28.1锐角三角函数同步训练2025-2026学年人教版九年级数学下册

2026年人教版九年级下册数学同步训练：28.1锐角三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是(    ) A. B. C. D. 2.把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的正弦值(    ) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的倍 D. 不能确定 3.在中，，均为锐角，且，则是(    ) A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4.如图，在中，，，，则等于(    ) A. B. C. D. 5.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 7.的相反数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.在中，，，，则的正切值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在四边形中，、分别是边、上的中点若，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为          ． 12.在中，，则          ． 13.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接若，则的长是          ． 14.如图，网格中小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则的正弦值是          ． 15.正方形网格中，如图放置，则的值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，求： 线段的长． 的值． 17.本小题分 我们知道： ， ，可得，那么对于任意的锐角，是否都有呢 如图，在中，，，，的对边分别为，，，可得，，证明：． 若，利用的结论求的值． 用以上探究的方法你能得出，，三者之间的关系吗请写出答案． 18.本小题分 如图，在中，，，，求，的长及的值． 19.本小题分 阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： ，， 一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得： 例如 根据上述材料内容，解决下列问题： 计算：______； 在中，，，，请你求出和的长． 20. 本小题分 嘉琪在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉琪猜想： 在中，，设，有． 当时，验证是否成立． 请你对嘉琪的猜想进行证明． 21.本小题分 一个一次函数的截距为，且经过点． 求这个一次函数的解析式； 点，在某个反比例函数上，点横坐标为，将点向上平移个单位得到点，求的值． 22.本小题分 如图，在矩形中，，点是边上的一点，将沿着折叠，点刚好落在边上点处；点在上，将沿着折叠，点刚好落在上点处，此时：：， 求证：∽； 求的长； 求的值． 23.本小题分 如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为． 求证：四边形是菱形； 连接，若，． 求的值； 若点为线段上一动点不与点重合，连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．  利用垂直的定义以及互余的定义得出，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【解答】 解：因为，， 所以， 所以， 所以， 故选C． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 先根据勾股定理求得，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】 解：由勾股定理得， ． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与有关的直角三角形． 【解答】 解：如图过点作交于点，设小正方形的边长为，则，， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】在中，，，， ，故选B． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是掌握锐角三角函数的定义．解题时，根据角的正切定义等于角的对边比邻边，可得答案． 【解答】 在中，，，， ．  故选A． 10.【答案】  【解析】解：连接根据三角形中位线的性质，得， 再根据勾股定理的逆定理，得， 从而在中，． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查锐角三角函数，二次根式的减法运算，正确求出，的长是解本题的关键． 先利用锐角三角函数求解  再利用线段的和差可得答案． 【解答】 解：由题意可得：     同理：     故答案为：  12.【答案】  【解析】解：在中，，， ， ， ． 故答案为． 此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键熟记特殊角的三角函数值根据的正切值可得的度数，继而求得，再根据的余弦值求得答案． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】【解法一】如图，作于，取格点，连接，，则由题意可知，，，，，即，，． 【解法二】如图，延长至格点，连接， 由格点可知，． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握锐角三角函数的定义． 根据正切定义，进行计算即可． 【解答】 解：如图，过点作于点， 由图可知，， ． 故答案为：． 16.【答案】【小题】 解：是边上的高，和都是直角三角形．在中，，，．．又，  【小题】 在中，为斜边的中点，．．．   【解析】 略  略 17.【答案】【小题】 证明：在中，， ． 又 ， ， ． 【小题】 ，， ， 负值舍去． 【小题】 ，，， ， 即．   【解析】 略  略  略 18.【答案】，， ，， ， ．   【解析】略 19.【答案】解：； 中，， ， ， ， ， ．  【解析】【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义，利用特殊的三角函数值求线段的长度是解本题的关键． 根据公式可求； 根据锐角的三角函数的定义，求和的值． 【解答】 解： ， 故答案为：； 见答案． 20.【答案】解：当时， ； 嘉琪的猜想成立，证明如下： 如图，在中，， 设，则， ．  【解析】将代入，根据三角函数值计算可得； 设，则，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证． 本题主要考查特殊角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键． 21.【答案】解：设一次函数的解析式为：， 图象经过点， ， 解得：， 一次函数的解析式为：； 点，在某个反比例函数上，点横坐标为，点， ， 将点向上平移个单位得到点， ， ，，， ， 是直角三角形且， ．  【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角的三角比的意义，正确理解题意是解题的关键． 理解截距的概念，再利用待定系数法求解即可； 先求出点和的坐标，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，再利用锐角的三角比的意义求解． 22.【答案】证明：四边形是矩形， ， 由折叠对称知：，， ，，， ， ∽； 解：：：，且的边上的高和的边上的高相等， ：：， 将沿着折叠，点刚好落在边上点处， ， ，， 又将沿着折叠，点刚好落在上点处， ； 解：在中，，，， ， 由折叠的对称性可设，则， ， ， 解得：， ， 在中，．  【解析】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，，证得，则可得出结论； 由面积关系可得出：：，由折叠的性质得出，求出，，则可得出答案； 由勾股定理求出，设，则，由勾股定理得出方程，解出，由锐角三角函数的定义可得出答案． 23.【答案】证明：四边形是矩形． ， 和关于对称， ，， ， 四边形是菱形． 设交于． 四边形是菱形， ，， ， ， ，， 在中，， ， 作于． 由知， 点的运动时间， 当、、共线时，的值最小，此时是的中位线， ，， ， 当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，的长为，点走完全程所需的时间为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $