河南许昌市禹州市第三高级中学菁华校区卓越班2025-2026学年高二下学期3月学情检测数学试题

菁华校区卓越班高二下学期学情检测 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，己知A(1,0,2),B(2,m,3),C(3,4,n+1)三点共线，则m+n=() A.2 B.3 C.4 D.5 2曲线会号1与自线二女六0c<2的有共同的（） A.长轴长B.短轴长 C.离心率 D.焦距 3.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱 长分别是1,1，√，则PPN的取值范围为() A[可 B.[ c别 D.[别 4.设等差数列{a}的前n项和为S,若S。-S3=-3,S-S=9，,则S,=() A.12 B.14 C.16 D.18 5.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0的公共弦长为25，则a=() A.1 B.1 C.2 D.2 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，(x)-f(x)<0,且f(-2)=0, 则不等式因>0的解集是(). A.(-2,0u(0,2) B.（-,-2(2,+o) C.(-2.0U(2,+0) D.(-0,-2)U(0,2) 7.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 ABCD-ABCD挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心， 第1页，共4页 D E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA=4cm, B 3D打印所用原料密度为0.9g/cm,不考虑打印损耗，制作 该模型所需原料的质量为() A.118.8gB.108g C.97.2g 8已知双曲线c二-@>0，b>0的右焦点为F,两务 渐近线分别为，4，过F且与4平行的直线与双曲线C及直线42依次交于点B,D 若DB=2FB,则双曲线C的离心率为() A C.2 D.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分。在每小题给出的选项中有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数f(x)=(x+1)(x-2),则() A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(0，-2)中心对称D.当0<x<1时，f(x)>f(x2) 10。已知数列a满足a风=a-a-,4-音设数列a的前项和为5 前n项积为T,则下列说法正确的是() 1 A.数列a 是等差数列 B.数列{a}的最大项为a C.使得S取得最小值的n为7 D.T有最小值，无最大值 11.已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B 两点，其中A在第一象限，点M(P,0),若AF曰4MI,则() A.直线AB的斜率为26 B.IOBHOFI C.AB>4OF D.∠OAM+∠OBM<180 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若数列{a,}是等比数列，且a,>0a4=9,log4+log4+log,4++og4=_ 13.过圆x2+y2=4外一点P引该圆的两条切线PA、PB,经过两个切点A、B的直 第2页，共4页 线经过定点(0.-)，且PAB的面积为3√5，则点P的坐标为 14.己知函数f(x)=(x-3)e-a(x-4)x是R上的增函数，则a的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.设函数=是4m. (1)求f(x)的单调区间： 2味因在上的最大值与最本位 16.已知数列{a.}满足4=，a= 0+2 ①证明：数列合+是等比数列。并求： 2设6=(2m+)+, 求数列{b,}的前n项和S。: a 7、已知椭圆E号+卡=口>b>0的左、右顶点分别为么B,且网=45，精 圆E的焦距为4 (1)求椭圆E的标准方程： (2)已知点M,N(M,N不在x轴上)是椭圆E上不同的两点. ①求直线AM,BM的斜率之积： ②若直线AW的斜率是直线BM的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定点？若是， 求出定点的坐标：若不是，请说明理由， 第3页，共4页 18.如图1，在等腰直角△PAB中，∠A=90°，AB=AP=12,D,C分别为PA,PB的中点. 将△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折，得到如图2所示的四棱锥P-ABCD,且 PA=6N2.记PB的中点为N,动点Q在线段CW上运动. (I)证明：CN⊥平面PAB: (2)若OC=2QN,求平面PAQ与平面ABCD夹 角的余弦值： (3)求动点Q到直线4P的距离的取值范围. 图1 图2 I9.已知函数fx)=e-ar2-x,f(x)为fx)的导数 (1)讨论f'(x)的单调性： (2)若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围： (g)若0e0引证明：。1+e+lsn0cos)<l 第4页，共4页 菁华校区卓越班高二下学期学情检测数学参考答案 题号1 2 3 5 6 8 910 答案D D B B D BBC ACD 题号1 答案ACD 02.813.0414.g今e 8.H【详解】由题意知F(心，0)，渐近线方程为y-±也x,不妨设1为 y=2,则过P且与4平行的直线方程为y-(x-) ，解得 y-2(x-e) 网=2啡FB,则D2,2l.则0吸-号%+完)原-(-小. 5c 所以飞5+)=2c-。. 5-=2e-) ，保得 6 可店》又点在线，所器行-化用山，：-点 -6(衡去) 2 1.ACD【详保】对rA,易得F,0,A-4a时符点A在FM钓直平分线上， 则A点装标为是P之，代入指物线可科广=2印平，则半)A 24 4 6p 线AB的斜率为3DP 2。-2石，A正饰：对于B.由斜率为2石可付育线4B的方积为 42 2石学装市耀物线方2得广-名四-广-0，设气5.则 雪--，则天9。代人能线背，得号为 唱-.则s矿受-9m-86果 对于C由物线定文：h-号+p=智>2p=40F,C正晚 43 答案克1页，共6页 对+n.m愿=得g(平<0，期<a0s 42 23 hm-号号-{}（}若0，题 42 3 ∠AMB为饨力，又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360,则∠OAM+∠OBM<I80 13.【详解】园x2y2=4,园心为00,0，半伦"=2 设点P的坐标为(x,),则以OP为汽伦的同的方和为 到 4 将该方程和x1y=4a或得x+,=4.即直线AB的方程为x+。=4, 由题意知直我AB过点(0.-1)，故×0+(-1)n=4,即y。-4 即直线AB的方程为x-4y-4, 点000)到直线AB的电疼为d-0-0-4.一4 +16 +161 则4州-2P-d 4 24-+6 -24-16 2 x+164民-i6 义点P到线格附如病为心-飞二4x)-.6+1以 +(-4y +16 由EPAB的面积为3w5.故h-分×5+ +12+12 =35」 n2+e-5,做B.啊4 x后116 r+435.即 2r-3w5r-125-0,2f25j门-35r-365=0,即 （-25(22++6)-0,即每1-25=0或2r2-3+6=0 对于2r+3+6=0,4=(V5-4×2x6=45<0,年该方#无斜。 枚t-25-0,即1=25，即√-12=25k=0,所以点P的坐标为(04). 答案第2页，共6页 14.号分【详保1由5含得f-e+3g-a4到=-2e-2刘 因为f(x)是R上的塔函数，所以f(x)=(x-2)(e-2a)≥0恒成立.当a≤0时， e-2u≥0，北时x-2≥0不恤成立，不满足题意：当4>0时，要仲 国=2训e-2a20成立.《x22时，c-2a≥0即u≤氵相成立，所似 以 <2蓝，e-2a≤0助a2包，所以写 因为号号所以号缘上，a=号 15.(1)f(x)在(0，)，(3+∞)巾词递道，在(L.3)节调递减 (2最小值为二-3+4，最大值为2. 16.)证明见解新.a=-2)8-(2-2+2 -120:@w何过点(5.. 【详解】(1)由AA=4W2,得2a-4万，解得a-2√反，设椭圆E的焦为2c,由焦 为4利2=4、怒得c=2,又6=匠-2-2，所以复5的标准力程为写+号=1： (2)①ll腰总，得A-25.0小(22.0，设M(名，片)，山M(,y)在椭假F上，得 天，片即=4以wk了41 84 2 5-22-2万-85-82 即直线AM,M的斜率之积为一2 ②设W(红乃)，若线N的斜率为0，则M,N关丁y轴对称，所以无x+ka=0, 又肖线AN的斜率是气线M的斜率的3倍，以kN一3水，即kN-k-0,由M,V不 在x轴上，待k≠0k4≠0，与kas=k=0才，所以直线MN的斜率不为0. 线w的室药-a+.n后子-，利 x=m时+n (m2+2）小y2+2wv+n2-8=0,所以4=4mn2-4(m+2(r-8)=8(4m+8-n)>0, 且-方@知mw片又w-3。,所以 n2-8 答案克3页，共6页 kke-kww-一多所以长2无12同三 yy, 3 同n*可，m释%*nw0r2阿. 将为十y2= 2·-代试并化简，得 m2+2 -8 3 m(a-8j-2m2-1w2mn+m+22j(w+2）2 即'+3w2n+4=0,解得n=22或n-2.当n=22时，与n≠±22矛形，合去. 当n=反时，满足A=8(4m+8-n)-8(4m-6)>0听以直线MW:x=mr-V2恤过点 （2,0. &e3西a[s36] N D.. 【详解】(1)因为断叠前D为PA小中点，PA-12,听以PD=AD=6,折径 后，PA=6反，所以PD'1AD=PA',所以PD1AD,在折叠前D,C分 别为PA,PB中点，所以DCAB,又因为折前PA LAB,所以LDC⊥PA, 所以折普iPD⊥AD,DC⊥PD,AD⊥DC;以D为坐标原点，DA、DC、DP分别 为x、y、z轴建立空问角坐际系，则D(0.0.0),A(60.0),B(6.12,0),C(0.6.0), P0.0,6,N为Pn中点，所以N(3,63),C-(30,3), 设平白PAB的法向量为m-(x,小，义AP=(6,0.6),AB=(0,12.0). 听以n02,二0，令=山，刘-0,1，所以m=0. 所以 所以CN=3m,则CHm,所以CN⊥平面PAB: (2)设Q(0）,由(1)知，C=(3,0.3),因为动点0在线段CN上， 且c-20w,新以c0-号C,所以66-6)号a03。 所以×-2，-6，-2，所以0(2.6.2)，QP-(-26.4) Q=(4,6,2).设Y血PAQ的法向量为-(x,乙) 8w.- QA-元-0' 答案第4页，共6页 元.Dp 段省C的法向为丽=包a可.所以a.丽-司 6 3v 所以Y面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为3四 19 (3)设2（与，y,).C亚-(y-6.z),C-(3.0,3).动点Q在线段Cy上. =3 听以C0=元C,2e[0.,即(x,y-6.)=(3入，0.3i),即y=6. 12=3元 所以Q(3元63)，4P=(-6,0,6),2A=(6-32,6.-32), 设点Q剑线段AP的如离为d,d QA.AP AP d-6-3a+(-+(-32y- 6(6-32)-3×6 ，i∈0，则， 6N2 d=182.36l+54,2∈[0，J],令1=18M:.36l+54.2∈[0,1]， 则1=18(2-1)+36,2∈[0.，根据：次函数的件质可知1∈[36,54， 听以d∈6,36，由此刊知动点Q到线段A钓型离的取作i范围为6,36 19.【详深】(1)由题知f"(x)=e'-2ar-1.令g(x=f"(x)=e-2r-1,则 g'(x)=e-2a,当a≤0时，8'()>0.f"()在区问(-0，+)单调递增，当>0叫，令 g(x)-=0,解得x=ln2a,当xe(（-oln2a)时，g'(x)<0,当.xe(ln2a,+o)时. R'(x)>0,所以f(x)在×问(-n2)上单满递减，在×间(n24+)上单词递弹， 综上所述，当a≤0时，"(x)在区间(.o上巾调递地；当>0时，∫'(x)区间 (-,ln2c)上单调递d或，在区问(ln2u,+）.上单调递塔 (2)当a≤0时，f'(0)-0,由(1)知，当x∈(0,0)时，f'(x)<0f(x)在(-0)上单 调递减：当x∈(0，+c)时，f"(x)>0.f(x)在(0，+x)上单词递治： 听以x=0是函数∫(x)的极小值点，不符合题意： 答案第5页，共6页 当0<a<)时.n2a<0,且f'(0)=0,由(1)知，当x∈(n2a.0)时，f'(y)<0f()在 (ln2a,0)上单词理减：当x∈(0.+e)时，f'(x)>0,f(x)在(0.+e）上单调递培： 所以x=0是两数f的楼小鱼点.不符合5意：当a=时，h2a=0,则当(-五+回 1时，(x)≥0，f(x)在(-0，+)上单词递泸，所以f(x)无极值点，不合意 当a>时，n2m>0.且了0)-0：当e(x0时，了0f(-么0)上作调 增：当xe(0n2a时，f"(x<0,f(x)在(0，In2a)上单调递或： 所以=0地函数()的授大值点，行合要意：综上所达，“的取值孤州是a> (3)岁证e+e+ln(sin cos9)<l, 贝要证ers'+emw+ln(sin)+ln(cs)<sin'0+cos'0, 只婴正e+hsn0<sn0,e+hcs0<os0,肉为0E02则 sin0∈(0，)，cos0∈(0，I,所以只"i证对任意0<r<l,行e-+lnx<x, 只要证对f意-1<x<0,c+ln(1+x)<1+x)(※)，因为由〔2)知：当a-1时，若 x<0,则f(x)<f(0)=l,所以e-r2-r<1,即e<x2+x+1①，令函数 到=a01x<,题e年 所以当-1<x<0时'(x)>0,所以h(x)在(-1,0)单调递增： 则(x)<h(o)-0,即n1+x)<x-1<x<): 由①+②得c+ln(1+x)<x2+2x+1-(x+1) 所以（茶）成立，所以e血+e+血(s血os9)<1成立 答案克6页，共6页