第5章 3 垂径定理&培优专题3：考点整合—垂径定理的应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

2.3[解析]令y=2-4=0,解得x=士4，故点B(4,0), 的最小值为(2√5一2)米. A 连接PB.点Q,O分别为AP,AB的中点，OQ是 M △ABP的中位线，∴.当B,C,P三点共线，且点C在P,B 之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ的最大值=2BP =2(BC+1)=2(V+3+1)=3. B77777777777n 培优专题2：几何直观一题中无圆， *3垂径定理 1.B2.243.C4.15.B6.B7.A8.C 心中有圆（隐圆问题） 9.解：分两种情况：当两条弦在圆心O异侧时，如图①，过点 1.A[解析]如图，连接AM.,点B和点M关于直线AP O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,连接OB, 对称，'AB=AM=3,∴点M在以A为圆心，3为半径的 OD,可得OB=OD=5..AB∥CD,∴.EF⊥CD,∴.E为 圆上，.当A,M,C三点共线时，MC最短.AC= AB中点，F为CD中点.又AB=6,CD=8,.EB=3, √32+4=5，AM=3,∴.线段MC的最小值=5-3=2. FD=4.在Rt△OEB和Rt△ODF中，利用勾股定理，得 OE=√OB2-EB2=4,OF=√OD2-FD2=3,则弦AB 与弦CD之间的距离EF=OE+OF=4十3=7；当两条弦 A D 在圆心O同侧时，如图②，同理求出OE=4,OF=3,则弦 AB与弦CD之间的距离EF=OE-OF=4-3=1.综上， 弦AB与弦CD之间的距离为1或7. B P E 2.D[解析]如图，连接AB,取AB的中点N,连接ON, 0 MN.OM≥ON-MN,∴.当OM取最小值时，O,M,N 三点共线，即M在O,N之间，此时OM=ON一MN, ① ② :M,N分别是AC,AB的中点，MN=2BC=2 10.C[解析]过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于点G, 连接OB,OD,OE.由垂径定理得出DF=CF,AG=BG ,OA=OB,OA⊥OB,∴.AB=√OA2+OB2=2√2， =2AB=3,进一步得出EG=AG-AE=2,由勾股定理 ON=BN=2,∴OM=ON-MN=2-2,即OM的 得出OG=√OB2一BG=2,从而证出△EOG是等腰直 最小值是巨-是 角三角形，得出∠OEG=45°，OE=√2OG=2√2，所以可 求出∠OEF=30,由直角三角形的性质得出OF=2OE =√2，由勾股定理得出DF=√I,最后由垂径定理可得 CD=DF+CF=2V11. 11.4w2 12.B[解析]如图，作OG⊥BC于点G,延长GO交EF于点 3.解：如图，连接BE,BD.由题意得BD=√2+4= 2√5（米）.∠MBN=90°，MN=4米，EM=NE,∴.BE= H,连接B0,E0,则BG=号BC= B 合MN=2米点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半 0.7cm,∴.G0=√OB2-BG2= 2.4cm.EF∥BC,.OH⊥EF, 径的弧，当点E落在线段BD上时，DE的值最小，DE EH=号=24mOH= ·10·同行学案学练测 √OB2-EH=0.7cm,h=OH+OG十AB=0.7+3.(-1,-2)[解析]如图，分别过点M,N作x轴的垂线， 2.4十2.6=5.7(cm),即香水瓶的高度h是5.7cm. 过点A作AB⊥MN,连接AN,则BM=BN.设⊙A的半 13.(4√6一8)[解析]如图，设部分液体蒸发后的液面A'B 径为r,则AN=r,BM=BN=4-r.在Rt△ABN中，根 交OD于点E,连接OA'.由题意，得OA=OA'=OD= 据勾股定理得22十(4-r)2=r2,解得r=2.5,.BN=4- 5cm,OD⊥AB,OD⊥A'B',∴.AC=BC,A'E=B'E. 2.5=1.5,则点N到y轴的距离为AO-BN=2.5-1.5 .'CD=4 cm,.'OC OD-CD 1 cm,.AC= =1.又：点N在第三象限，.点N的坐标为（一1，一2）. √OA-OC=√52-1严=2√6(cm),∴.AB=2AC= 4/6cm.'DE 2 cm,:'OE OD -DE 3 cm, .A'E=√OA2-OE=√52-32=4(cm),∴A'B'= 2A'E=8cm,∴.AB-A'B'=(4√6-8)cm,即截面圆中 弦AB的长减少了(4√6-8)cm, 4.3十√2[解析]如图，过点P作PCLx轴于点C,交AB 于点D,作PE⊥AB于点E,连接PB.⊙P的圆心坐标 是(3a),.OC=3,PC=a.把x=3代人y=x得y=3, ∴.D点坐标为(3,3)，∴.CD=3,∴△OCD为等腰直角三角 形，∴△PED也为等腰直角三角形.PE⊥AB,∴AE= 14.A[解析]过圆心O作OE⊥CD于点E,连接OD,则 DE=CD=号X6=8:在R△0DE中，OD=专AB BE=号AB=2区.在R△PBE中，PB=3,∴PE=1, 合×10=5,0E=V0D-DE=V6-3=4,易 .PD=√2PE=√2，∴a=3+√2. y=x 得S四边形DMc=OE·CD=4X6=24. 培优专题3：考点整合—垂径定理的应用 1.B P 2.D[解析]如图，作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N, A 连接OB,OD.由垂径定理得BM=AM=2AB=4,DN 10 =CN=2CD=3.由勾股定理得OM=√OB-B-= 5.C [解析]如图，连接OC,OF,设OB=x.:四边形 43-4=四，同是，得ON=VO-DN ABCD是正方形且顶点D和C在圆周上，∴AB=BC= 2x,∠OBC=90°.，BG=4,四边形BEFG是正方形， V么5-了-385.：孩AB,CD互相垂直，OM LAB, .OE=x+4,EF=BE=BG=4,∠FEB=90°.在 ON⊥CD,∠MEN=∠OME=∠ONE=90°，∴.四边形 Rt△BCO中，OC=√x2+(2x)=√5x,在Rt△FEO中， MONE是矩形.ME=ON三3,5，tan∠OEA=aA OF=√(x+4)2+4=√2+8x+32.OF=OC, ∴5x2=x2+8x十32，解得x=4或x=-2(舍去).当x= √17 2 √85 4时，OC=45,则半圆0的半径是45. 3√5 15 2 A O B E 6.B[解析]如图，作OK⊥PC于点K,设正方形PFGH的 边长是x.,四边形PCDE是正方形，∴.∠CPD=45°. ∠OKP=90°，∴△KOP是等腰直角三角形，PK= 4圆周角和圆心角的关系 OP-1.CK-FK-PC-CK+PK-+ 第1课时圆周角和圆心角、弧的关系 1.B2.D3.C4.B5.110°6.D 两个正方形的面积之和为16，.x2+(x十2)2=16，.x 7.D[解析]∠APQ=115°，∴.∠APQ对应优弧ABQ, =√7-1或x=-√7-1（舍去），∴.PC=x十2=√7+1， .优弧ABQ所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心 PH=x=√7-1，.PD=√2PC=√I4+√2，PG=√2PH 角∠AOQ=130°.：C,D为AB的三等分点，∴.∠AOD= 120°，故点Q应位于DB上. =√14-√2，∴.DG=PD+PG=2√14. 8.909.D10.A11.30 12.C[解析]如图，连接OA,OD.AC=BD,.AC=BD, AD=BC,∠ABD=∠BAC,.AE=BE.AC⊥ BD,AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=45°，.∠AOD= 2∠ABE=90°.OA=OD,AD=√2r.AD=2√2， E .r=2. 7.A[解析]如图，连接OD.:CD⊥OC交⊙O于点D, ∴△OCD是直角三角形.根据勾股定理得CD= √OD2-OC.半径OD是定值，当OC⊥AB时，线段OC 最小，此时D与B重合，CD=√OB2-OC.,OC⊥AB, AC--AB.CD-/0B- 13.60或120 14.(1)证明：连接OD.AB是⊙O的直径，AB⊥CD,BC ，即线段CD的最大值是 1 2 =BD,∴∠COB=∠D0B=3∠COD.又：∠CPD= 合∠c0D,÷∠CPD=∠00B. (2)解：∠CP'D与 ∠COB的数量关系是∠CP'D十∠COB=180°.证明如 下：CPD与CD的度数之和为360°，∴∠CP'D+ D 1 ∠CPD=2×360°=180.∠CPD=∠C0B, 8.C[解析]对于直线y=kx十2k一4，当x=一2时，y= ∴.∠CP'D+∠COB=180°. 一4，故直线y=kx+2k一4恒经过点(-2，一4)，记为点 第2课时圆周角和直径的关系 D.连接OB,OD,如图.由于过圆内定点D的所有弦中，与 1.C2.25°3.(1)B(2)C4.C5.示例：306.2 OD垂直的弦最短，即当DB⊥OD时，BC最短.D(一2， 7.C8.B9.B10.A -4),∴.0D=√22+4=2√5.⊙0经过点(0,10)， 11.D[解析]如图，延长CA交⊙O于点D,连接BC,BD. CD为直径，∴∠CBD=90°.∠CAB=90°，∴.∠D= ∴.0B=10,.BD=√OB2-OD=√102-(2√5)2= ∠CBA,∴.Rt△ABC∽Rt△ADB,∴.AB:AD=AC: 45.,DB⊥OD,.BC=2BD=8√5，∴.弦BC的最小值 是8√5. AB,即3：AD=5:3,AD=号cm,CD=5+号 cm)⊙0的半径长为17。 34 5 cm. 12.C[解析]由题意可得AB=4.,△ABC是等边三角形， 培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用 ∠BAC=60°.AB是⊙O的直径，∠APB=90°， 1.B2.B3.15 ∠ABP=30,AP=7AB=2.在R△APB中，AB 4.20[解析]连接BC,OC⊥AB,.∠COB=90°..OB= =4,AP=2,∴.PB=√AB2-AP=√/42-22=2√5， OC,.∠OBC=45°.，∠AEC=65°，.∠BCD=65°-45° =20°，.∠BAD=∠BCD=20°. 以BP为半径作弧交数轴于点Q,.BQ=PB=2√3， .点Q表示的数为2-23. 5.2√3 13.解：(1)连接AD.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. [解析]点M,N分别是AC,BC的中点，∴.MN= 又知AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”的性质，得 1 ∠DAC=7∠BAC=7X45=2.5,∴∠EBC AB,一当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB ∠DAC=22.5°.(2)由等腰三角形“三线合一”的性质， 是直径时，AB最大.连接AO并延长交⊙O于点B',连接 得BD=DC.,AB是⊙O的直径，.∠AEB=90°， CB.,AB是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°.∠ABC= ∠BC=90ED=2BC=2×6=3. 45°，.∠AB′C=45°，.AB′=√2AC=5√2， 14.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°，∴.AB MN大值=5Y2 21 为⊙P的直径，即P为线段AB的中点.(2)解：，P为 7.C y-2(x>0)上的点，设点P的坐标为(m,m),则m [解析]连接OC.,AB⊥CD,∠CHO=90°.在 12.如图，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点 Rt△COH中，CH=4,设OC=r,则OH=r-2,∴.r2=42 N,.点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n),且OM =m,ON=n.易得M为OA中点，OA=2m,N为OB中 十(r-2)2,.r=5.连接OD.AB⊥CD,AB是直径， 点，OB=2n,.S△A0B= 20A·OB=2mm=24. ∴AD=Ac=2D,∴∠A0c=2∠coD.:∠CMD= z∠COD,∴∠CMD=∠COA,.sin∠CMD=sin∠COA =00=51 0 [解析]：OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB,.AB 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用 =BC,.∠ADB=∠BDC.'AN=AM,∴.∠ANM= 1.D2.A3.1204.(1)70°(2)60 ∠AMN.:∠AMN=∠DMO,.∠DMO=∠DNA, 5.C6.C7.B 8.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B',则点B必在 ÷△DM0△DNM,÷8-88∠MoD=∠NAD, ⊙O上，且BN=B'N.连接OB,OB',由已知得∠AON= CD是直径，∴∠NAD=90°，∴.∠MOD=90°.，OA= 60°.，点B是AN的中点，∴.∠B'ON=∠BON= 号∠AON=30,∠AOB'=90.连接AB'交MN于点 0D△A0D是等聚直角三角形，小器-言-号 P',则点P即为所求的点.连接BP',此时AP'十BP'= 微 AP'+P'B'=AB'=√2OA=√2，即AP+BP的最小值 1~4节阶段测试 为√2. 1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.D 10.D11.D12.A13.C 14.解：如图，摩天轮每分钟转动360÷18=20°.由题意得AD ⊥PE,AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP =OD=44米，DC=AC-AD=12米，∴.ED=EC-DC 同行学案学练测·11·了同行学案学练测数学九年级下LJ *3 垂 (教材P14 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>>难度等级基础题 知识点一：垂径定理 命题角度1：利用垂径定理进行推理 1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下 列结论错误的是() A.CE=DE B.AE=OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE 命题角度2：利用垂径定理求孩长 2.(湘西州中考)如图，在⊙0中， 直径AB的长是26，弦CD⊥ AB于点E,若OE=5,则CD 的长为 命题角度3：利用垂径定理求孩心距 3.如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦 AB=16,若⊙O内的一点P恰好在AB上， 则线段OP的长度为整数的值有() 3 A2个 B.3个 C.4个 D.5个 命题角度4：利用垂径定理求弓形的高度 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 E,OC =5 cm,CD 6 cm,BE cm. 做神龙题得好成绩 径定理 16练习) 命题角度5：利用垂径定理求半径（直径） 5.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O为圆心的圆的一部分，路面宽AB=8m,净 高CD=8m,则此圆的半径OA为() C D B 11 A.2xm B.5m 4 C 13 2πmD.6m 命题角度6：利用垂径定理求其他线段的长 6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB= 90°，点P是AB上任意一点（不与点A,B重 合)，OC⊥AP,OD⊥BP,垂足分别为C,D, 则CD的长为() D 0 B 1 A.2 2 2 D.1 知识点二：垂径定理的推论 7.(黄冈中考)如图，一条公路的转弯处是一段 圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心， AB=40m,点C是AB的中点，点D是AB 的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的 半径为( A.25m B.24mC.30m D.60m 易错点：考虑问题不全面导致漏解 8.(安顺中考)已知⊙O的直径CD=10cm,AB 是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为点M,且 AB=8cm,则AC的长为() A.25 cm B.4v5 cm C.2W5cm或4W5cmD.2W3cm或4wW3cm 9.已知圆O的半径长为5，弦AB与弦CD平 行，AB=6,CD=8.求弦AB与弦CD之间的 距离。 即能力提升>>>>>难度等级中等题 10.(梧州中考)如图，在半径为13的⊙O中，弦 AB与CD交于点E,∠DEB=75°，AB=6, AE=1,则CD的长是() A.2√6 B.2√/10C.2√1I D.43 D 0 第10题图 第11题图 11.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为点 E,∠A=22.5°，OC=4,CD的长为 第五章圆☑ 素养提升微专题 【利用垂径定理及其推论建模解决问题】 12.[应用意识]如图是某香水瓶的示意图.从正 面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓 形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的 图形（点B,C在⊙O上），其中BCEF.已知 ⊙O的半径为2.5cm,BC=1.4cm,AB= 2.6cm,EF=4.8cm,则香水瓶的高度h是 () 。0 视频讲解 A.5.6 cm B.5.7 cm C.5.8 cm D.5.9 cm 13.[应用意识]如图，一个底部呈球形的烧瓶， 球的半径为5cm,瓶内原有液体的最大深度 CD=4cm.部分液体蒸发后，瓶内液体的最 大深度下降为2cm,则截面圆中弦AB的长 减少了 cm.(结果保留根号) 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 14.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦， DM⊥CD交AB于点M,CN⊥CD交AB 于点N.若AB=10,CD=6,则四边形 DMNC的面积( A MON B 视频讲解 A.等于24 B.最小为24 C.等于48 D.最大为48 做神龙题得好成绩 11 ☑同行学案学练测 数学九年级下LJ 密 学 培优专题3：考点整合 养 应用一：与三角函数整合 1.如图，⊙O的半径为9，弦AB⊥半径OC于点 H,sin∠BOC= 则AB的长度为 ) 象能力 A.6 B.12 C.9 .3√5 运 能力 几何直观 必 第1题图 第2题图 间 念 2.（泰安模拟)如图，在半径为4.5的⊙O内有 推 两条互相垂直的弦AB和CD,AB=8,CD= 6,垂足为点E,则tan∠OEA的值是() 能力 B16 C.v15 3 6 D.V85 15 念 应用二：与坐标系（函数）整合 模型 3.如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在 x轴上，且半径AO的端点与原点O重合，平 行于x轴的直线交⊙A于M,N两点，如果 点M的坐标是（一4，一2），那么点N的坐标 分 为 创新 意识 4.(烟台牟平区期末)如图，在平面直角坐标系 中，⊙P的圆心是(3，a)(a>3),半径为3，函 数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 42,则a的值是 y↑ P 视频讲解 10 12 做神龙题得好成绩 垂径定理的应用 应用三：与正方形、一元二次方程整合 5.如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点 分别在半圆O的直径和圆周上，若BG=4,则 半圆O的半径是( A.4+√5B.9 C.4w5 D.6√2 H G A OB E 第5题图 第6题图 6.如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形 PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直 径AB所在直线上，点C,E,F,H都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16，OP=√2， 则DG的长是( A.6√2 B.2√14 C.7 D.43 应用四：最值问题 7.(威海模拟)如图，在⊙O中，点C为弦AB上 一点，AB=1,CD⊥OC交⊙O于点D,则线 段CD的最大值是() 1 A.2 B.1 c D.2 B D B 第7题图 第8题图 8.如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点 (0,10),直线y=kx+2k-4与⊙0交于B, C两点，则弦BC的最小值是( ) A.62 B.103 C.8√5 D.以上都不对