思维拓展《还原问题》（专项训练）-2025-2026学年人教版四年级下册数学

思维拓展——还原问题 【知识导航】 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 【例题精讲】 例1:小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁? 练习1.1、在£里填上适当的数。 20×£÷8+16=26 练习1.2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少? 例2:某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台? 练习2.1、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨? 练习2.2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子? 例3:小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本? 练习3.1、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张? 练习3.2、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张? 例4:甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克? 练习4.1、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张? 练习4.2、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个? 例5:两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半;甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半;乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个。问甲猴最初拿了多少个? 练习5.1、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵? 练习5.2、李辉和张新共搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半;李辉不肯，张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本? 例6、袋子里有一些球，小华每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。袋中原来有多少个球? 练习6.1、有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后再放回1个，这样连续拿了5次，筐里的橘子还剩下4个。原来筐里有多少个橘子? 【综合练习】 1、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少? 2、牛牛问爷爷今年多大年纪，爷爷说:“我的年龄减去8后，用5乘，再加上11，除以4刚好是99岁。”问爷爷今年有多少岁? 3、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一个菠萝。三次共卖得46元，求每个菠萝多少元? 4、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子共100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗? 5、书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书? 6、在一次数学考试中，李军问于坤数学考试时考得多少分，于坤说:“用我的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，的56.”小朋友，你知道于坤得多少分吗? 7、有三堆煤，第一堆的吨数是第二堆的3倍，第三堆的吨数是第二堆的4倍。如果从第三堆里每天取用5吨，那么，9天后还剩3吨。求第一堆煤的吨数? 8、某人乘船从甲地去乙地，在船行了全程的一半多15千米时睡了觉，当他醒来时发现船又行了睡觉前剩下路程的一半少10千米，此时离乙地还有30千米。问:甲、乙两地相距多少千米? 9、小红、小青、小宁都喜欢画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他么三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有多少张画片? 10、两棵树上共有麻雀28只，从第一棵树上飞了一半到第二棵树上，又从第二棵树上飞走3只到第一棵，这时第二棵比第一棵多6只。问最初第一棵树上有多少只麻雀? 思维拓展——还原问题答案 【知识导航】 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 【例题精讲】 例1:小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁? 解析：本题是还原问题，应用倒推法解决，求出奶奶今年的年龄。即(100÷10-2)×9+7=79。 练习1.1、在£里填上适当的数。 20×£÷8+16=26 解析：20×4÷8+16=26 练习1.2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少? 解析：（60÷2+9-6）÷3=11 例2:某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台? 解析：本题是还原问题，应用倒推法解决，先求出下午:(95+20)×2=230（台）再求上午:(230+10)×2=480（台）。 练习2.1、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨? 解析：本题是还原问题，应用倒推法解决，先求第二次运之前：(4+5)×2=18（吨），原来有(18+3)×2=42（吨）。 练习2.2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子? 解析：本题是还原问题，应用倒推法解决，先求第三天吃之前橘子的个数：三(1+1)×2=4(个)，再求第二天吃之前橘子的个数：(4+1)×2=10(个)，最后求一共有橘子的个数：(10+1)×2=22（个）。 例3:小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本? 解析：本题是还原问题，应用倒推法解决，故事书总数60本，三个人有的故事书的本数正好相等，即每人60÷3=20（本）。再用倒推法解决，小强:20+5-3=22（本），小勇:20-5=15（本），小明:20+3=23（本）。 练习3.1、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张? 解析：90÷3=30(张)甲:30+3=33(张)乙:30-3+5=32(张)丙:30-5=25(张) 练习3.2、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张? 解析：小红:40-3+13=50(张) 小丽:40+23-13=50(张) 小敏:40-23+3=20(张) 例4:甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克? 解析：如果后来乙桶不倒给甲桶:甲桶:36÷2=18（千克），乙桶：18+36=54（千克）；如果不从甲桶倒入乙桶，乙桶54÷2=27（千克）甲桶:27+18=45（千克）。 练习4.1、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张? 解析：李强给王亮:24÷2=12（张）王亮给李强:24+12=36（张）李强:36÷2=18（张）王亮:12+18=30（张） 练习4.2、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个? 解析：甲、乙、丙共有:32×3=96（个）； 丙给甲、乙之前:甲:32÷2=16（个）乙:32÷2=16（个）丙:32+16+16=64（个）；乙给甲、丙之前:甲16÷2=8（个）丙:64÷2=32（个）乙:96-8-32=56（个）； 甲给丙乙之前:乙:56÷2=28（个）丙:32÷2-=16（个）甲:96-16-28=52（个）。 例5:两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半;甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半;乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个。问甲猴最初拿了多少个? 解析：本题转化成和差问题解决，甲最终有:(26-2)÷2=12（个），乙最终有:(26+2)÷2=14（个）。再用倒推法解决，乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，即甲:12+5=17（个），乙:14-5=9（个）；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半，即甲:17-9=8（个），乙:9+9=18（个）；乙看甲猴拿得太多，就抢去一半，即甲最初:8+8=16（个）。 练习5.1、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵? 解析：最后小强36÷(2+1)×2=24(棵)，最后小萍36÷(2+1)=12(棵)，小强最后:24+(10-6)=28(棵)。 练习5.2、李辉和张新共搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半;李辉不肯，张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本? 解析：最后李辉(60-4)÷2+4=32（本） 32-10=22（本）； 最后张新32-4=28（本）28+10=38（本）38-22=16（本）； 最初李辉22×2=44（本）。 例6、袋子里有一些球，小华每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。袋中原来有多少个球? 解析：本题是还原问题，按照倒推法4次就可以解决。 (5-1)×2=8（个） (8-1)×2=14（个） (14-1)×2=26（个） (26-1)×2=50（个） 练习6.1、有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后再放回1个，这样连续拿了5次，筐里的橘子还剩下4个。原来筐里有多少个橘子? 解析：(4-1)×2=6（个） (6-1)×2=10（个） (10-1)×2=18（个） (18-1)×2=34（个） (34-1)×2=66（个） 【综合练习】 1、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少? 解析：甲:180-12=168 168+15=183 丙:180+12-18=174 乙:180+18-15=183 2、牛牛问爷爷今年多大年纪，爷爷说:“我的年龄减去8后，用5乘，再加上11，除以4刚好是99岁。”问爷爷今年有多少岁? 解析：99×4=396（岁） 396-11=385（岁） 385÷5=77（岁） 77+8=85（岁） 3、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一个菠萝。三次共卖得46元，求每个菠萝多少元? 解析：（1+1）×2=4（个） （4+1）×2=10（个） （10+2）×2=24（个） 46÷（24-1）=2（元） 4、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子共100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗? 解析：丁:25-16=9（颗） 丙:25+16-18=23（颗） 乙:25+18-13=30（颗）甲:25+13=38（颗） 5、 书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书? 解析：192÷3=64（本） 上层:64÷2=32（本）下层:64+32=96（本） 中层:64+48=112（本）.下层:96÷2=48（本） 中层:112÷2=56（本）上层：32+56=88（本） 答：这个书架上层88本，中层56本，下层48本。 6、 在一次数学考试中，李军问于坤数学考试时考得多少分，于坤说:“用我的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，的56.”小朋友，你知道于坤得多少分吗? 解析：56÷4×7-10+8=96 7、 有三堆煤，第一堆的吨数是第二堆的3倍，第三堆的吨数是第二堆的4倍。如果从第三堆里每天取用5吨，那么，9天后还剩3吨。求第一堆煤的吨数? 解析：第三堆：5×9+3=48（吨） 第一堆：48÷4×3=36（吨） 8、 某人乘船从甲地去乙地，在船行了全程的一半多15千米时睡了觉，当他醒来时发现船又行了睡觉前剩下路程的一半少10千米，此时离乙地还有30千米。问:甲、乙两地相距多少千米? 解析：（30-10）×2=40（千米） （40+15）×2=110（千米） 9、 小红、小青、小宁都喜欢画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他么三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有多少张画片? 解析：150÷3=50（张） 小红：50+11-5=56（张） 小青：50-11+20=59（张） 小宁：50-20+5=35（张） 10、两棵树上共有麻雀28只，从第一棵树上飞了一半到第二棵树上，又从第二棵树上飞走3只到第一棵，这时第二棵比第一棵多6只。问最初第一棵树上有多少只麻雀? 解析：（28-6）÷2=11（只） （11-3）×2=16（只） 学科网（北京）股份有限公司 $