第18章 勾股定理 章节复习讲义（06知识详解+29典例分析）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第18章 勾股定理 章节（06知识详解+29典例分析） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【知识点04】作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【知识点05】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 续表 关系 【知识点06】勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在Rt中，，则边上的高的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟知勾股定理和直角三角形的面积公式是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据即可求出的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， ∴， ∵是边上的高， ，即， ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【答案】的长为3.75尺 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长度为x尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 【题型二】勾股定理的证明方法 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； D．图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 5．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(    ) A．10 B．15 C．30 D．50 【答案】D 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【详解】试题分析：根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知=25，因此可知=25×2=50. 故选D. 点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理列出直角三角形三边关系的式子，然后化简代换即可. 6．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以证得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以证明△ACP≌△ABF； （2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以证得∠FAG＝∠PAG＝45°，先证△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三边的等式关系，等量代换，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°， ∵AP⊥AD， ∴∠PAD＝∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC， ∴∠BAF＝∠CAP， ∵PC⊥BC， ∴∠PCB＝90°， ∵∠ACP＝∠ACB＝45°， ∴∠ABF＝∠ACP， 在△ABF与△ACP中， ， ∴△ABF≌△ACP（ASA）； 解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下： 如图1，连接PG，    由（1）可得，△ABF≌△ACP， ∴BF＝CP，AF＝AP， ∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°， ∴∠FAG＝∠PAG＝45°， 在△AFG与△APG中， ， ∴△AFG≌△APG（SAS）， ∴FG＝PG， 在Rt△PGC中， PG2＝CG2+CP2， ∴BF2+CG2＝FG2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，利用已知条件，找到证明全等的条件，是解决本题的关键，例如第（1）问中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推导，同时，要注意第（1）问的结论给第（2）问提供了条件，例如由（1）的结论可以得到BF＝CP． 【题型四】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．7 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设该直角三角形的第三条边长为， ∵直角三角形的两条边长为， ，且满足， ∴，． 若4是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得： ，∴； 若4是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得： ，∴； ∴第三边的长为5或． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 8．（2023八年级下·安徽合肥·期中）如图，，过作，得；再过作且，得；又过作且，得；依此法继续作下去，得___． 【答案】 【分析】根据勾股定理分别列式计算，然后根据被开方数的变化规律解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ． 故答案为：. 【点睛】此题考查勾股定理，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键． 【题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】7 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理．由勾股定理得出，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， 即， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为7， 故答案为：7． 11．探究题： （一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示： （1）若图中的△DEF为直角三角形，∠DEF=90°，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________； （2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形． （二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由． 【答案】（一）（1）24，（2）直角；（二） S1＋S2＝S3，见解析. 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（一）直接根据勾股定理及正方形的性质进行解答； （二）根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2，再根据圆的面积公式得出S1、S2、S3的表达式，找出其中的关系即可． 【详解】(一)、 （1）M的面积为：24． （2）△DEF为直角三角形． (二)、S1＋S2＝S3 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴AC2＋BC2＝AB2 ∵S1＝π·(AC)2＝ πAC2， S2＝π·(BC)2＝πBC2， S3＝π·(AB)2＝πAB2， ∴S1＋S2＝πAC2＋πBC2＝π(AC2＋BC2)＝πAB2， ∴S1＋S2＝S3． 【点睛】考查的是勾股定理及正方形的性质、圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键． 【题型六】勾股定理与网格问题 12．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A．4 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算结果，再将计算的结果化简即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由图知，黑、白两棋子的距离， 故选：B． 13．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边上的高是________． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】先利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积，再求出的长，再利用面积公式即可求出结果． 【详解】解：∵每个小正方形的边长为1， ∴所在的长方形的面积为：， ，， 设的高为h，则，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用求差法求出的面积是解题的关键． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图的网格格点处取合适的三点，，．请在图中画出． 【答案】图见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，根据勾股定理画出即可，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可知：． 【题型七】勾股定理与折叠问题 15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 16．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 【答案】的面积为96 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等．利用折叠的性质，得到 是解题的关键． 根据折叠的性质可知，利用三角形周长可求出的值，再根据勾股定理可求出与的长，进而求出三角形的面积即可． 【详解】解：由折叠可知， ， ，， ，即 又， ，， ． 答：的面积为96． 【题型八】已知两点坐标求两点距离 17．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 18．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）阅读材料：一般地，设平面上任意两点和，可以用表示两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点，则四边形是矩形． ∵ ∴， ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点为原点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算即可； （2）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出，，，即可计算出的周长． 【详解】（1）解： 点和点之间的距离是． （2） 的周长． 【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 【题型九】勾股树（数）问题 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 20．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是10，则正方形D的边长为______． 【答案】 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股定理的几何意义，E的面积为A、B的面积之和，D的面积为E、C的面积之和． 【详解】根据勾股定理的几何意义可知：SD=SE+SC=SA+SB+SC=10， 可知，D的边长为． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的几何意义，要知道，以斜边为边长的正方形的面积是以两直角边为边长的正方形的面积之和． 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 【题型十】以弦图为背景的计算题 22．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意，数形结合，根据勾股定理得到另一条直角边为，从而得到小正方形的边长，最后由正方形面积公式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12， 由勾股定理可知，另一条直角边为， 小正方形的边长为，则小正方形的面积是， 故选：C． 23．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 24．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（　　） A．171 B．79 C．100 D．81 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】连接BD，利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2， 连接BD， 在直角△ABD和△BCD中， BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即S1+S4＝S3+S2， 因此S2＝125﹣46＝79， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【题型十二】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 【题型十三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 28．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 【答案】B 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，设旗杆的高为x m ，则绳子AC的长为m ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，m，如下图： 设旗杆的高为：x m ，则绳子的长为m ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 解得： ， 即旗杆的高为m． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 【题型十四】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 30．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【详解】展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB==30cm． 故选：C 31．如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米? 【答案】小鸟至少飞行米． 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】连接， 作于， 则 (米) 米． (米) 即小鸟至少飞行米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【题型十五】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 32．（22-23八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(    )处    A．5m B．7m C．8m D．10m 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可． 【详解】设树顶端落在离树底部x米，由题意得： 解得：x=8. 故选C. 【点睛】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 33．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.设BC=x米，由题意得米，米，在中，利用勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设米，由题意得米，米， 在中， ，即 解得 即旗杆的断裂处距离底部的高度为． 【题型十六】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 34．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：B． 35．《九章算术》“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面.问水有多深？芦苇多长？ 【答案】水深12尺，芦苇长13尺. 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理可得 再解答即可． 【详解】解;设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺， 根据勾股定理得： 解得：x=12， 芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺)， 答：水池深12尺，芦苇长13尺. 【点睛】考查勾股定理，设出未知数，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 【题型十七】解决航海问题(勾股定理的应用) 36．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解． 【详解】解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km， ∵802＋602＝1002， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90° ∵∠NOA＝30°， ∴∠SOB＝60° ∴乙客轮的航行方向为南偏东60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键． 37．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【答案】小明骑车的平均速度为． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查方位角，勾股定理的应用，正确画出图形，求得是解题的关键． 根据方位角正确画出图形，然后求得，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． 【题型十八】求河宽(勾股定理的应用) 38．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【答案】24 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 39．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【题型十九】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 40．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元． 【答案】420 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为420． 41．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【答案】156 m2. 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜. 【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b， 则m 棚的长d为12m 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键. 【题型二十】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 42．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 【详解】在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 43．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 【题型二十一】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 44．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 【答案】9 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 45．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；学校受到的影响的时间为24秒． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】作AH⊥MN于H，利用含30度的直角三角形，得到AH=AP=80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，则AB=AC=100，利用等腰三角形的性质得BH=CH，接下来利用勾股定理计算出BH=60，所以BC=2BH=120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间． 【详解】解：学校会受到噪声影响． 理由：作AH⊥MN于H，如图， 在Rt△APH中， ∵∠HPA=30°， ∴AH=AP=×160°=80（m）， 而80＜100， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响； 以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB=AC=100m， 而AH⊥BC， ∴BH=CH， 在Rt△ABH中， ∴BC=2BH=120（m）， ∵拖拉机的速度为5m/s， ∴学校受到的影响的时间=（秒）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 【题型二十二】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 46．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 【答案】A 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置． 【详解】解：如图 ∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴活动中心P应在斜边AB的中点． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 47．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【答案】储藏仓库到A站点的距离约为 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得到，结合勾股定理得到，设，则代入求解即可得到答案； 【详解】两村到储藏仓库的直线距离相等， ∴， ，， ， 在和中， 由勾股定理得：，， ， 设，则， ， 解得：， 答：储藏仓库到站点的距离约为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是得到． 【题型二十三】求最短路径(勾股定理的应用) 48．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选A． 49．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长． 【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于， 由题意得：，， ， ， 由勾股定理得：， 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为． 【题型二十四】判断三边能否构成直角三角形 50．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形．据此逐一验证即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴， ∴该组线段能构成直角三角形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴该组线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 51．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在网格中，已知格点（网格线的交点）线段． (1)线段的长为_____________； (2)画格点，使是等腰三角形，且是钝角； (3)画格点，使． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理及逆定理，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）运用勾股定理即可作答； （）因为是等腰三角形，且是钝角，进行作图即可； （）结合网格特征，证明是等腰直角三角形，得出，故是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：由网格可知，， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求， 理由：，， ∴即为所求； （3）解：如图所示，即为所求（答案不唯一）， 理由：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴即为所求． 【题型二十五】图形上与已知两点构成直角三角形的点 52．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、在网格中判断直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 53．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【答案】为直角三角形，理由详见解析. 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可. 【详解】解：如图所示. 如图1，在中， ，， 因为， 所以， 即为直角三角形. 如图2，在中， . 在中，. 在中，. 所以， 所以，即为直角三角形. 【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键. 【题型二十六】在网格中判断直角三角形 54．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：，，， ，， 是等腰直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 55．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 【答案】见解析，3 【知识点】实数的混合运算、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由勾股定理确定的位置，再由勾股定理逆定理得到，即可由三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，即为所求， 即 ∴是直角三角形且 ． 【题型二十七】利用勾股定理的逆定理求解 56．（23-24八年级·安徽宿州·期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可，关键在于熟悉常用的勾股数． 【详解】∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴面积为∶． 故选A． 57．（2023八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在△ABC中，AC＝24，AB＝25，BC＝7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为___． 【答案】35° 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，利用平行的性质可得出∠MCF的度数，结合∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF可求出∠BCM的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠CBD的度数． 【详解】解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7， ∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴∠ACB＝90°． 过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示． ∵CM∥EF，∠EFC＝125°， ∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°， ∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°． 又∵CM∥BD， ∴∠CBD＝∠BCM＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理的逆定理，找出∠ACB＝90°． 【题型二十八】勾股定理逆定理的实际应用 58．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【详解】解：如图所示， AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 59．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【知识点】垂线段最短、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 【题型二十九】勾股定理逆定理的拓展问题 60．（2023八年级下·安徽合肥·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形． 【答案】3或2或． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 61．如已知：如图，四边形中，，，且．试求的度数． 【答案】135° 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】连接AC，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，连接AC ∵， ∴，∠BAC=45° 又∵，， ∴△ACD为直角三角形 ∴∠CAD=90° ∴=135° 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理证明直角三角形是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理 章节（06知识详解+29典例分析） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【知识点04】作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【知识点05】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 3.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 续表 关系 【知识点06】勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 . 2. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”： 看是不是三个正整数 . (2)“找”： 找最大数 . (3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 . 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在Rt中，，则边上的高的长为（    ） A．5 B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【题型二】勾股定理的证明方法 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 5．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(    ) A．10 B．15 C．30 D．50 6．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    【题型四】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．7 8．（2023八年级下·安徽合肥·期中）如图，，过作，得；再过作且，得；又过作且，得；依此法继续作下去，得___． 【题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 11．探究题： （一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示： （1）若图中的△DEF为直角三角形，∠DEF=90°，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________； （2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形． （二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由． 【题型六】勾股定理与网格问题 12．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A．4 B．5 C．7 D．25 13．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边上的高是________． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图的网格格点处取合适的三点，，．请在图中画出． 【题型七】勾股定理与折叠问题 15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 【题型八】已知两点坐标求两点距离 17．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 18．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）阅读材料：一般地，设平面上任意两点和，可以用表示两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点，则四边形是矩形． ∵ ∴， ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点为原点，求的周长． 【题型九】勾股树（数）问题 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 20．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是10，则正方形D的边长为______． 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【题型十】以弦图为背景的计算题 22．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，体现了中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形的面积是（    ） A．25 B．36 C．49 D．64 23．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 24．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（　　） A．171 B．79 C．100 D．81 25．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【题型十二】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【题型十三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 28．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．13m B．12m C．10m D．8m 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【题型十四】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 30．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 31．如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米? 【题型十五】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 32．（22-23八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部(    )处    A．5m B．7m C．8m D．10m 33．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 【题型十六】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 34．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 35．《九章算术》“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面.问水有多深？芦苇多长？ 【题型十七】解决航海问题(勾股定理的应用) 36．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 37．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【题型十八】求河宽(勾股定理的应用) 38．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 39．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【题型十九】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 40．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元． 41．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【题型二十】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 42．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 43．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【题型二十一】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 44．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 45．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【题型二十二】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 46．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 47．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）    【题型二十三】求最短路径(勾股定理的应用) 48．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 49．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 【题型二十四】判断三边能否构成直角三角形 50．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 51．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在网格中，已知格点（网格线的交点）线段． (1)线段的长为_____________； (2)画格点，使是等腰三角形，且是钝角； (3)画格点，使． 【题型二十五】图形上与已知两点构成直角三角形的点 52．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 53．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【题型二十六】在网格中判断直角三角形 54．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 55．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 【题型二十七】利用勾股定理的逆定理求解 56．（23-24八年级·安徽宿州·期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是(    ) A．84 B．87.5 C．168 D．300 57．（2023八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在△ABC中，AC＝24，AB＝25，BC＝7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为___． 【题型二十八】勾股定理逆定理的实际应用 58．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 59．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【题型二十九】勾股定理逆定理的拓展问题 60．（2023八年级下·安徽合肥·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形． 61．如已知：如图，四边形中，，，且．试求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $