28.2解直角三角形及其应用同步训练2025-2026学年人教版九年级数学下册

2026年人教版九年级下册数学同步训练：28.2解直角三角形及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔 海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处．这时，处与灯塔的距离的长可以表示为(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 2.如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为(    ) A. B. C. D. 3.在中，，设，，所对的边分别为，，，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的高．若，，则边的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，中，，点在上，若，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 6.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高为米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为已知，，，，，(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.如图，在中，，，点为边的中点，于点，连接，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，点是上一点，连结若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，，则点坐标是(    ) A. B. C. D. 12.如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.如图，海上有一灯塔，位于小岛北偏东方向上，一艘轮船从小岛出发，由西向东航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔的正南方，此时轮船与灯塔的距离是          结果保留一位小数，约等于 14.如图，建筑物上有一高为的旗杆，从处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则建筑物的高约为          结果保留小数点后一位，参考数据：，，． 15.如图所示，测得两幢大楼、的间距，，从处看的俯角为，从处看的俯角为，则的高度为          结果保留根号 16.如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则           ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在中，，，，分别为，，所对的边，根据下列条件解直角三角形． 已知，，求的值． 已知，，求的值和的度数． 18.本小题分 年月日是第个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时点是的对应点，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．结果精确到；参考数据：，， 19.本小题分 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分上塔柱和塔冠进行了测量．如图所示，最外端的拉索的底端到塔柱底端的距离为，拉索与桥面的夹角为，从点出发沿方向前进，在处测得塔冠顶端的仰角为请你求出塔冠的高度结果精确到参考数据，，，． 20.本小题分 【查阅资料】 任意三角形的面积都可以用两边及夹角的锐角三角函数的式子表示． 【问题解决】请你利用如图所示的已知条件探究上述结论是否正确，并用数学语言表示的面积 【结论应用】某工业园区为了扩大绿化面积，计划在如图所示的荒地上铺满草坪，经测量，长为，长为，长为，长为，，请运用上述结论，求草坪的面积结果精确到，参考数据： 21.本小题分 如图，在中，，，，是上一点，连接，已知． 求的长 求的度数． 22. 本小题分 图、图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图已知跑步机手柄与地面平行，踏板的长为，与地面的夹角，支架的长为，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离结果精确到参考数据：，，， 23.本小题分 如图，等边中，点是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，，作于点； 若，依题意补全图，并直接写出的度数； 如图，若， 求证：； 用等式表示线段，，之间的数量关系并加以证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：一艘海轮位于灯塔的南偏东方向， ， 海里， 海里． 故选D． 根据已知条件得出，再根据海里和即可求出的长． 本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 2.【答案】  【解析】解：如图，米，． ． 故选：． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：，，， ， ， ． ， ， 故选：． 在中，由求得，再由勾股定理求得，最后在中求得． 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 6.【答案】  【解析】【分析】 过点作于点，延长交于点，设，根据锐角三角函数的定义表示的长度，然后列出方程求出的值即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 【详解】 解：过点作于点，延长交于点， 设， ， ， ， ， ， ， ， 米， 米， 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】     本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值利用等腰直角三角形的判定与性质推知，，然后通过解直角来求的值． 【解答】 解：在中，，， ，， 又点为边的中点， ． 于点， ， ． 故选A． 8.【答案】  【解析】如图，连接是斜边上的中线，，是的垂直平分线，，，，在中，，，，又，，，，． 9.【答案】  【解析】【分析】 过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长． 本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键． 【解答】 解：过点作于， ，， ，， ， 在中，，， ， 解得， ， ，， ， ， 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长是解题的关键． 过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值． 【解答】 解：过点作，垂足为，如图所示． 在中，， ； 在中，，， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． ，， ，， 点的坐标为． 故选：． 过点作轴于点，过点作轴于点，根据，可求出，再根据勾股定理可求出，由此即可得出点的坐标． 本题考查了解直角三角形以及点的坐标，解题的关键是：求出，的长，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形通过解直角三角形来找出点的坐标是关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 作于，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【解答】 解：如图，作于，于． ， ， ，设，， 则有：， ， 或舍弃， ， ，，， 等腰三角形两腰上的高相等 ，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键． 过作于，易证是等腰三角形，得到然后在直角中，利用三角函数的定义求得的长即可． 【解答】 解：过作于． ，， ， ． 在直角中，． 即此时轮船与灯塔的距离约为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：在中，， ． 设，． 在中，， ， ，解得． 故建筑物的高约为． 15.【答案】  【解析】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， 在中， 在中，， 故答案为： 过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点， 则是等腰直角三角形， 设，则，， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ：：：， ， ：：：， ：：：， ， ：：， ∽， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 过点作于点，则是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及，可求得；又，可得出各个边的长度；由：：：，及，可得∽，则，所以是等腰直角三角形，所以． 本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等内容，证得的正切值及是等腰直角三角形是解题的关键． 17.【答案】【小题】 在中，， ． ，，，． 【小题】 在中，，，， ， ，．   【解析】 略  略 18.【答案】解：， ， 在中，， ， 由题意得：， ， ， 在中，， 此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为．  【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 19.【答案】解：在中，， 则， 由题意得，， 在中，， ， ， 答：塔冠的高度约为．  【解析】根据正切的定义分别求出、，结合图形计算，得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20.【答案】【小题】 解：上述结论正确． 如解图，过点作于点， ，， 方法不唯一 【小题】 如解图，连接， 草坪的面积 答：草坪的面积约为．   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 解：如解图，过点作于点． 在中，，， ． 在中，， 【小题】 由知，，， ，． ， ． 在中，， ， ．   【解析】 略  略 22.【答案】解：如图，过点作直线于，延长交直线于，则． ，， ， 在中， ， 在中， ， ， 故跑步机手柄所在直线与地面之间的距离约为．   【解析】见答案 23.【答案】解：补全图形如下： ； 证明：如上图，连接， 根据题意得， ， ， 是等边三角形， ， ， 关于直线的对称是， ，， ， ，， ， ； 解：用等式表示线段，，之间的数量关系是． 证明：在上截取，连接， 是等边三角形， ， ， ≌， ，， ， ， ．  【解析】解：图见答案； 是等边三角形， ， 关于直线的对称是， ，， ， ； 见答案。 由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出，由即可得到结论； 由轴对称的性质可得垂直平分，可得，，由等腰三角形的性质可求解； 由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得． 本题考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $