专题9.2 用样本估计总体（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦“用样本估计总体”核心知识点，系统梳理频率分布直方图、条形图等统计图表的绘制与应用，衔接百分位数、众数、中位数、平均数及方差、标准差的计算，构建从数据整理到统计推断的完整学习支架。 资料以“知识点+题型”分层设计，12类题型含例题与变式题，结合身高调查、成绩统计等实例，培养数据意识与逻辑推理能力，契合数学思维与数学语言素养。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题9.2 用样本估计总体（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 频率分布直方图的绘制】 2 【题型2 条形统计图解决实际问题】 8 【题型3 折线统计图解决实际问题】 12 【题型4 扇形统计图解决实际问题】 15 【题型5 频率分布直方图的相关计算问题】 19 【题型6 统计图的综合应用问题】 21 【题型7 百分位数的求解】 26 【题型8 众数、中位数、平均数的计算与求参】 28 【题型9 根据频率分布直方图计算众数、中位数、平均数】 29 【题型10 方差、标准差的求解及应用】 34 【题型11 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 36 【题型12 其他统计图表中用样本估计总体】 40 知识点1 总体取值规律的估计 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【题型1 频率分布直方图的绘制】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据样本频率分布表的概念列表求解； （2）根据频率分布直方图的定义作图即可； （3）求出对应频率后即可求解. 【解答过程】（1）列出样本频率分布表： 分组 频数 频率 5 0.04 8 0.07 10 0.08 22 0.18 33 0.28 20 0.17 11 0.09 6 0.05 5 0.04 合计 120 1.00 （2）画出频率分布直方图，如图所示， （3）因为样本中身高低于134cm的人数的频率为 所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的． 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁阜新·月考）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）分别计算各分数段的频率与频数，再补表格即可； （2）分别计算各分数段的频率除以组距的值，然后画出频率分布直方图和频率分布折线图即可. 【解答过程】（1）根据题意，的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， 频数为；的频数为. 填表如下. 分组 频数 3 6 12 21 18 频率 0.05 0.1 0.2 0.35 0.3 （2）计算的，的， 的，的， 的. 画出的频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.    【变式1-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举办了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 0.16 70.5～80.5 10 80.5～90.5 16 0.32 90.5～100.5 合计 50 (1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在75.5～85.5的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 【答案】(1)答案见解析 (2)直方图见解析 (3)234人 【解题思路】（1）根据频率与频数的关系，即可根据已知数据求解， （2）根据频率分布表即可求解频率分布直方图， （3）根据频率即可求解. 【解答过程】（1）易知样本容量为50，故第二组的频数为，第三组的频率为， 第四组的频数为，频率为， 故频率分布表为： 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 8 0.16 70.5～80.5 10 0.20 80.5～90.5 16 0.32 90.5～100.5 12 0.24 合计 50 1.00 （2）如图： （3）成绩在75.5～80的学生占70.5～80.5的学生的，因为成绩在70.5～80.5的学生频率为0.2，所以成绩在75.5～80的学生频率为0.1. 成绩在80.5～85的学生占80.5～90.5的学生的，因为成绩在80.5～90.5的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85的学生频率为0.16. 所以成绩在75.5～85的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为（人）. 【变式1-3】（24-25高一·全国·课堂例题）某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下： 151     153     157     159     160    161     162     163     163     164 164     164     165     165     166    166     167     167     168     168 169     169     169     170     170     170    171     171     172     172 172     173     173     173     173     173    174     175     175     176 176     177     177     178     178     179     180    181     181     183 (1)列出频率分布表并画出频率分布直方图； (2)估算该年级身高在内的男生人数； (3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数． 【答案】(1)答案见解析 (2)126（人） (3)207（人） 【解题思路】（1）求出这组数据的极差，确定组距，分组，计算相应的分组频率，就得到频率分布表，绘制频率分布直方图； （2）由统计图表可以估计，总体中约有的男生身高在内，进而可得答案； （3）求出样本中身高在170cm以下的男生所占比例，进而可得答案. 【解答过程】（1）这组数据的最大值为183，最小值为151，极差为32． 为分组的方便，取略大的身高范围，同时取组距为5，分为7组． 计算相应的分组频率，就得到下面的频率分布表． 身高分段 发生次数 频率 2 2 8 11 14 9 4 总计 50 绘制频率分布直方图，如图．    （2）由频率分布表和频率分布直方图可以估计，总体中约有的男生身高在内． 由于全年级共有450名男生，所以该年级身高在内的男生大约有（人）． （3）样本中身高在170cm以下的男生所占比例约为， 所以该年级身高在170cm以下的男生大约有（人）． 【题型2 条形统计图解决实际问题】 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【解题思路】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【解答过程】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·河北张家口·期末）某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划．已知该校高一年级有400人，占全校人数的，高三年级占，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为（    ）    A．80 B．90 C．9 D．8 【答案】D 【解题思路】首先计算出计算出样本容量为120人，则高三年级有20人，根据高三完成率即可得到答案. 【解答过程】，故样本容量为120，其中高三年级有人， 由图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为， 故样本中高三年级完成计划的人数为， 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（    ） A．从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B．从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C．从2019年开始，进出口总额逐年增大 D．从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 【答案】D 【解题思路】根据条形图即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由图中数据可知：2020年以及2019年的进口额分别为142936亿元和143254亿元，所以2020年的进口额年增长率为负数，而其他年份的增长率均为正数，故A正确， 由图中数据可知2021年与2020年比较，出口额差距最大,且为正增长，所以增长率最大，B正确， 由图中条形图的高度逐年上升可知从2019年开始，进出口总额逐年增大，C正确， 2020年的进出口总额为亿元，故2021年的增长率为，2022年的增长率为，故D错误， 故选：D. 【变式2-3】（2025·四川成都·二模）居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比，环比），下列结论正确的是（    ） A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格 【答案】C 【解题思路】根据题意逐一考查所给选项说法的正确性. 【解答过程】对于A，由题可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误； 对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为， 所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误； 对于C，2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为，即2024年10月份医疗保健类价格等于2024年9月份医疗保健类价格， 又2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确； 对于D，2024年10月份居住类价格环比涨幅为，即2024年10月份居住类价格等于2024年9月份居住类价格， 又2024年10月份居住类价格同比涨幅为， 所以2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误. 故选：C. 【题型3 折线统计图解决实际问题】 【例3】（24-25高三上·广东梅州·月考） 表示空气质量指数， 的数值越小，表明空气质量越好，当 的数值不大于 时称空气质量为“优良”．如图是某地 月 日到 日 的数值的统计数据，图中点 表示 月 日的 的数值为 ．则下列叙述不正确的是 （    ）    A．这 天中有 天空气质量为“优良” B．这 天中空气质量最好的是 月 日 C．从 月 日到 日，空气质量越来越好 D．从 月 日到 日，空气质量越来越好 【答案】C 【解题思路】结合已知条件和图像，逐项求解即可. 【解答过程】对A：由月日到日指数值的统计数据，指数值不大于的有共天，故A正确； 对B：月日的指数值为，为天来的最小值，故B正确； 对C：从月日到日，指数值逐渐变大，说明空气质量越来越差，故C错误； 对D：从月日到日，指数值逐渐变小，说明空气质量越来越好，故D正确. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高三上·四川成都·期末）下图是2023年1~12月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（    ）    A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势 B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势 C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率 D．2023年品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率 【答案】D 【解题思路】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断. 【解答过程】观察题中所给的折线图，可知： 4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确； 9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的， 所以原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势，所以B正确； 图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确； 由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误； 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·河南开封·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【解题思路】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解． 【解答过程】对于①，速度在80千米小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油， 丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，所以①正确； 对于②，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5（乙车图象的最高点的纵坐标大于，所以②错误； 对于③，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多， 所以行驶相同路程，甲车油耗最少，所以③正确； 对于④，甲车以80千米小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米， 所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，所以④错误． 故选：B. 【变式3-3】（2025高三上·全国·专题练习）工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（    ） A．2020年各月的PPI在逐月增大 B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平 C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小 D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平 【答案】D 【解题思路】根据图像可判断AC，根据同比增长线与线的比较可判断BD. 【解答过程】由图可看出，选项A，C指的是“环比”， 2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A，C错误； 选项B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增长线均在0.0%的上方， 所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确； 而2020年1～12月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误． 故选：D. 【题型4 扇形统计图解决实际问题】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【解题思路】根据扇形统计图及各人数的百分比进行计算即可. 【解答过程】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·重庆万州·月考）我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是（   ） A．2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于90° B．2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C．2024年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量 D．若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的11.8%，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 【答案】D 【解题思路】对于A，太阳能发电装机容量超过即可判断；对于B，由即可判断；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断. 【解答过程】对于A：太阳能发电装机容量占26.5%，超过，则扇形圆心角大于90°，所以A错误； 对于B：2024年我国火电发电装机容量占43.1%，因为，所以B错误； 对于C：2024年我国火电发电装机容量占43.1%，新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量占比和为，所以C错误； 对于D：还要再建设的核电的发电装机容量为亿千瓦，所以D正确. 故选：D. 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【解题思路】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【解答过程】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 故选：D. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 【答案】C 【解题思路】设2013年参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年参加课外兴趣班的小学生总人数是，根据扇形统计图中的比例计算，并逐项检验，即可得到结果. 【解答过程】设2013年当地参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年当地参加课外兴趣班的小学生总人数是4a． 由统计图可知，2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是，故A正确； 这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加语言表演兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加音乐兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加美术兴趣班的小学生人数变化量为， 所以这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大，故B正确； 2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数为， 2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数为，，故C不正确； 根据扇形统计图中的比例分布，可知D正确． 故选C． 【题型5 频率分布直方图的相关计算问题】 【例5】（24-25高一下·河南新乡·期末）某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按 分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【答案】A 【解题思路】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数. 【解答过程】由图可得，得， 所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为． 故选：A. 【变式5-1】（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【解题思路】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可. 【解答过程】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求出跳绳良好的频率，即可得解. 【解答过程】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. （2）可知高一学生1分钟跳绳成绩良好包括两组， 故高一学生1分钟跳绳成绩良好的频率为， 因此该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数约为（人）. 【变式5-3】（24-25高一上·北京·月考）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【解答过程】（1）依题意，， 又，且，， 解得，，； （2）因为， 所以样本中在内的频数为； （3）因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 【题型6 统计图的综合应用问题】 【例6】（24-25高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【解题思路】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【解答过程】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 【变式6-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【解题思路】利用统计图表一一分析选项即可. 【解答过程】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析. 【解题思路】（1）三月份的销售额为销售总额减去1月、2月和4月的销售额之和； （2）一月份音乐手机的销售额为1月份的销售额乘以23%即可； （3）通过两图求出3、4月份的音乐手机销售额，然后比较 【解答过程】（1）由已知及图1知，3月份手机销售额为万元   （2）由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为万元 （3）由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为：万元 4月份音乐手机销售额为：万元 ，4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了， 所以不同意小刚的看法. 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【答案】(1)人 (2)作图见解析， (3)人 【解题思路】（1）对于求被调查学生总人数，我们可以根据已知部分人数及其所占比例来计算总人数，这里用到比例关系的概念； （2）补全条形统计图需要先求出各部分的人数，再根据人数画出图形。求扇形圆心角的度数，根据圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以； （3）估计全校想去兵马俑旅游的人数，是利用样本中想去兵马俑的比例来估计总体的情况. 【解答过程】（1）被调查的学生总人数为（人）； （2）最想去D景点的人数为：(人)， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点“D”的扇形圆心角的度数为. （3），所以估计“最想去景点兵马俑”的学生人数为280人. 知识点2 总体百分位数的估计 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 【题型7 百分位数的求解】 【例7】（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由百分位数的定义进行求解． 【解答过程】因为，所以样本数据的第80百分位数为样本数据由小到大排列的第16个数据和第17个数据的平均数，落在区间内． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A 【解题思路】根据百分位数的计算公式即可求解。 【解答过程】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一下·云南丽江·期末）一组数据，，，，，，，，，，，的上四分位数即第百分位数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将数据由小到大进行排列，结合百分位数的定义求解即可. 【解答过程】数据，，，，，，，，，，，， 按从小到大的顺序排列得：，，，，，，，，，，，， 因为，所以第百分位数是第，个数的平均数，为． 故选：D. 【变式7-3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【解题思路】由百分位数计算方式可得答案. 【解答过程】因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个与第8个数据的平均数，即． 故选：B. 知识点3 总体集中趋势的估计 1．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 2．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【注意】 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么的平均数为.  【题型8 众数、中位数、平均数的计算与求参】 【例8】（24-25高一下·贵州遵义·月考）数据的平均数为5，则的平均数为（ ） A．15 B．13 C．11 D．9 【答案】D 【解题思路】利用平均数的定义，先求得的和，即可求解. 【解答过程】因为数据的平均数为5， 所以的和为， 所以的平均数为， 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一下·山东临沂·月考）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 【答案】C 【解题思路】将数据按从小到大排序，根据众数和中位数的定义即可求解. 【解答过程】数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87从小到大排序可得：78，79，81，81，82，84，85，85，86，86，86，87，88，90，93， 所以该组数据的众数为86，中位数为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87，87，89，m，90，若这组数据的平均数为88，则这组数据的中位数为（   ） A．88 B．87 C．89 D．90 【答案】B 【解题思路】根据给定的平均数求出m，再利用中位数的定义计算作答. 【解答过程】依题意，，解得， 参赛班级所得分从小到大依次为：87，87，87，89，90， 所以这组数据的中位数为87. 故选：B. 【变式8-3】（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 【答案】B 【解题思路】根据众数、中位数、平均数的概念，求出相应的这三个数，比较大小，即得答案. 【解答过程】学习小组的成绩从小到大排列如下：70，75，85，85，85，86，90，90，94，100， 众数为85；中位数为， 平均数为, 故众数<中位数<平均数, 故选：B. 【题型9 根据频率分布直方图计算众数、中位数、平均数】 【例9】（24-25高一下·浙江宁波·期末）学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）    A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 【答案】D 【解题思路】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可；对C，根据频率分布直方图的众数判断即可；对D，计算区间的频率，进而可得人数. 【解答过程】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故B正确； 对C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确； 对D，由直方图可得的频率为， 故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误. 故选：D. 【变式9-1】（2025·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【解答过程】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【答案】(1) (2)中位数为：；平均数为： 【解题思路】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计中位数和平均数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 【变式9-3】（24-25高一下·山西大同·期末）统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民的月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 【答案】(1)25 (2)3900 (3)3900 【解题思路】（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. （3）根据平均数的计算公式即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以， 月收入在的频率为0.25， 所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为； （2）收入在的频率是， 收入在的频率是， 所以样本数据的中位数在， 且为（元）. （3）（元）， 所以平均数为3900元. 知识点4 总体离散程度的估计 1．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出 现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为. 总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【注意】 1．数据x1，x2，…，xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 2．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么的方差为a2s2. 【题型10 方差、标准差的求解及应用】 【例10】（24-25高一下·北京通州·期末）已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 【答案】A 【解题思路】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可. 【解答过程】因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得， 则该组样本数据的方差为， 故选：A. 【变式10-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265 【答案】D 【解题思路】先利用加权平均数公式求出全班学生的平均成绩，再利用混合模型的方差公式计算即得. 【解答过程】依题意，A组10人，B组30人，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215. 则全班学生的平均成绩为：， 其方差为：. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 【答案】D 【解题思路】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【解答过程】原数据的平均数为：， 原数据的方差为： . 对A：若，则满足， 此时所得新数据的平均数为：， 方差为： ，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由 ，故D正确. 故选：D. 【变式10-3】（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】将天数据从小到大排序为：，对于①，由平均数为3得，又极差为2，则，可推导，与平均值矛盾；对于②，根据中位数，纵数推导即可；对于③，根据题意可推导第天超过10即可判断；对于④，根据均值方差推导即可判断． 【解答过程】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确； 故选：C． 【题型11 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 【例11】（2025高一下·全国·专题练习）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）     甲班频率分布直方图            乙班频率分布直方图 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据平均数和方差的计算公式求解后比较大小即可. 【解答过程】根据频率分布直方图可知， ， ， ． 所以，． 故选：D. 【变式11-1】（22-23高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得. 【解答过程】由图可知， ， ， 所以，. 故选：D. 【变式11-2】（25-26高二上·贵州·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】(1)，平均数74，中位数为75 (2)总平均数，总方差 【解题思路】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【解答过程】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. （2）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 【变式11-3】（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】(1)，众数是； (2)，； (3)①证明见解析 ；②证明见解析. 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数. （2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得. （3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. （2）， . （3）①依题意，，所以原等式成立. ② ， 又，则， 同理， ， 所以. 【题型12 其他统计图表中用样本估计总体】 【例12】（2026·全国·模拟预测）如图为2014—2022年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、2010—2022年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（    ）      A．2014—2022年中国游戏用户规模逐年增长 B．2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为 C．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为223个 D．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过1600个 【答案】D 【解题思路】根据条形统计图、折线统计图逐项分析样本的数字特征即可判断. 【解答过程】A选项：2022年中国游戏用户规模比2021年少，A错误； B选项：2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率从小到大依次为，， ，，，，，，，中位数为，B错误； C选项：2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为（个），C错误； D选项： ，D正确． 故选：D. 【变式12-1】（24-25高三上·湖北孝感·月考）2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率=， 环比增长率=． A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的分位数为 D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为 【答案】D 【解题思路】由折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项进行逐一分析判断，即可得答案. 【解答过程】对A，从图中可以看出2023年1月全国居民消费价格的同比增长率为， 所以2023年1月全国居民消费价格有所上升，故A错误； 对B，由图2023年5月全国居民消费价格环比增长率为， 所以2023年5月全国居民消费价格有所下降，故B错误； 对C，将C选项中的数据由小到大排列得，， 因为，则同比增长率的分位数为第6个数，故C错误； 对D，环比增长率的平均数为，故D正确. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好? 【答案】(1)195mm；194 (2)乙厂的轮胎相对更好 【解题思路】（1）根据平均数的求法可直接求得结果； （2）确定甲、乙两厂生产的轮胎中标准轮胎的宽度数据，由此可计算得到平均数和方差，对比数据即可得到结论. 【解答过程】（1）记甲厂提供的个轮胎宽度的平均值为，乙厂提供的个轮胎宽度的平均值为， ，. （2）甲厂个轮胎宽度在内的数据为， 则平均数为， 所以方差； 乙厂个轮胎宽度在内的数据为， 则平均数为， 所以方差； 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小， 所有乙厂的轮胎相对更好. 【变式12-3】（24-25高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用各组区间中点值代表该组的各个值，由频率分布直方图、扇形统计图估计平均数的方法可求得结果； （2）根据分层抽样计算平均数和方差的方法直接求解即可. 【解答过程】（1）每个组内的数据均匀分布，以各组的区间中点值代表该组的各个值； 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数 ； 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数 . （2）采用按比例分配的分层随机抽样，； 估计树人中学学生课外运动时间的平均数， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 用样本估计总体（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 频率分布直方图的绘制】 2 【题型2 条形统计图解决实际问题】 5 【题型3 折线统计图解决实际问题】 7 【题型4 扇形统计图解决实际问题】 9 【题型5 频率分布直方图的相关计算问题】 11 【题型6 统计图的综合应用问题】 13 【题型7 百分位数的求解】 16 【题型8 众数、中位数、平均数的计算与求参】 17 【题型9 根据频率分布直方图计算众数、中位数、平均数】 17 【题型10 方差、标准差的求解及应用】 20 【题型11 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 21 【题型12 其他统计图表中用样本估计总体】 23 知识点1 总体取值规律的估计 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【题型1 频率分布直方图的绘制】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁阜新·月考）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举办了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 0.16 70.5～80.5 10 80.5～90.5 16 0.32 90.5～100.5 合计 50 (1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在75.5～85.5的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 【变式1-3】（24-25高一·全国·课堂例题）某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下： 151     153     157     159     160    161     162     163     163     164 164     164     165     165     166    166     167     167     168     168 169     169     169     170     170     170    171     171     172     172 172     173     173     173     173     173    174     175     175     176 176     177     177     178     178     179     180    181     181     183 (1)列出频率分布表并画出频率分布直方图； (2)估算该年级身高在内的男生人数； (3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数． 【题型2 条形统计图解决实际问题】 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【变式2-1】（24-25高一下·河北张家口·期末）某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划．已知该校高一年级有400人，占全校人数的，高三年级占，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为（    ）    A．80 B．90 C．9 D．8 【变式2-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（    ） A．从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小 B．从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大 C．从2019年开始，进出口总额逐年增大 D．从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大 【变式2-3】（2025·四川成都·二模）居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比，环比），下列结论正确的是（    ） A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格 【题型3 折线统计图解决实际问题】 【例3】（24-25高三上·广东梅州·月考） 表示空气质量指数， 的数值越小，表明空气质量越好，当 的数值不大于 时称空气质量为“优良”．如图是某地 月 日到 日 的数值的统计数据，图中点 表示 月 日的 的数值为 ．则下列叙述不正确的是 （    ）    A．这 天中有 天空气质量为“优良” B．这 天中空气质量最好的是 月 日 C．从 月 日到 日，空气质量越来越好 D．从 月 日到 日，空气质量越来越好 【变式3-1】（24-25高三上·四川成都·期末）下图是2023年1~12月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（    ）    A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势 B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势 C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率 D．2023年品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率 【变式3-2】（24-25高一上·河南开封·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【变式3-3】（2025高三上·全国·专题练习）工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（    ） A．2020年各月的PPI在逐月增大 B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平 C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小 D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平 【题型4 扇形统计图解决实际问题】 【例4】（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【变式4-1】（24-25高一下·重庆万州·月考）我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是（   ） A．2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于90° B．2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C．2024年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量 D．若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的11.8%，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 【变式4-2】（2025·全国·模拟预测）某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 【题型5 频率分布直方图的相关计算问题】 【例5】（24-25高一下·河南新乡·期末）某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按 分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【变式5-1】（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【变式5-2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 【变式5-3】（24-25高一上·北京·月考）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【题型6 统计图的综合应用问题】 【例6】（24-25高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【变式6-1】（24-25高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【变式6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 知识点2 总体百分位数的估计 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 【题型7 百分位数的求解】 【例7】（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【变式7-2】（24-25高一下·云南丽江·期末）一组数据，，，，，，，，，，，的上四分位数即第百分位数为（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）数据13，15，18，20，21，26，27，29，31，35的第70百分位数是（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 知识点3 总体集中趋势的估计 1．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 2．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【注意】 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么的平均数为.  【题型8 众数、中位数、平均数的计算与求参】 【例8】（24-25高一下·贵州遵义·月考）数据的平均数为5，则的平均数为（ ） A．15 B．13 C．11 D．9 【变式8-1】（24-25高一下·山东临沂·月考）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 【变式8-2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87，87，89，m，90，若这组数据的平均数为88，则这组数据的中位数为（   ） A．88 B．87 C．89 D．90 【变式8-3】（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 【题型9 根据频率分布直方图计算众数、中位数、平均数】 【例9】（24-25高一下·浙江宁波·期末）学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）    A． B．估计样本的中位数为23 C．估计样本的众数为22 D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人 【变式9-1】（2025·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【变式9-3】（24-25高一下·山西大同·期末）统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民的月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 知识点4 总体离散程度的估计 1．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出 现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为. 总体标准差：. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 【注意】 1．数据x1，x2，…，xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 2．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么的方差为a2s2. 【题型10 方差、标准差的求解及应用】 【例10】（24-25高一下·北京通州·期末）已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 【变式10-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（    ） A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265 【变式10-2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 【变式10-3】（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型11 计算频率分布直方图中的方差、标准差】 【例11】（2025高一下·全国·专题练习）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）     甲班频率分布直方图            乙班频率分布直方图 A．， B．， C．， D．， 【变式11-1】（22-23高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】（25-26高二上·贵州·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【变式11-3】（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【题型12 其他统计图表中用样本估计总体】 【例12】（2026·全国·模拟预测）如图为2014—2022年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、2010—2022年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（    ）      A．2014—2022年中国游戏用户规模逐年增长 B．2014—2022年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为 C．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的极差为223个 D．2010—2022年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过1600个 【变式12-1】（24-25高三上·湖北孝感·月考）2022年7月至2023年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（   ） 备注：同比增长率=， 环比增长率=． A．2023年1月全国居民消费价格比2022年1月全国居民消费价格有所下降 B．2023年5月全国居民消费价格比2023年4月全国居民消费价格有所上升 C．2022年7月至2023年7月全国居民消费价格同比增长率的分位数为 D．2022年10月至2023年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为 【变式12-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好? 【变式12-3】（24-25高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $