6.4平面向量的应用巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4平面向量的应用巩固练习 一、单选题 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 4．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 5．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 7．在中，内角所对的边分别是.若，且，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 10．在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ） A． B．角B为钝角 C． D． 11．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，，则边上的中线长为 C．若，则 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题 12．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为 ． 13．在锐角三角形中，，则的周长的取值范围为 ． 14．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 四、解答题 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 16．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 17．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积． 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，，求的周长． 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4平面向量的应用巩固练习 一、单选题 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形，所以四边形是菱形. 故选：D 2．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】在中，由，可得，又，， 所以的面积为. 故选：B 4．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 5．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得，由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 7．在中，内角所对的边分别是.若，且，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定条件，求出，利用正弦定理角化边、余弦定理求出，再利用基本不等式及三角形面积公式求出最大值. 【详解】在中，，由及正弦定理， 得，即，由余弦定理得， 而，则，又，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故选：C 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为所以由正弦定理得，， 所以，因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，．故． 故选：C． 二、多选题 9．在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】根据余弦定理可得， 即，，，，解得或. 故选：AC. 10．在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ） A． B．角B为钝角 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题干等式结合两角和公式和诱导公式可验证A，B，C选项；通过正弦定理可验证D选项. 【详解】由，得，得， 对于A，B，由，可得，因为， 且均不为，则，且不为，则或， 即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角，故A，B均正确； 对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误； 对于D，由正弦定理，，又，将代入得， 故D正确. 故选ABD. 11．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，，则边上的中线长为 C．若，则 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可判断A选项；利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理可判断B选项；依据正弦定理、三角恒等变换可求出三个内角，结合勾股定理可判断C选项；根据为锐角三角形确定的取值范围，由已知得，结合余弦型函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理得 ， 因为、，则， 因为，所以， 若，即，舍去，所以，故，故A正确； 对于B选项，设的中点D，由，， 代入得：，解得：. 因为,两端同时平方得：, , ,即AD=1，故边上的中线长为，故B错误； 对于C选项，因为， 而，由正弦定理得，得， 又，所以，则，故， 所以，故C正确； 对于D选项，因为为锐角三角形，则，解得， 由得， 因为，则，所以，故， 从而的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理，解得．所以外接圆的面积为． 故答案为： 13．在锐角三角形中，，则的周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设外接圆的半径为，求得，且，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 因为，可得，则，且 所以 ， 由,知：,又因为是锐角三角形， , , ,,即,. 即的周长的取值范围为. 故答案为：. 14．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 【答案】 【分析】直接利用诱导公式和余弦定理及解直角三角形知识的应用求出结果． 【详解】中，已知点在边上，，， 则， 又因为，所以， 在中，, , 在直角三角形中，. 故答案为： 四、解答题 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【详解】（1）在中，， 因为，即，且，则， 所以，即， 又因为，则，即. （2）若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 16．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【分析】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解的大小； （2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角. 【详解】（1）因为三个力平衡，所以， , 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， , , , 即： , 解得：, 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，, , , 因为，所以. 17．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积． 【分析】（1）利用正弦定理化简结合，利用两角和差公式化简，再利用正切值结合角的范围即可求得； （2）由面积公式结合角平分线得出，应用余弦定理联立方程得出，最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可化为：， ，又因为 即，即， 因为，解得：，且，即； （2）因为及为的角平分线，所以， 由三角形面积公式得， 代入得：， 因为，由余弦定理， 化简得：，即得 解得：或舍去，即， 所以的面积为. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，，求的周长． 【分析】（1）由结合正弦定理边化角以及辅助角公式即可分析计算求解； （2）先由正弦定理得到接着由余弦定理求出即可求得即可求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 又,，所以，即， 所以，即，所以． 又，所以， 所以，即． （2）由（1）及正弦定理，得， 则，，故． 所以由余弦定理得，整理得． 所以，即，所以， 故的周长为． 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，，由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得: , , 是锐角三角形， ,, ,即： 所以面积的取值范围是： 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $