第6卷 三角函数（教师讲解卷）四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 四川省对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 2．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 3．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 4.正弦函数的图像与性质 （1）. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． （2） “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 5. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 6.余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 7.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 8. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 9．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01 诱导公式求三角函数值 1.（2025年对口招生） （ ） A. B. C. D. 考点02任意角的三角函数值 2. （2025年对口招生）已知角的终边经过点，且，则m等于（ ）. A. B. 3 C. D. 考点03特殊角的三角函数值 1.（2024年对口招生） （ ） A. B. C. D. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. B. C. D. 3. （2023年对口招生）（ ） A.0 B.1 C. D. 考点04同角三角函数的基本关系 1. （2023年对口招生）（ ） A.0 B.1 C. D. 考点05正弦型函数 1. （2024年对口招生）函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. B. C. D. 考点06三角函数图像与特征 1. （2025年对口招生）要得到函数的图像，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 2.（2022年职教师资和高职班对口考试） 若要得到函数的图像，则需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）若要将函数的图象变为的图象，下列四种变换方式： ①将第一个函数的图象横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位； ②将第一个函数的图象横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位； ③将第一个函数的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的3倍； ④将第一个函数的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的3倍. 其中，所有正确变换方式的编号是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点07三角函数的周期 1. （2023年对口招生）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 2. （2022年职教师资和高职班对口考试）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 考点08三角函数的单调性 1. （2023年对口招生）已知函数在上单调递增，则的最大值是_________. 【举一反三】 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．若角的终边经过点，且，则的值为（　） A． B． 3．已知函数，其中，，，在一个周期内的图像如图所示，则函数（    ） A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 5．已知，且，则（   ） 【拓展提升】 一．选择题 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递减 D．为奇函数 二．填空题 3．函数的定义域是________. 4．已知，且，则角的值为______________． 5．已知和是方程的两个实数根，则的值是________． 三．解答题 6.已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及此时的值. 7．已知函数的最大值为1． (1)求常数的值． (2)求函数的单调递减区间． (3)若，求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 四川省对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 2．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 3．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 4.正弦函数的图像与性质 （1）. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． （2） “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 5. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 6.余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 7.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 8. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 9．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01 诱导公式求三角函数值 1.（2025年对口招生） （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】根据诱导公式可得. 故选：B. 考点02任意角的三角函数值 2. （2025年对口招生）已知角的终边经过点，且，则m等于（ ）. A. B. 3 C. D. 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义易得答案. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，所以， 所以，所以，解得. 故选：B. 考点03特殊角的三角函数值 1.（2024年对口招生） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】非特殊角三角函数值的求解,可用或将非特殊角转化为特殊角后求解. 【详解】法一: 法二: ∴选A. 3. （2023年对口招生）（ ） A.0 B.1 C. D. 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简，然后利用特殊角的正弦值即可求得,是基础题. 【详解】∵， ∴， ∴选D. 考点04同角三角函数的基本关系 1. （2023年对口招生）（ ） A.0 B.1 C. D. 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简，然后利用特殊角的正弦值即可求得,是基础题. 【详解】∵， ∴， ∴选D. 考点05正弦型函数 1. （2024年对口招生）函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【详解】由图象可知，， 所以，解得，所以， 因为点在函数图象上，代入得， 即，所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 考点06三角函数图像与特征 1. （2025年对口招生）要得到函数的图像，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】由正弦函数的平移变换规律即可求解. 【详解】因为， 所以将右平移个单位长度，即可得到函数的图象， 即将函数的图象向右平移个单位长度. 故选：A. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试） 若要得到函数的图像，则需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【分析】①审题要清晰，看清通过哪个函数得到哪个函数，②平移规律：左加右减，上加下减。注意左加右减是在1个身上加减. 【详解】 ∴选A. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）若要将函数的图象变为的图象，下列四种变换方式： ①将第一个函数的图象横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位； ②将第一个函数的图象横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位； ③将第一个函数的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的3倍； ④将第一个函数的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的3倍. 其中，所有正确变换方式的编号是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是正弦型函数的两种平移方法； 【详解】平移方法一：先左右平移，对于x而言，左加右减，再伸缩变换，x的系数取倒数倍变换，即④正确； 平移方法二：先伸缩变换，x的系数取倒数倍，再左右平移，对于x而言，左加右减，即①正确； 考点07三角函数的周期 1. （2023年对口招生）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由降幂公式及周期公式可得最小正周期,是基础题. 【详解】∵， ∴的最小正周期， ∴是由向上平移个单位得到，平移没有影响最小正周期. ∴最小正周期依然为. ∴选C. 2. （2022年职教师资和高职班对口考试）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先通过平方差公式,二倍角公式将进行降幂,然后逆用得到正弦型函数,然后利用求得周期. 【详解】∵ ∴函数的最小正周期 ∴选D. 3.（2021年职教师资和高职班对口考试）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是正弦二倍角公式及正弦的周期； 【详解】y=2sinx，则T=. 考点08三角函数的单调性 1. （2023年对口招生）已知函数在上单调递增，则的最大值是_________. 【答案】 【分析】首先根据化一公式将转化为,然后得出一个单调递增区间，进而由题意得出是单调区间的子集,即可求得的最大值. 【详解】∵，令得， ∴的一个单调递增区间为：. ∵在上单调递增， ∴， ∴， ∴的最大值是. 【举一反三】 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式进行化简计算即可解得. 【详解】， 故选：C. 2．若角的终边经过点，且，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边上点的坐标和对应三角函数值求解即可解得. 【详解】因为，且终边上的点， 则，，解得. 故选：B 3．已知函数，其中，，，在一个周期内的图像如图所示，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数图象的最高点求出A,利用图象求出函数的周期，得到，图象过点，求出，从而可得函数的解析式. 【详解】由图象可知. ， 将代入函数，可得， ， . 故选：B 4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用三角函数图像平移的方法即可求解. 【详解】因为， 故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象． 故选：D. 5．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系及二倍角公式求出，再根据诱导公式化简求解即可. 【详解】由可得： ，解得， 则. 故选：D. 【拓展提升】 一．选择题 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同角三角函数基本关系和诱导公式. 【详解】因为，，所以， 所以，. 所以， 故选：D. 2．已知函数的部分图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】C 【分析】观察图像，求出正弦型函数，再根据正弦型函数的性质，依次判断，即可求解. 【详解】由图可知， 由，得， 又因为，所以， 由，得， 又因为，所以，即， 所以. 对于A：，所以选项A正确； 对于B：因为， 所以为函数的一条对称轴，所以选项B正确； 对于C：由，，得， 由，，得，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以C错误； 对于D：， 所以，且定义域为， 所以为奇函数，所以D正确. 故选：C. 二．填空题 3．函数的定义域是________. 【答案】 【解析】要使得函数有意义，则，然后解出即可. 【详解】要使得函数有意义 则，所以 即函数的定义域是 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限的符号，较简单. 4．已知，且，则角的值为______________． 【答案】 【分析】根据角的取值范围结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由得或 由得或， 综上所述，． 故答案为： 5．已知和是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】由韦达定理，立方和公式及同角三角函数基本关系式计算可得结果. 【详解】因为和是方程的两个实数根， 所以，，， 所以， 即，解得，满足． 所以 ． 故答案为：. 三．解答题 6.已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）由通过平方差公式、倍角公式，再利用辅助角公式即可得解. （2）根据正弦函数的图像可求出最值,再结合正弦型函数特点即可求解. 【详解】（1）∵ ∴函数的最小正周期为. （2）∵，由正弦函数图像知 ∴ ∴，即 ∴当，即时，函数有最小值为. 7．已知函数的最大值为1． (1)求常数的值． (2)求函数的单调递减区间． (3)若，求函数的值域． 【答案】(1) (2)单调递减区间为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式进行化简，再根据最大值求出常数的值. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）． 由，解得． （2）由，则，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， （3）由，则，所以， 所以，所以函数的值域为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $