可能值为，，，，4. ， ∴，， ，，. 所以随机变量的分布列是： 4 = ． 题型二：方差在决策问题中的应用 1．甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 【答案】答案见解析 【分析】根据数学期望及方差分析即可. 【详解】由题中数据得， ， ， ． 由此可知，，， 从而两名射手射击的环数平均值都是9环，但乙射手射击环数的集中度（稳定性）不如甲射手. 2．膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 【答案】玻璃底片测量的结果比较好 【分析】分别计算玻璃底片及软片底片测量结果的均值与方差，再结合均值及方差的定义判断求解. 【详解】玻璃底片测量结果的均值与方差为： ， ． 软片底片测量结果的均值和方差为： ， ． ∵ ， ， 玻璃底片测量的结果比较好． 3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 【答案】两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 【分析】求出，比较均值、方差的大小即可求解. 【详解】甲保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 乙保护区违反保护条例的事件次数的数学期望和方差分别为： 因为 所以两个保护区内每个季度发生的违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区的违反保护条例的事件次数相对分散和波动性大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更集中和稳定． 4．为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【答案】(1)答案见解析 (2)均值分别为9.2，8.7；方差分别为0.96，1.21；甲射击技术更好． 【分析】（1）由概率和为1列出的分布列. （2）利用期望、方差的定义求出期望、方差，再比较期望大小即可. 【详解】（1）依据题意，，解得， 由乙射中环的概率分别为，得乙射中7环的概率为， 所以的分布列为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为： 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得，， ， ， ． 由，说明甲平均射中的环数比乙高，由，说明甲的射击水平更稳定，所以甲射击技术更好. 5．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【分析】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【详解】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 1．变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据概率和为1、、列方程组求解a、b、c的值，再根据方差的定义求解即可． 【详解】依题意，解得，，， 所以． 故答案为：． 2．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 3．有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)均值为，方差为 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【详解】（1）的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 4．有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 职位 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)假设应聘甲公司C职位并被录用的概率为0.2，应聘乙公司C职位并被录用的概率也为0.2，且两名求职者的应聘过程相互独立。若一人去应聘甲公司的职位，另一人去应聘乙公司的职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列． (2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． (3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 (3)0.49 【分析】（1）随机变量的可能取值有：0，1，2，分别求其概率可得分布列； （2）分别求两家公司月薪的期望和方差以及月薪高于对方的概率，综合解释说明； （3）利用互斥事件概率加法公式计算可求得小王月薪高于小李的概率． 【详解】（1）因为这两人被录用的人数和为，所以随机变量可能取值为0，1，2， 其中，，， 所以的分布列为 0 1 2 0.64 0.32 0.04 （2）设甲、乙两家公司的月薪分别为随机变量， 则， ， ， ， 则， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司． （3）设小王和小李的月薪分别为（千元），则 ， 所以小王月薪高于小李的概率为0.49． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2 离散型随机变量的方差 题型一：求离散型随机变量的方差或标准差 1．已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 2．（多选）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 4．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 6．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 题型二：方差定义和性质求参 1．若的方差为4，则的方差为_______． 2．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 3．（多选）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 5．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型一：均值和方差的综合应用 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 2．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 3．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的期望和方差． 4．编号为1,2,3的三位学生随机入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是. （1）求随机变量的概率分布； （2）求随机变量的数学期望和方差. 5．一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，一次从中摸出个球． (1)求“红球甲”没有被摸出的概率； (2)设表示摸出的红球的个数，求的分布列、均值和方差． 6．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等. (1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差． 题型二：方差在决策问题中的应用 1．甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 2．膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，测量结果通过感光设备在照相底片上显示出来，现用一台膨胀仪上两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，结果如下表1，表2． 表1  玻璃底片测量结果 测量结果X 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 概率P 0.05 0.15 0.60 0.15 0.05 表2  软片底片测量结果 测量结果Y 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 概率P 0.05 0.05 0.15 0.50 0.15 0.05 0.05 用数学期望与方差分析比较两种底片哪一种测量结果较好？ 3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 你能评定这两个保护区的管理水平吗？ 4．为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 5．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 1．变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是______． 2．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 3．有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 4．有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 职位 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)假设应聘甲公司C职位并被录用的概率为0.2，应聘乙公司C职位并被录用的概率也为0.2，且两名求职者的应聘过程相互独立。若一人去应聘甲公司的职位，另一人去应聘乙公司的职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列． (2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． (3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $