2026高考物理15题-第15题突破（含第40～42练）-【奇点物理】2026高考物理考前67天逐题突破•天天练(全国通用版)

第15题突破 第 40练 电学计算1：带电粒子在电场中的运动 本卷共15小题，每题16分，共240分。 1．（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上有两个静止的小球A和B，B在桌边缘，A和B均可视为质点，质量均为，A球带正电，电荷量，B球是绝缘体，不带电，桌面距地面的高度。开始时A、B相距，在方向水平向右、大小的匀强电场的电场力作用下，A开始向右运动，并与B球发生正碰，碰撞中，A、B的总动能无损失，A和B之间无电荷转移。求： (1)A经过多长时间与B碰撞？ (2)求碰撞完成瞬间A、B的速度？ (3)A、B落地点之间的距离是多大？ 1．(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为，根据牛顿第二定律可得，解得，设经过时间与B发生第一次碰撞，则，解得； （2）设A球与B球发生碰撞前速度为，碰撞后A球速度为，B球速度为，则，A球与B球发生碰撞由动量守恒和机械能守恒，得，，解得，； （3）A球与B球发生碰撞后，B做平抛运动，A在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，A球与B球运动时间相等，设时间为，在这段时间内A、B在水平方向发生的位移分别为和，则，，，A、B落地点之间的距离为。 2．（25-26高二上·广东东莞·月考）芯片制造企业的离子注入工艺研发中，涉及电子在电场中的加速与偏转模拟实验。一个初速度为零的电子在U1电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从两极板中心处射入，如图所示，两板间距d，板长L，两板间的电压U2。已知电子的带电量e，质量为m，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离； (3)已知两板间距d=1.0cm，板长L=2.0cm，偏移的距离y=0.4cm，若电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图，求P点到下极板右端的距离。 2．(1)；(2)；(3)0.25cm 【解析】（1）设电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度为，根据动能定理可得，解得； （2）根据牛顿第二定律可得电子在偏转电场中竖直方向的加速度，水平方向做匀速直线运动，则运动时间，射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离，联立解得； （3）电子出电场后做匀速直线运动，将电子出电场时的速度反向延长，延长线与板间中心线相交于板的中点，设速度反向延长线与水平方向的夹角为θ 则，由几何关系，解得x=0.25cm。 3．（25-26高三上·广东汕头·期末）炮瞄雷达的示波管用于显示其雷达信号，如图1为封装于真空玻璃壳中示波管的核心部分XXʹ两极间加锯齿形扫描电压，YYʹ两极接雷达电压信号，电子从电子枪以初速度为零逸出，经电压U0的电场加速后，进入偏转电极XXʹ和YYʹ偏转，最后打在荧光屏上形成一个亮斑，当两偏转电极都不加电压时，电子射到荧光屏中央O点。已知电子的电量为e，质量为m，电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，偏转电极XXʹ和YYʹ沿轴线方向的长度和极板间的间距均为L，YYʹ右边缘到荧光屏的距离为D。某次测量中在示波管荧光屏显示了一个“V”形信号如图2，已知“V”形信号的两个顶点在荧光屏上关于y轴对称，左边顶点在荧光屏上的坐标为（-X0，Y0），单个电子穿过极板时间极短，视为电压不变。求： (1)电子离开加速电场时的速度多大？ (2)示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压Uy的变化范围。 3．(1)；(2) 【解析】（1）电子在加速电场中，根据动能定理可得，所以电子离开加速电场时的速度大小为； （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，则，，，所以，电子打在荧光屏上，有，所以，所以示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压的变化范围为。 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，空间内存在方向水平向左，范围足够大的匀强电场。用一长为L的不可伸长的绝缘轻绳将一质量为m的带电小球悬挂在O点，平衡时小球停止于A点，此时轻绳与竖直方向夹角，B在O点正下方。现把小球拉到O点正右方的C处，此时轻绳刚好处于水平状态，将小球无初速度释放，不计空气阻力，带电小球可视为质点，重力加速度为g，，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动过程中轻绳受到的最大拉力的大小； (3)小球运动到B点时剪断轻绳，在以后的运动过程中，小球运动到P点（图中未画出）时速度会有一个最小值，则小球从B点运动到P点的时间是多少？ 4．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）对小球受力分析，可知小球带负电，根据共点力平衡有：，解得：，小球从C点到B点的过程，根据动能定理有：，联立解得：； （2）对小球受力分析可知，小球运动到A点（等效最低点）时，轻绳对小球的拉力最大，小球从C到A，根据动能定理有，小球在A点，由牛顿第二定律得，联立解得：，由牛顿第三定律可知轻绳受到的最大拉力的大小为：； （3）将小球受到的重力与电场力的合力视为一个新的等效场力G'，根据力的合成有，等效重力加速度大小：，将小球在B点的速度沿等效场力方向和垂直于等效场力方向分解，其在等效场力方向的分速度：，根据运动规律有小球从B点运动到P点的时间：，解得：。 5．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电荷量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知B处电荷的电荷量为，图乙是A、B连线之间的电势φ与位置x之间的关系图像，图中处对应图线的最低点，处的纵坐标为，处的纵坐标，若在处的C点由静止释放一个质量为m、电荷量为的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动（假设此带电物块不影响原电场分布），求： (1)固定在A处的电荷的电荷量； (2)小物块与水平面间的动摩擦因数μ为多大，才能使小物块恰好到达处？ (3)若小物块与水平面间的动摩擦因数，小物块运动到何处时速度最大？ 5．(1)；(2)；(3)处 【解析】（1）根据图像的切线斜率表示场强，可知最低点切线斜率为零，对应合场强为零；则在处有，解得； （2）物块从运动至过程中，先加速运动，后减速运动，由动能定理可得，其中，，解得； （3）当电场力与摩擦力平衡时，速度最大，设此时物块与A距离为d，则有，将代入，解得，故此时小物块在处。 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为。质量为m的带正电小球，在边界O点正上方以大小为v0的初速度水平向右抛出，进入电场时速度方向与边界M成30°角，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)小球释放位置距离边界M的高度h； (2)小球在电场中运动轨迹最右侧位置与进入电场的初位置之间的水平距离x； (3)小球进入电场后，其动能的最小值。 6．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据平抛运动规律可知，根据动能定理可知，解得； （2）水平方向上，根据牛顿第二定律可得，根据速度与位移公式可得，解得； （3）与水平夹角α，则，故，沿方向与垂直方向建立坐标系，则当速度与垂直时，动能最小，则，，解得。 7．（2025·四川凉山·一模）如图所示，粗糙水平绝缘轨道AB与半径R=0.4 m的竖直半圆绝缘光滑轨道BC平滑连接，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电量，质量m=0.2kg的带电体（视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，经过水平轨道加速，进入圆轨道B点时速度大小。带电体与水平轨道间动摩擦因素，取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)P点到B点的距离； (2)带电体运动到与圆心O等高点D处时对圆形轨道的压力大小； (3)带电体离开圆弧轨道的速度大小。 7．(1)；(2)F′=6N；(3)， 【解析】（1）从P点到B点过程，根据动能定理，解得； （2）从B点到D点过程，根据动能定理，在D点有，联立解得F=6N，由牛顿第三定律可知，压力大小为F′=F=6N； （3）假设可从C点离开，则从B到C点过程，由动能定理得，解得：，假设不成立。设离开圆弧位置为O1点，重力与半径夹角为，则在O1点，从B点到O1点过程，解得，。 8．（2026·贵州毕节·一模）如图甲，质量、带电量的小物块A被锁定在光滑绝缘水平地面上的坐标原点O处，处于水平向右、范围足够大的匀强电场中，电场强度大小。从某时刻开始，对A解除锁定，同时对A施加一个水平向左的力F，F的大小与A的位置x关系如图乙所示。求： (1)A解除锁定瞬间加速度的大小； (2)A运动过程最大速度的大小。 8．(1)15；(2)m/s 【解析】（1）对A，根据牛顿第二定律①，解得②； （2）当系统所受合力为零时，速度最大，即③，由图像可得④，从释放到速度最大的过程，根据动能定理⑤，解得⑥。 9．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量绝对值为的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向成37°角。已知重力加速度为，，。 (1)判断小球的带电性质，并求该匀强电场的电场强度的大小； (2)若将小球向左拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，小球运动到最低点时，求： ①该过程中系统电势能的变化量； ②最低点处小球对细线的拉力的大小。 9．(1)负电，；(2)①电势能的增加量为；② 【解析】（1）小球在A点处于静止状态，其受力情况如下图所示： 根据平衡条件可判断电场力水平向左与电场线方向相反，所以小球带负电；根据共点力平衡条件有，解得该匀强电场的电场强度的大小为； （2）①小球从点运动到最低点的过程中，电场力对其做的功为，所以该过程中系统电势能的增加量为，②对小球从点运动到最低点的过程中列动能定理方程有，，解得小球运动到最低点时的速度为，在最低点对小球列向心力方程有，解得此时细线对小球的拉力为，则根据牛顿第三定律可知最低点处小球对细线的拉力大小为。 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示离子注入工作原理示意图。环形加速器的圆心角为90°，沿半径为R的中心圆弧线有大小恒定、方向如图中箭头所示的电场，可对从入口S进入加速器的带电粒子进行加速。在环形加速器内有能使加速粒子沿中心弧线做圆周运动的磁场Bx（未画出）。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子通过加速区域后垂直进入磁场分析器，并恰好垂直于磁场下边界射出，注入处于水平面内的晶圆（硅片）。磁场分析器截面是内外半径分别为和的四分之一圆环（在竖直方向），圆心为，其两端中心位置为M和N，离子从M进入磁场分析器，并从N射出，磁场分析器的匀强磁场磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外，整个系统置于真空中，不计离子进入加速器时的初速度和离子重力。求： (1)离子在匀强磁场中运动时速度的大小； (2)加速器中心圆弧线上电场强度E的大小； (3)设环形加速器中圆弧线上某点到圆心O连线与SO的夹角为，求圆弧线上各点磁场磁感应强度的大小与对应的关系。 10．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）在磁场分析器中，有，且，解得； （2）在环形加速器中，有，且，解得； （3）在环形加速器中，有 ，且 ， ，解得。 11．（25-26高三上·云南大理·月考）如图所示，在真空中，有一半径为的圆，圆心为，为该圆的六等分点，该圆处在与其所在平面平行的匀强电场（图中未画出）中。将一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计受到的重力）从点沿不同方向（在该圆所处的平面内）以大小为的速度射出后，粒子再次与圆相交时，通过点的速度最大，且为。 (1)求该匀强电场的电场强度大小和方向； (2)求粒子运动到点时的速度大小； (3)通过计算说明粒子是否能通过点。 11．(1)，方向由点指向点；(2)；(3)见解析 【解析】（1）由题意可知从到过，电场力做功最大，则点到圆周上各点中，、两点距离沿电场方向距离最大，故电场方向与过点的切线垂直，如图所示 即电场强度的方向由点指向点；由几何关系可知，点到点沿电场线方向的距离，根据动能定理有，解得； （2）由几何关系可知，从点到点沿电场线方向的距离，根据动能定理有，解得； （3）假设粒子能通过点，设粒子从点射出时与连线成角，粒子从点运动到点的时间为，沿方向做匀速直线运动，有，由几何关系可知，从点到点的距离，沿电场线方向有，，代入数据可得，解得，可知等式不成立，即粒子不能通过点。 12．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 12．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据动能定理有，粒子进入偏转电场后，水平方向有，联立得； （2）时刻入射的电子，根据牛顿第二定律，联立得； （3）粒子进入偏转电场后向上运动，速度减为零后，向下运动，时间段内的总偏移由（2），联立得。 13．（25-26高三上·山西运城·期末）如图所示，直角坐标系xOy的第一象限内，存在沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从x轴上的点以初速度沿与x轴成的方向进入第二象限，离开磁场时方向垂直于y轴，通过第一象限到达x轴上Q点（未画出）时，速度方向与x轴正方向的夹角同样为。取，，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场磁感应强度的大小； (2)Q点的横坐标及电场强度的大小。 13．(1)；(2) 【解析】（1）设粒子在磁场中运动的半径为，匀强磁场磁感应强度的大小为，运动轨迹如图所示 ，，解得：； （2）粒子在电场中的运动轨迹如图所示 设粒子在电场中运动的时间为，到达轴时沿方向的分速度为点的横坐标为，，，，解得：，设电场强度的大小为，粒子在电场中加速度的大小为，，，解得：。 14．（25-26高三上·江苏连云港·期中）面积足够大的两平行金属板距离为d，电势差为U。极板上O点处有一粒子源，连续向板间各个方向发射相同速率的带负电粒子，粒子离开左板最远到达A点后返回。已知OA＝h，粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子间相互作用及重力。求： (1)平行金属板间的电场强度大小E； (2)粒子从O点射出时的速度大小； (3)粒子返回左板落点覆盖区域的面积S。 14．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）平行金属板间的电场强度大小； （2）从O点沿着OA方向射出的粒子能到达最远点A，则由动能定理，解得； （3）设初速度方向与极板成α角时，回到左极板时距离O点的距离，，可得，其中，可知当时，r取得最大值为，粒子返回左板落点覆盖区域的面积。 15．（2025·天津·二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)求粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小？ (2)第个圆筒的长度？ (3)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 15．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据动能定理，可得； （2）根据动能定理，又，联立可得； （3）根据，结合牛顿第二定律，根据运动学公式，，结合动能的定义联立可得。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第 41练 电学计算2：带电粒子在复合场中的运动 本卷共15小题，每题16分，共240分。 1．（24-25高三下·江苏扬州·月考）如图所示，空间直角坐标系中y轴沿竖直方向，整个空间存在沿y轴正方向的电场强度为E的匀强电场（图中未画出），在区域内存在沿y轴负方向的匀强磁场。电荷量为的小球a恰好静止在O点，电荷量为的小球b从（d未知）处沿x轴正方向以初速度抛出，恰好与小球a在O点发生弹性碰撞，碰后两球电量均为。已知小球a、b大小、质量都相同，磁感应强度，重力加速度为g，两小球之间的静电力不计。求： (1)小球a的质量m； (2)碰后瞬间小球a受到的洛伦兹力大小和方向； (3)小球a离开磁场时的位置坐标。 1．(1)；(2)qE，方向沿z轴负方向；(3)（0，，） 【解析】（1）由于金属小球a静止，由平衡条件，解得小球a的质量； （2）b小球运动至O点，水平方向，竖直方向，联立可得，则， 方向斜向上与x轴成45°角，b球与a球发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒定律有，，解得，方向斜向上与x轴成45°角，a球沿x轴分速度为，a球所受洛伦兹力为，方向沿z轴负方向； （3）由牛顿第二定律，y轴方向，y轴方向上做匀速直线运动，并且，在Oxz平面做圆周运动，，解得，在Oxz平面做圆周运动，离开磁场时在Oxz平面上运动了半个周期，z轴方向位移，由洛伦兹力提供向心力，解得，故小球a离开磁场时位置坐标。 2．（24-25高二下·海南海口·期末）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的匀速圆周运动。当油滴a运动到最低点P时，在内力作用下瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与油滴a的速度方向相同，并做半径为3R的匀速圆周运动，轨迹如图。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，求： (1)油滴a的电性和电量； (2)油滴a做匀速圆周运动的速度大小； (3)小油滴Ⅱ速度大小。 2．(1)负电，；(2)；(3) 【解析】（1）油滴做圆周运动，故重力与电场力平衡，即电场力方向与电场强度方向相反，可知油滴带负电，根据平衡条件有，解得； （2）根据洛伦兹力提供向心力有，结合上述，解得油滴做圆周运动的速度大小为； （3）设小油滴I的速度大小为，则有，结合上述解得，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴分离前瞬间的速度方向为正方向，带电油滴分离前后水平方向动量守恒，则有，解得，即小油滴Ⅱ速度大小为。 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所示，在三维坐标系中，的区域存在沿y轴负方向的匀强电场；的区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为的粒子，从点以初速度沿x轴正方向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在区域运动的轨迹方程； (3)粒子进入区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 3．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）粒子在区域仅受电场力作用，做类平抛运动，在x方向，有，在y方向，有， ，联立解得； （2）在区域，粒子在xOy平面内运动，有，，将代入并消去时间t，得； （3）粒子在的区域同时参与两种运动：①沿x轴方向做匀加速直线运动；②在yOz平面内做匀速圆周运动。粒子到达坐标原点O时，沿y轴负方向的分速度为，联立解得，在垂直x轴的yOz平面，粒子做匀速圆周运动，有，联立解得，，粒子距xOy平面距离最远时，y坐标和z坐标分别为，，从粒子经过坐标原点O开始计时，粒子距xOy平面距离最远所需时间为，其x坐标为，联立解得，因此，距xOy平面最远位置的坐标为。 4．（2025·广东·模拟预测）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 4．(1)；(2)(3) 【解析】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度，由类平抛运动的规律得，，又有比荷，解得； （2）根据题意，由动能定理可得，解得； （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得，周期，从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足，联立可得。 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）如图所示，平面内存在一个圆形匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆外某点（未画出，在左侧）固定了一正点电荷。现将一带电荷量为（）的粒子从圆上的点以某一速度射入磁场，速度方向与成），粒子恰好在磁场中做匀速圆周运动到点离开磁场，之后粒子做椭圆运动到点（未画出），粒子在点的速度方向与点的速度方向相反。已知电荷量为的点电荷产生的电场中，取无穷远处的电势为0，与该点电荷距离为处的电势，，粒子的质量为，、两点的距离为，为静电力常量，求： (1)粒子射入磁场的速度大小； (2)粒子离开后做椭圆运动的半长轴； (3)粒子从点运动到点的时间。 5．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意，作出运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得，所以粒子做匀速圆周运动的半径，根据牛顿第二定律有，解得； （2）粒子从运动到只受电场力作用做椭圆运动，粒子电势能和动能总和不变，有，由题意可知，，类比开普勒第二定律可知粒子在近点和远点，满足，解得，，粒子椭圆运动的半长轴，解得，（舍去）； （3）将粒子的运动类比为半径的圆周运动，类比开普勒第三定律可得，其中，解得：，则粒子运动的时间。 6．（25-26高三上·贵州毕节·月考）如图所示，匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向外，射线CP与水平方向成37°角，半圆轨道CD与射线CP相切于C点，直径CD与射线CP垂直，一质量为0.8kg的带电小球（视为质点）以的速度从P至C做匀速直线运动，小球从C点无动能损失的进入半圆轨道。小球到达D点时的速度为，此时小球恰好对半圆轨道无压力。小球从D点飞出时，立即撤去磁场。小球离开D点后经过一段时间恰好经过射线CP上的A点（未画出）。小球的电量始终保持不变，不计空气阻力（，，）。求： (1)小球带正电还是带负电？ (2)小球带的电量q与磁感应强度B的乘积（可不用带单位）； (3)小球在半圆轨道内克服摩擦力做的功（结果保留一位小数）； (4)C点到A点的距离（结果可以含根号）。 6．(1)正电；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）小球在PC间做匀速直线运动，在PC段，小球所受外力的合力为0，小球受到重力、电场力、洛伦兹力，若小球带负电，电场力方向水平向左，洛伦兹力方向垂直于PC向下，合力不可能为0，可知，小球带正电； （2）结合上述，小球带正电，在PC间做匀速直线运动，对小球进行分析，根据平衡条件有， 解得； （3）在D点位置，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有，结合上述解得； 设小球在CD段克服摩擦力做功为，根据动能定理有 解得 （4）小球离开D点后做类平抛运动，其加速度，小球做类平抛运动，则有，解得，C点到A点的距离，解得。 7．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）一实验装置用来控制粒子的运动，其部分结构如图所示，半径为R的圆柱形容器竖直放置，容器内充满竖直向下电场强度为E的匀强电场，容器顶部中心O有一粒子源沿水平向右方向射出质量为m、带电量为的粒子，粒子恰能打到容器侧壁距O竖直距离为R处。若在容器内再充满竖直向上的匀强磁场，粒子刚好不能打到侧壁上。不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小v； (2)磁感应强度大小B； (3)在上述电磁场都存在情况下，容器高满足什么条件，可以使粒子恰好从容器底部中心射出。 7．(1)；(2)；(3)，为正整数 【解析】（1）粒子在电场力作用下偏转，水平方向，竖直方向，由牛顿第二定律得，解得； （2）加上磁场，粒子水平方向做匀速圆周运动，半径，解得； （3）粒子在竖直方向做匀加速直线运动，要使得粒子恰好从容器底部中心射出，时间满足，竖直方向位移，解得，其中为正整数。 8．（2025·安徽蚌埠·二模）如图所示，水平虚线、、、间距均为，、间和、间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，一个质量为、电荷量为的带正电粒子在点由静止释放，粒子进磁场Ⅰ时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线相切，已知点离虚线距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线相切，则粒子释放的位置离虚线的距离为多少； (3)不撤去电场，将粒子在虚线上方距离为的点（图中未标出）以水平速度向右射出，结果粒子恰好不能从磁场Ⅱ的边界射出，则初速度多大。 8．(1)；(2)粒子应在边界上由静止释放；(3) 【解析】（1）设粒子进磁场Ⅰ时的速度大小为，根据动能定理有，解得，据题意可知，粒子在磁场I中做匀速圆周运动，其半径，据牛顿第二定律有，解得，（2）设粒子释放的位置离虚线的距离为，粒子与虚线相切时的速度大小为，据动能定理有，解得，粒子在磁场I中运动到的过程，水平方向应用动量定理有，在竖直方向有，解得，即粒子应在边界上由静止释放； （3）由题意可知，粒子到边界时速度与相切水平向右，设其速度大小设为，则有，粒子在两个磁场中运动到的过程，水平方向应用动量定理有，在竖直方向有，则有，解得。 9．（2025·湖南·一模）如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 9．(1)；(2)； 【解析】（1）在加速电场中，在偏转电场中，，，解得，粒子的偏转角，离开偏转电场时的速度大小为，解得； （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，，由几何关系可知，轨迹呈周期性，每段圆弧轨迹对应的圆心角均为90°，磁场的变化周期为，磁场的宽度为。 10．（25-26高三上·山西·月考）如图所示，平面直角坐标系中，有一条垂直于x正半轴的分界直线（与y轴之间距离不超过），在y轴和该分界线之间，x轴上方存在着平行于平面的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场强度大小，x轴下方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。带正电粒子以初速度平行于x轴从（0，）点进入第一象限，经过电磁场的偏转后垂直分界线射出。已知粒子的比荷，不计粒子重力，求： (1)粒子第一次在第一象限内运动时间及第一次经过x轴的横坐标； (2)分界线到y轴的距离。 10．(1)，；(2)或或 【解析】（1）粒子第一次在第一象限内做类平抛运动，设第一次经过x轴坐标为，运动时间为，则有，，代入数据解得，； （2）依题意有，粒子进入第四象限时，设速度为且方向与轴的夹角为，则粒子在磁场中做圆周运动时，解得，当粒子第一次运动方向平行于轴时，沿轴偏转距离为，粒子从磁场中垂直分界线射出时，分界线到轴的距离为（，，），粒子从电场中垂直分界线射出时，分界线到轴的距离为（，，），依题意有，综合可得，分界线到轴的距离为或或。 11．（2025·湖南·模拟预测）磁流体发电技术指的是利用高温加热使气体电离，再让已电离的气体在磁场中高速运动而产生电动势，以实现将内能转化为电能的目的。本题我们通过一个简化的模型更好地了解这一技术。如图所示，现有一横截面为矩形的管道，长为l，高为b，宽为a。与宽垂直的两个侧面是电阻可以忽略的导体，将它们用电阻不计的导线和阻值为R的电阻连接在一起。与高垂直的两个侧面为绝缘体，一匀强磁场垂直于该侧面，方向向上，大小为B。再让大量电阻率为的已电离气体以一定速度在管道中流动，假设同一横截面上各点气体的流速都相同。 (1)若忽略气体和管道间的摩擦，当气体以速度v匀速流动时，求此时回路中的电流和管道两端气体的压强差； (2)若气体和管道之间的摩擦力和气体的流速平方成正比，且管道两端气体的压强差始终保持为，求无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比。 11．(1)，；(2) 【解析】（1）根据题意可知，当气体以速度v匀速流动时，将电离气体等效成长为的导体棒切割磁感线，则产生的感应电动势为，回路中的电流为，等效导体棒所受安培力为，忽略气体和管道间的摩擦，由平衡条件可得，管道两端的压力差，则管道两端气体的压强差； （2）管道两端气体的压强差始终保持为，则管道两端的压力差，设摩擦力和气体的流速平方成正比的比例系数为，无磁场时，气体的流速为，则气体所受摩擦力为，由平衡条件有， 即，有磁场时，设气体的流速为，根据平衡条件有，即，则无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比为。 12．（2025·北京东城·一模）如图所示，将一金属或半导体薄片垂直磁场放置，在薄片的左右两个侧面间通入电流，前后两个侧面间产生电势差（霍尔电压），这一现象称为霍尔效应。 (1)设图中薄片为某N型半导体（自由电子导电），其宽度为、厚度为，单位体积内的自由电子个数为，电子所带电荷量为，电流大小为，磁感应强度大小为。 a.判断图中前后侧面电势的高低； b.推导霍尔电压的表达式。 (2)实际上，霍尔电压很小，不易测量。已知金属导体中单位体积的自由电子数约个，半导体材料中单位体积的导电粒子数约个，请说明为什么选用半导体材料制作霍尔元件。 12．(1)a. 前侧面电势高，后侧面电势低；b. ；(2)见解析 【解析】（1）a.根据左手定则可知电子向后侧面聚集，则前侧面电势高，后侧面电势低；b. 稳定时，电子所受电场力与洛伦兹力平衡，即，由场强与电势差关系，根据电流的微观表达式，联立可得； （2）由于半导体材料单位体积的导电粒子数小于金属导体中单位体积的自由电子数，根据可知，在相同条件下，用半导体材料制作的霍尔元件产生的霍尔电压更大，更容易测量，所以选用半导体材料制作霍尔元件。 13．（24-25高三上·天津·期末）2023年12月，中核集团230MeV超导质子回旋加速器及治疗端通过验收技术测试，这意味着中核集团布局治癌回旋加速器及治疗端技术又取得重要突破。如图所示，甲图为该回旋加速器的照片，乙图为回旋加速器工作原理示意图。它由两个铝制D形金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在盒中心A处有质子源，它产生的质子经狭缝电压加速后进入盒中。在洛伦兹力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速。为保证质子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与质子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，以最大速度被导出。已知质子电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝间距为L，不考虑质子离开A处时的速度、质子重力、质子间的相互作用及相对论效应。求： (1)所加交流电源的周期T； (2)若质子能在D形盒中加速10次以上，求质子第2次加速后的运动半径与第8次加速后的运动半径之比； (3)某同学在分析质子轨迹时，画出了如图丙所示的轨迹图，他认为相邻轨迹间距是相等的，请你通过推理说明该说法是否合理。 13．(1)；(2)；(3)见解析 【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有，又，解得，由于要使粒子在加速器中同步加速，交流电的变化周期与粒子圆周运动的周期相等，则； （2）质子第次被加速后质子的动能为，由牛顿第二定律得，解得质子第次加速后在磁场中的运动半径为，则质子第2次加速后的运动半径与第8次加速后的运动半径之比为； （3）根据上述有，，电场中加速过程有，，相邻轨迹间距为，解得，可知，相邻轨迹间距不相等，则该轨迹不合理。 14．（25-26高三上·北京西城·期末）某质谱仪的原理如图所示，I为粒子加速器，加速电压为U；II为速度选择器，磁场与电场正交；III为偏转分离器，其匀强磁场的磁感应强度为B。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，由静止经加速后恰能通过速度选择器，并进入分离器做匀速圆周运动。忽略粒子的重力。 (1)求该粒子进入速度选择器的速度大小v。 (2)求该粒子进入分离器后做圆周运动的半径r。 (3)两种同位素的原子核具有相同的电荷量、不同的质量，现让它们无初速进入该质谱仪，能否观察到两种同位素原子核都通过速度选择器进入分离器并被分离？请分析说明。 14．(1)；(2)；(3)见解析 【解析】（1）粒子经过加速器过程，根据动能定理可得，解得； （2）该粒子进入分离器后，由洛伦兹力提供向心力得，联立解得圆周运动的半径； （3）两种同位素的原子核具有相同的电荷量、不同的质量，现让它们无初速进入该质谱仪，根据（1）问可知进入速度选择器的速度大小满足，可知两种同位素的原子核进入速度选择器的速度大小不同；设速度选择器中场强为，磁感应强度为，原子核1进入速度选择器的速度满足，可得，则原子核2进入速度选择器的速度，原子核2在速度选择器中做的匀速直线运动和的匀速圆周运动，设原子核2的质量2为，当速度选择器长度为（，，） 则原子核2也可以进入分离器，所以可能观察到两种同位素原子核都通过速度选择器进入分离器并被分离。 15．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 15．(1)；(2)；(3)， 【解析】（1）粒子加速，根据动能定理有，解得，速度选择器内，粒子受力平衡，则有，解得； （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有，解得，粒子运动的周期为  ，粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角，解得，粒子运动时间与周期的关系为，解得； （3）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有，根据牛顿第二定律有，竖直方向末速度，合速度大小，速度与水平方向夹角， 解得，粒子在磁场中运动的半径为，粒子从磁场左边界射出时入射点与出射点的距离，粒子在磁场Ⅱ中运动的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第 41练 电学计算2：带电粒子在复合场中的运动 本卷共15小题，每题16分，共240分。 1．（24-25高三下·江苏扬州·月考）如图所示，空间直角坐标系中y轴沿竖直方向，整个空间存在沿y轴正方向的电场强度为E的匀强电场（图中未画出），在区域内存在沿y轴负方向的匀强磁场。电荷量为的小球a恰好静止在O点，电荷量为的小球b从（d未知）处沿x轴正方向以初速度抛出，恰好与小球a在O点发生弹性碰撞，碰后两球电量均为。已知小球a、b大小、质量都相同，磁感应强度，重力加速度为g，两小球之间的静电力不计。求： (1)小球a的质量m； (2)碰后瞬间小球a受到的洛伦兹力大小和方向； (3)小球a离开磁场时的位置坐标。 2．（24-25高二下·海南海口·期末）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的匀速圆周运动。当油滴a运动到最低点P时，在内力作用下瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与油滴a的速度方向相同，并做半径为3R的匀速圆周运动，轨迹如图。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，求： (1)油滴a的电性和电量； (2)油滴a做匀速圆周运动的速度大小； (3)小油滴Ⅱ速度大小。 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所示，在三维坐标系中，的区域存在沿y轴负方向的匀强电场；的区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为的粒子，从点以初速度沿x轴正方向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在区域运动的轨迹方程； (3)粒子进入区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 4．（2025·广东·模拟预测）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）如图所示，平面内存在一个圆形匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆外某点（未画出，在左侧）固定了一正点电荷。现将一带电荷量为（）的粒子从圆上的点以某一速度射入磁场，速度方向与成），粒子恰好在磁场中做匀速圆周运动到点离开磁场，之后粒子做椭圆运动到点（未画出），粒子在点的速度方向与点的速度方向相反。已知电荷量为的点电荷产生的电场中，取无穷远处的电势为0，与该点电荷距离为处的电势，，粒子的质量为，、两点的距离为，为静电力常量，求： (1)粒子射入磁场的速度大小； (2)粒子离开后做椭圆运动的半长轴； (3)粒子从点运动到点的时间。 6．（25-26高三上·贵州毕节·月考）如图所示，匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向外，射线CP与水平方向成37°角，半圆轨道CD与射线CP相切于C点，直径CD与射线CP垂直，一质量为0.8kg的带电小球（视为质点）以的速度从P至C做匀速直线运动，小球从C点无动能损失的进入半圆轨道。小球到达D点时的速度为，此时小球恰好对半圆轨道无压力。小球从D点飞出时，立即撤去磁场。小球离开D点后经过一段时间恰好经过射线CP上的A点（未画出）。小球的电量始终保持不变，不计空气阻力（，，）。求： (1)小球带正电还是带负电？ (2)小球带的电量q与磁感应强度B的乘积（可不用带单位）； (3)小球在半圆轨道内克服摩擦力做的功（结果保留一位小数）； (4)C点到A点的距离（结果可以含根号）。 7．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）一实验装置用来控制粒子的运动，其部分结构如图所示，半径为R的圆柱形容器竖直放置，容器内充满竖直向下电场强度为E的匀强电场，容器顶部中心O有一粒子源沿水平向右方向射出质量为m、带电量为的粒子，粒子恰能打到容器侧壁距O竖直距离为R处。若在容器内再充满竖直向上的匀强磁场，粒子刚好不能打到侧壁上。不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小v； (2)磁感应强度大小B； (3)在上述电磁场都存在情况下，容器高满足什么条件，可以使粒子恰好从容器底部中心射出。 8．（2025·安徽蚌埠·二模）如图所示，水平虚线、、、间距均为，、间和、间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两个区域的磁感应强度大小相等，空间存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，一个质量为、电荷量为的带正电粒子在点由静止释放，粒子进磁场Ⅰ时撤去电场，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹恰好与虚线相切，已知点离虚线距离也为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)不撤去电场，改变带电粒子在虚线上方由静止释放的位置，粒子进磁场Ⅰ后轨迹恰好与虚线相切，则粒子释放的位置离虚线的距离为多少； (3)不撤去电场，将粒子在虚线上方距离为的点（图中未标出）以水平速度向右射出，结果粒子恰好不能从磁场Ⅱ的边界射出，则初速度多大。 9．（2025·湖南·一模）如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 10．（25-26高三上·山西·月考）如图所示，平面直角坐标系中，有一条垂直于x正半轴的分界直线（与y轴之间距离不超过），在y轴和该分界线之间，x轴上方存在着平行于平面的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场强度大小，x轴下方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。带正电粒子以初速度平行于x轴从（0，）点进入第一象限，经过电磁场的偏转后垂直分界线射出。已知粒子的比荷，不计粒子重力，求： (1)粒子第一次在第一象限内运动时间及第一次经过x轴的横坐标； (2)分界线到y轴的距离。 11．（2025·湖南·模拟预测）磁流体发电技术指的是利用高温加热使气体电离，再让已电离的气体在磁场中高速运动而产生电动势，以实现将内能转化为电能的目的。本题我们通过一个简化的模型更好地了解这一技术。如图所示，现有一横截面为矩形的管道，长为l，高为b，宽为a。与宽垂直的两个侧面是电阻可以忽略的导体，将它们用电阻不计的导线和阻值为R的电阻连接在一起。与高垂直的两个侧面为绝缘体，一匀强磁场垂直于该侧面，方向向上，大小为B。再让大量电阻率为的已电离气体以一定速度在管道中流动，假设同一横截面上各点气体的流速都相同。 (1)若忽略气体和管道间的摩擦，当气体以速度v匀速流动时，求此时回路中的电流和管道两端气体的压强差； (2)若气体和管道之间的摩擦力和气体的流速平方成正比，且管道两端气体的压强差始终保持为，求无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比。 12．（2025·北京东城·一模）如图所示，将一金属或半导体薄片垂直磁场放置，在薄片的左右两个侧面间通入电流，前后两个侧面间产生电势差（霍尔电压），这一现象称为霍尔效应。 (1)设图中薄片为某N型半导体（自由电子导电），其宽度为、厚度为，单位体积内的自由电子个数为，电子所带电荷量为，电流大小为，磁感应强度大小为。 a.判断图中前后侧面电势的高低； b.推导霍尔电压的表达式。 (2)实际上，霍尔电压很小，不易测量。已知金属导体中单位体积的自由电子数约个，半导体材料中单位体积的导电粒子数约个，请说明为什么选用半导体材料制作霍尔元件。 13．（24-25高三上·天津·期末）2023年12月，中核集团230MeV超导质子回旋加速器及治疗端通过验收技术测试，这意味着中核集团布局治癌回旋加速器及治疗端技术又取得重要突破。如图所示，甲图为该回旋加速器的照片，乙图为回旋加速器工作原理示意图。它由两个铝制D形金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在盒中心A处有质子源，它产生的质子经狭缝电压加速后进入盒中。在洛伦兹力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速。为保证质子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与质子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，以最大速度被导出。已知质子电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝间距为L，不考虑质子离开A处时的速度、质子重力、质子间的相互作用及相对论效应。求： (1)所加交流电源的周期T； (2)若质子能在D形盒中加速10次以上，求质子第2次加速后的运动半径与第8次加速后的运动半径之比； (3)某同学在分析质子轨迹时，画出了如图丙所示的轨迹图，他认为相邻轨迹间距是相等的，请你通过推理说明该说法是否合理。 14．（25-26高三上·北京西城·期末）某质谱仪的原理如图所示，I为粒子加速器，加速电压为U；II为速度选择器，磁场与电场正交；III为偏转分离器，其匀强磁场的磁感应强度为B。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，由静止经加速后恰能通过速度选择器，并进入分离器做匀速圆周运动。忽略粒子的重力。 (1)求该粒子进入速度选择器的速度大小v。 (2)求该粒子进入分离器后做圆周运动的半径r。 (3)两种同位素的原子核具有相同的电荷量、不同的质量，现让它们无初速进入该质谱仪，能否观察到两种同位素原子核都通过速度选择器进入分离器并被分离？请分析说明。 15．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 《第 45练 电学计算3：带电粒子在复合场中的运动》参考答案 1．(1)；(2)qE，方向沿z轴负方向；(3)（0，，） 【解析】（1）由于金属小球a静止，由平衡条件，解得小球a的质量； （2）b小球运动至O点，水平方向，竖直方向，联立可得，则， 方向斜向上与x轴成45°角，b球与a球发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒定律有，，解得，方向斜向上与x轴成45°角，a球沿x轴分速度为，a球所受洛伦兹力为，方向沿z轴负方向； （3）由牛顿第二定律，y轴方向，y轴方向上做匀速直线运动，并且，在Oxz平面做圆周运动，，解得，在Oxz平面做圆周运动，离开磁场时在Oxz平面上运动了半个周期，z轴方向位移，由洛伦兹力提供向心力，解得，故小球a离开磁场时位置坐标。 2．(1)负电，；(2)；(3) 【解析】（1）油滴做圆周运动，故重力与电场力平衡，即电场力方向与电场强度方向相反，可知油滴带负电，根据平衡条件有，解得； （2）根据洛伦兹力提供向心力有，结合上述，解得油滴做圆周运动的速度大小为； （3）设小油滴I的速度大小为，则有，结合上述解得，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴分离前瞬间的速度方向为正方向，带电油滴分离前后水平方向动量守恒，则有，解得，即小油滴Ⅱ速度大小为。 3．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）粒子在区域仅受电场力作用，做类平抛运动，在x方向，有，在y方向，有， ，联立解得； （2）在区域，粒子在xOy平面内运动，有，，将代入并消去时间t，得； （3）粒子在的区域同时参与两种运动：①沿x轴方向做匀加速直线运动；②在yOz平面内做匀速圆周运动。粒子到达坐标原点O时，沿y轴负方向的分速度为，联立解得，在垂直x轴的yOz平面，粒子做匀速圆周运动，有，联立解得，，粒子距xOy平面距离最远时，y坐标和z坐标分别为，，从粒子经过坐标原点O开始计时，粒子距xOy平面距离最远所需时间为，其x坐标为，联立解得，因此，距xOy平面最远位置的坐标为。 4．(1)；(2)(3) 【解析】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度，由类平抛运动的规律得，，又有比荷，解得； （2）根据题意，由动能定理可得，解得； （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得，周期，从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足，联立可得。 5．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意，作出运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得，所以粒子做匀速圆周运动的半径，根据牛顿第二定律有，解得； （2）粒子从运动到只受电场力作用做椭圆运动，粒子电势能和动能总和不变，有，由题意可知，，类比开普勒第二定律可知粒子在近点和远点，满足，解得，，粒子椭圆运动的半长轴，解得，（舍去）； （3）将粒子的运动类比为半径的圆周运动，类比开普勒第三定律可得，其中，解得：，则粒子运动的时间。 6．(1)正电；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）小球在PC间做匀速直线运动，在PC段，小球所受外力的合力为0，小球受到重力、电场力、洛伦兹力，若小球带负电，电场力方向水平向左，洛伦兹力方向垂直于PC向下，合力不可能为0，可知，小球带正电； （2）结合上述，小球带正电，在PC间做匀速直线运动，对小球进行分析，根据平衡条件有， 解得； （3）在D点位置，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有，结合上述解得； 设小球在CD段克服摩擦力做功为，根据动能定理有 解得 （4）小球离开D点后做类平抛运动，其加速度，小球做类平抛运动，则有，解得，C点到A点的距离，解得。 7．(1)；(2)；(3)，为正整数 【解析】（1）粒子在电场力作用下偏转，水平方向，竖直方向，由牛顿第二定律得，解得； （2）加上磁场，粒子水平方向做匀速圆周运动，半径，解得； （3）粒子在竖直方向做匀加速直线运动，要使得粒子恰好从容器底部中心射出，时间满足，竖直方向位移，解得，其中为正整数。 8．(1)；(2)粒子应在边界上由静止释放；(3) 【解析】（1）设粒子进磁场Ⅰ时的速度大小为，根据动能定理有，解得，据题意可知，粒子在磁场I中做匀速圆周运动，其半径，据牛顿第二定律有，解得，（2）设粒子释放的位置离虚线的距离为，粒子与虚线相切时的速度大小为，据动能定理有，解得，粒子在磁场I中运动到的过程，水平方向应用动量定理有，在竖直方向有，解得，即粒子应在边界上由静止释放； （3）由题意可知，粒子到边界时速度与相切水平向右，设其速度大小设为，则有，粒子在两个磁场中运动到的过程，水平方向应用动量定理有，在竖直方向有，则有，解得。 9．(1)；(2)； 【解析】（1）在加速电场中，在偏转电场中，，，解得，粒子的偏转角，离开偏转电场时的速度大小为，解得； （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，，由几何关系可知，轨迹呈周期性，每段圆弧轨迹对应的圆心角均为90°，磁场的变化周期为，磁场的宽度为。 10．(1)，；(2)或或 【解析】（1）粒子第一次在第一象限内做类平抛运动，设第一次经过x轴坐标为，运动时间为，则有，，代入数据解得，； （2）依题意有，粒子进入第四象限时，设速度为且方向与轴的夹角为，则粒子在磁场中做圆周运动时，解得，当粒子第一次运动方向平行于轴时，沿轴偏转距离为，粒子从磁场中垂直分界线射出时，分界线到轴的距离为（，，），粒子从电场中垂直分界线射出时，分界线到轴的距离为（，，），依题意有，综合可得，分界线到轴的距离为或或。 11．(1)，；(2) 【解析】（1）根据题意可知，当气体以速度v匀速流动时，将电离气体等效成长为的导体棒切割磁感线，则产生的感应电动势为，回路中的电流为，等效导体棒所受安培力为，忽略气体和管道间的摩擦，由平衡条件可得，管道两端的压力差，则管道两端气体的压强差； （2）管道两端气体的压强差始终保持为，则管道两端的压力差，设摩擦力和气体的流速平方成正比的比例系数为，无磁场时，气体的流速为，则气体所受摩擦力为，由平衡条件有， 即，有磁场时，设气体的流速为，根据平衡条件有，即，则无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比为。 12．(1)a. 前侧面电势高，后侧面电势低；b. ；(2)见解析 【解析】（1）a.根据左手定则可知电子向后侧面聚集，则前侧面电势高，后侧面电势低；b. 稳定时，电子所受电场力与洛伦兹力平衡，即，由场强与电势差关系，根据电流的微观表达式，联立可得； （2）由于半导体材料单位体积的导电粒子数小于金属导体中单位体积的自由电子数，根据可知，在相同条件下，用半导体材料制作的霍尔元件产生的霍尔电压更大，更容易测量，所以选用半导体材料制作霍尔元件。 13．(1)；(2)；(3)见解析 【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有，又，解得，由于要使粒子在加速器中同步加速，交流电的变化周期与粒子圆周运动的周期相等，则； （2）质子第次被加速后质子的动能为，由牛顿第二定律得，解得质子第次加速后在磁场中的运动半径为，则质子第2次加速后的运动半径与第8次加速后的运动半径之比为； （3）根据上述有，，电场中加速过程有，，相邻轨迹间距为，解得，可知，相邻轨迹间距不相等，则该轨迹不合理。 14．(1)；(2)；(3)见解析 【解析】（1）粒子经过加速器过程，根据动能定理可得，解得； （2）该粒子进入分离器后，由洛伦兹力提供向心力得，联立解得圆周运动的半径； （3）两种同位素的原子核具有相同的电荷量、不同的质量，现让它们无初速进入该质谱仪，根据（1）问可知进入速度选择器的速度大小满足，可知两种同位素的原子核进入速度选择器的速度大小不同；设速度选择器中场强为，磁感应强度为，原子核1进入速度选择器的速度满足，可得，则原子核2进入速度选择器的速度，原子核2在速度选择器中做的匀速直线运动和的匀速圆周运动，设原子核2的质量2为，当速度选择器长度为（，，） 则原子核2也可以进入分离器，所以可能观察到两种同位素原子核都通过速度选择器进入分离器并被分离。 15．(1)；(2)；(3)， 【解析】（1）粒子加速，根据动能定理有，解得，速度选择器内，粒子受力平衡，则有，解得； （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有，解得，粒子运动的周期为  ，粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角，解得，粒子运动时间与周期的关系为，解得； （3）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有，根据牛顿第二定律有，竖直方向末速度，合速度大小，速度与水平方向夹角， 解得，粒子在磁场中运动的半径为，粒子从磁场左边界射出时入射点与出射点的距离，粒子在磁场Ⅱ中运动的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第 42练 电学计算3：电磁感应综合 本卷共10小题，每题16分，共160分。 1．（2025·浙江·一模）如图所示，水平面内两根足够长的光滑金属导轨相距，左侧分别接入内阻不计、电动势的电源和电容的电容器（初始不带电）。质量、长度略长于、电阻的导体棒静置于导轨上，且导体棒始终与导轨垂直。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。不计导轨电阻以及回路自感，开关1、2断开。 (1)仅闭合1，求稳定后电容器所带电荷量； (2)先闭合1，稳定后断开1，再闭合2，求导体棒最终的速度； (3)若同时闭合1、2，求导体棒从开始运动到速度恒定的过程中电源输出的电能； (4)仅闭合2，给导体棒一个向右的初速度的同时，对导体棒施加向右的外力，恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，求加速度的大小。 2．（2026·湖南·一模）如图所示，间距均为的两段足够长平行光滑金属导轨、均固定在水平面上，光滑绝缘件将两段导轨相连，导轨左右两端分别与电容为的电容器和阻值为的电阻相连接，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，开始时电容器上极板带正电，电荷量大小为。现将质量为、长为、电阻为的导体棒在内某位置垂直于导轨由静止释放，导体棒在到达绝缘件之前已经做匀速直线运动，导轨电阻忽略不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 (1)求导体棒在释放瞬间加速度的大小； (2)求导体棒穿过光滑绝缘件时的速度大小； (3)求导体棒最终静止时距连接处的距离。 3．（2026·海南·一模）如图所示，两个金属轮、，可绕各自中心固定的光滑金属细轴和转动。金属轮由3根金属辐条和金属环组成，每根辐条长均为、电阻均为。金属轮由1根金属辐条和金属环组成，辐条长为、电阻为。半径为的绝缘圆盘与同轴且固定在一起。用轻绳一端固定在边缘上，在上绕足够匝数后（忽略的半径变化），悬挂一质量为的重物。当下落时，通过细绳带动和绕轴转动。转动过程中，、保持接触且无相对滑动，辐条与各自细轴之间导电良好。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直金属轮平面向里。轮的轴及轮的轴分别引出导线与两平行足够长的光滑水平金属导轨连接，导轨、处断开，金属导轨的间距为。两导轨之间的左侧串联了开关与电阻，电容器与单刀双掷开关串联，可以通过或与导轨相连，虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为，导轨上有质量为，长度也为、电阻为的金属棒，除题中所给电阻外不计其他电阻。 (1)闭合、断开，重物下落速度为时，求与两点之间电势差； (2)闭合、断开，重物下落过程中，通过电阻的电量； (3)闭合、先打向，充电稳定后再打向，待金属棒运动稳定时，求金属棒的速度。 4．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，足够长的粗糙平行金属导轨水平固定，导轨间距为，整个导轨处于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为、电阻为、长度也为的细直金属棒置于导轨上，导轨左侧与一电动势为、内阻为的电源相连，导轨电阻不计。接通电源后，金属棒由静止开始运动，整个运动过程中，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，且金属棒所受阻力大小恒为。 (1)求整个运动过程中，金属棒的最大加速度和最大速度。 (2)从刚开始运动开始计时，求经过时间，当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小。 5．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，两个足够长的平行光滑细金属导轨固定在倾角的光滑绝缘斜面上，导轨间距，且电阻不计，导轨间有宽度为、磁感应强度的大小为、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，一长度为的绝缘轻杆将导体棒和正方形细金属线框连接，线框的边长为d，线框的总电阻为，导体棒和线框总质量为，导体棒与导轨始终接触良好，并在导体棒中通以恒定电流（由外接恒流电源产生，图中未画出），导体棒处于磁场内且恰好位于下边界处，将装置由静止释放，线框穿过磁场后再次返回磁场时恰好匀速穿过磁场，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直，不计线框及导体棒中电流所产生磁场的影响，重力加速度。求： (1)线框返回磁场时匀速运动的速度； (2)全过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)上滑过程中，线框在磁场中运动的时间t。 6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图所示，水平面内固定足够长的间距的光滑平行金属直导轨，其左端处与间距的倾角的光滑平行金属导轨平滑连接，右端连接定值电阻。水平导轨所在空间存在竖直向上，磁感应强度大小的匀强磁场。质量、电阻的金属棒静置在水平导轨处，现将质量的绝缘棒从倾斜导轨处由静止释放，在处与金属棒发生水平弹性碰撞。已知、间的距离；每次碰撞前棒均已静止，所有碰撞时间极短且均为弹性碰撞，棒始终与导轨垂直且接触良好；不计金属导轨电阻和空气阻力，忽略电流对原磁场的影响，重力加速度。求： (1)两棒第1次碰撞后瞬间，棒的速度大小； (2)棒第2次运动过程中，通过电阻的电荷量； (3)两棒运动过程中，电阻上产生的总焦耳热。 7．（25-26高三上·北京通州·期末）“通量”是物理学中的重要概念，在研究磁场时我们引入了“磁通量”。与之类似，在静电场中，“电通量”也是一种常见“通量”。在定义“电通量”时只需要把“磁通量”中的磁感应强度B替换为电场强度E即可。已知静电力常量为k，半径为的球体表面积公式为。 (1)a.根据电场强度的定义和库仑定律，推导点电荷在距其为x处的电场强度E的大小表达式； b.求通过真空中以点电荷为球心，以R为半径的球面的电通量。 (2)磁单极子是被预言可独立存在的单一磁极粒子（仅带N极或S极），其磁感线分布类似于点电荷的电场线。如图1所示，包围某N极磁单极子的闭合球面的磁通量为。若该磁单极子以恒定速度v沿轴线穿过一个半径为r的金属圆环（如图2所示），圆环的环横截面半径远小于圆环半径。求当磁单极子运动至圆环中心O时，圆环中的感应电动势的大小。 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，光滑水平绝缘面上有宽度为的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小，虚线为磁场边界。电阻、边长也为的正方形细导线框置于磁场区域左侧的水平面上，边与磁场边界平行，线框以的速度开始运动，线框边刚进入磁场区域时的速度。运动过程中线框形状不变，边始终与磁场边界平行。求： (1)线框边刚进入磁场区域时，线框受到的安培力的大小； (2)线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量； (3)线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热。 9．（2026·贵州贵阳·一模）磁力制动系统是目前大型过山车进站减速的首选制动方式，其原理简化俯视图如图所示，间距为d的平行金属导轨固定在水平地面上，其右端连接一可变电阻，过山车可简化为一根质量为m、垂直于导轨且与导轨接触良好的导体棒，垂直导轨的两虚线与导轨围成的矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当可变电阻阻值为R时，过山车以速度v进入磁场，离开磁场时速度为。除可变电阻外其余电阻不计，忽略摩擦及空气阻力。 (1)求过山车刚进入磁场时所受安培力的大小和方向； (2)求过山车穿过磁场区域的过程中可变电阻产生的焦耳热； (3)当可变电阻的阻值为多少时，可使过山车以速度v进入磁场，以的速度离开磁场？ 10．（25-26高三下·云南·开学考试）如图所示，光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距，左端连接的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，质量、接入电路的电阻的金属棒与质量也为的物块通过跨过光滑定滑轮的细绳相连，细绳始终处于绷紧状态，金属棒与导轨始终接触良好，金属导轨、卡环的电阻均不计，现将金属棒由PQ位置静止释放，金属棒进入磁场恰能做匀速直线运动，PQ到MN的距离，金属棒到达卡环后被卡环弹性弹回，弹回后经时间t（s）恰好未出磁场，取重力加速度大小，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小B； (2)MN到卡环的距离s（用t表示）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第 42练 电学计算3：电磁感应综合 本卷共10小题，每题16分，共160分。 1．（2025·浙江·一模）如图所示，水平面内两根足够长的光滑金属导轨相距，左侧分别接入内阻不计、电动势的电源和电容的电容器（初始不带电）。质量、长度略长于、电阻的导体棒静置于导轨上，且导体棒始终与导轨垂直。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。不计导轨电阻以及回路自感，开关1、2断开。 (1)仅闭合1，求稳定后电容器所带电荷量； (2)先闭合1，稳定后断开1，再闭合2，求导体棒最终的速度； (3)若同时闭合1、2，求导体棒从开始运动到速度恒定的过程中电源输出的电能； (4)仅闭合2，给导体棒一个向右的初速度的同时，对导体棒施加向右的外力，恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，求加速度的大小。 1．(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）根据电容定义式可知，电容器所带电荷量； （2）设最终电容器两端电压为，则经过导体棒的电荷量为，对棒列动量定理，且终态满足，故； （3）假设全过程经过电容器和导体棒的电荷量分别为和，则，，，，得； （4）电流，初始时刻电流，因为恰好使回路中电流恒定且导体棒做匀加速运动，所以联立得。 2．（2026·湖南·一模）如图所示，间距均为的两段足够长平行光滑金属导轨、均固定在水平面上，光滑绝缘件将两段导轨相连，导轨左右两端分别与电容为的电容器和阻值为的电阻相连接，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，开始时电容器上极板带正电，电荷量大小为。现将质量为、长为、电阻为的导体棒在内某位置垂直于导轨由静止释放，导体棒在到达绝缘件之前已经做匀速直线运动，导轨电阻忽略不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 (1)求导体棒在释放瞬间加速度的大小； (2)求导体棒穿过光滑绝缘件时的速度大小； (3)求导体棒最终静止时距连接处的距离。 2．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）释放瞬间导体棒两端电压即为电容器两端电压，知，对导体棒，根据牛顿第二定律，有，而，联立可得； （2）导体棒匀速时说明导体棒切割磁感线产生的电动势和电容器两极板间电压相等，设导体棒匀速时的速度为v，可知，对导体棒，根据动量定理，有，且，联立可得； （3）对导体棒穿过绝缘件后减速运动过程中，根据动量定理，有，又有， 位移为，联立可得。 3．（2026·海南·一模）如图所示，两个金属轮、，可绕各自中心固定的光滑金属细轴和转动。金属轮由3根金属辐条和金属环组成，每根辐条长均为、电阻均为。金属轮由1根金属辐条和金属环组成，辐条长为、电阻为。半径为的绝缘圆盘与同轴且固定在一起。用轻绳一端固定在边缘上，在上绕足够匝数后（忽略的半径变化），悬挂一质量为的重物。当下落时，通过细绳带动和绕轴转动。转动过程中，、保持接触且无相对滑动，辐条与各自细轴之间导电良好。整个装置处在磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直金属轮平面向里。轮的轴及轮的轴分别引出导线与两平行足够长的光滑水平金属导轨连接，导轨、处断开，金属导轨的间距为。两导轨之间的左侧串联了开关与电阻，电容器与单刀双掷开关串联，可以通过或与导轨相连，虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为，导轨上有质量为，长度也为、电阻为的金属棒，除题中所给电阻外不计其他电阻。 (1)闭合、断开，重物下落速度为时，求与两点之间电势差； (2)闭合、断开，重物下落过程中，通过电阻的电量； (3)闭合、先打向，充电稳定后再打向，待金属棒运动稳定时，求金属棒的速度。 3．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由图可知绝缘轮A3与A1轮具有相同的角速度，重物P与绝缘轮A3具有相同的线速度，有，电路的总电阻为，A2金属轮与A1金属轮具有相同的线速度，则A2金属轮的线速度为，则A2金属轮辐条切割磁感应线产生的电动势为，根据右手定则，可知两个金属轮上每根辐条产生的电流相互增强，故两个金属轮产生的总电动势为，根据闭合电路欧姆定律可得； （2）重物下落L时，金属轮A1及A2轮边缘某点转过的弧长均为4L，通过R的电量； （3）充电稳定：重力的功率与产生的热功率相等，设重物的速度为v，则，解得，导线切割磁感线产生的电动势为，稳定时电容器两端的电压，打向F，待金属棒GH运动稳定时，金属棒GH的电动势与电容器电压相等，金属棒GH的速度稳定，则有，又有，根据动量定理，有，其中，解得。 4．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，足够长的粗糙平行金属导轨水平固定，导轨间距为，整个导轨处于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中。一质量为、电阻为、长度也为的细直金属棒置于导轨上，导轨左侧与一电动势为、内阻为的电源相连，导轨电阻不计。接通电源后，金属棒由静止开始运动，整个运动过程中，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，且金属棒所受阻力大小恒为。 (1)求整个运动过程中，金属棒的最大加速度和最大速度。 (2)从刚开始运动开始计时，求经过时间，当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小。 4．(1)，方向水平向右；，方向水平向右；(2) 【解析】（1）电源接通瞬间，金属棒MN的加速度最大，设为am，此时电路中的电流，由牛顿第二定律有，联立解得，方向水平向右。当金属棒MN的速度大小为v时，电路中的电流，由牛顿第二定律有，当时，金属棒的速度最大，设为，则，联立解得，方向水平向右； （2）设经过时间t，金属棒的速度大小为v，由动量定理有，又，， 联立解得当金属棒的位移为时，金属棒的速度大小。 5．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，两个足够长的平行光滑细金属导轨固定在倾角的光滑绝缘斜面上，导轨间距，且电阻不计，导轨间有宽度为、磁感应强度的大小为、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，一长度为的绝缘轻杆将导体棒和正方形细金属线框连接，线框的边长为d，线框的总电阻为，导体棒和线框总质量为，导体棒与导轨始终接触良好，并在导体棒中通以恒定电流（由外接恒流电源产生，图中未画出），导体棒处于磁场内且恰好位于下边界处，将装置由静止释放，线框穿过磁场后再次返回磁场时恰好匀速穿过磁场，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直，不计线框及导体棒中电流所产生磁场的影响，重力加速度。求： (1)线框返回磁场时匀速运动的速度； (2)全过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)上滑过程中，线框在磁场中运动的时间t。 5．(1)1m/s；(2)0.75J；(3)0.2s 【解析】（1）设线框返回磁场时的速度为，由题意可知，，解得； （2）由动能定理可知，解得，由全程能量守恒得，解得； （3）设线框向上穿过磁场的时间为，由动量定理得，，解得。 6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图所示，水平面内固定足够长的间距的光滑平行金属直导轨，其左端处与间距的倾角的光滑平行金属导轨平滑连接，右端连接定值电阻。水平导轨所在空间存在竖直向上，磁感应强度大小的匀强磁场。质量、电阻的金属棒静置在水平导轨处，现将质量的绝缘棒从倾斜导轨处由静止释放，在处与金属棒发生水平弹性碰撞。已知、间的距离；每次碰撞前棒均已静止，所有碰撞时间极短且均为弹性碰撞，棒始终与导轨垂直且接触良好；不计金属导轨电阻和空气阻力，忽略电流对原磁场的影响，重力加速度。求： (1)两棒第1次碰撞后瞬间，棒的速度大小； (2)棒第2次运动过程中，通过电阻的电荷量； (3)两棒运动过程中，电阻上产生的总焦耳热。 6．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）绝缘棒由静止释放运动到处，由机械能守恒定律得，两棒在处发生水平弹性碰撞，则，，联立解得； （2）两棒第一次碰撞后，棒的速度，方向水平向左，根据机械能守恒定律得第二次碰撞前棒的速度，方向水平向右，同理可得，两棒发生第二次弹性碰撞后瞬间棒的速度，棒第2次运动过程中，由动量定理得，通过电阻的电荷量，联立解得； （3）两棒运动过程中，由能量守恒定律可得，又，，联立解得。 7．（25-26高三上·北京通州·期末）“通量”是物理学中的重要概念，在研究磁场时我们引入了“磁通量”。与之类似，在静电场中，“电通量”也是一种常见“通量”。在定义“电通量”时只需要把“磁通量”中的磁感应强度B替换为电场强度E即可。已知静电力常量为k，半径为的球体表面积公式为。 (1)a.根据电场强度的定义和库仑定律，推导点电荷在距其为x处的电场强度E的大小表达式； b.求通过真空中以点电荷为球心，以R为半径的球面的电通量。 (2)磁单极子是被预言可独立存在的单一磁极粒子（仅带N极或S极），其磁感线分布类似于点电荷的电场线。如图1所示，包围某N极磁单极子的闭合球面的磁通量为。若该磁单极子以恒定速度v沿轴线穿过一个半径为r的金属圆环（如图2所示），圆环的环横截面半径远小于圆环半径。求当磁单极子运动至圆环中心O时，圆环中的感应电动势的大小。 7．(1)a.见解析；b. ；(2) 【解析】（1）a. 电场强度的定义为，库仑定律为，联立解得； b. 由于球面上各处电场强度方向都与球面垂直，故通过球面的电通量为； （2）设距磁单极子距离为r处的磁感应强度为B，则有，磁单极子到达圆环中心时，相当于圆环切割磁感线，产生感应电动势为，代入数据解得。 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，光滑水平绝缘面上有宽度为的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小，虚线为磁场边界。电阻、边长也为的正方形细导线框置于磁场区域左侧的水平面上，边与磁场边界平行，线框以的速度开始运动，线框边刚进入磁场区域时的速度。运动过程中线框形状不变，边始终与磁场边界平行。求： (1)线框边刚进入磁场区域时，线框受到的安培力的大小； (2)线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量； (3)线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热。 8．(1)7N；(2)1C；(3)12J 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律可得E=BLv0，由闭合电路欧姆定律可得，结合安培力公式F=BIL， 线框ab刚开始进入磁场区域Ⅰ的瞬间，ab边所受安培力的大小为； （2）线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量； （3）由动量定理，其中，解得m=1kg，线圈传出磁场过程由动量定理，其中，可得，线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热。 9．（2026·贵州贵阳·一模）磁力制动系统是目前大型过山车进站减速的首选制动方式，其原理简化俯视图如图所示，间距为d的平行金属导轨固定在水平地面上，其右端连接一可变电阻，过山车可简化为一根质量为m、垂直于导轨且与导轨接触良好的导体棒，垂直导轨的两虚线与导轨围成的矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当可变电阻阻值为R时，过山车以速度v进入磁场，离开磁场时速度为。除可变电阻外其余电阻不计，忽略摩擦及空气阻力。 (1)求过山车刚进入磁场时所受安培力的大小和方向； (2)求过山车穿过磁场区域的过程中可变电阻产生的焦耳热； (3)当可变电阻的阻值为多少时，可使过山车以速度v进入磁场，以的速度离开磁场？ 9．(1)，方向水平向左；(2)；(3) 【解析】（1）过山车进入磁场时回路电流为，右手定则可知电流方向向上。此时过山车所受安培力大小为，左手定则可知安培力方向水平向左； （2）过山车从进入磁场到离开磁场的过程满足能量守恒定律，设可变电阻产生的焦耳热为Q，则； （3）当过山车以速度v进入磁场，以离开磁场时，设磁场区域长度为x，规定向右为正方向，根据动量定理有，当过山车以速度v进入磁场，以离开磁场时，设可变电阻为，同理，根据动量定理有，联立解得。 10．（25-26高三下·云南·开学考试）如图所示，光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距，左端连接的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，质量、接入电路的电阻的金属棒与质量也为的物块通过跨过光滑定滑轮的细绳相连，细绳始终处于绷紧状态，金属棒与导轨始终接触良好，金属导轨、卡环的电阻均不计，现将金属棒由PQ位置静止释放，金属棒进入磁场恰能做匀速直线运动，PQ到MN的距离，金属棒到达卡环后被卡环弹性弹回，弹回后经时间t（s）恰好未出磁场，取重力加速度大小，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小B； (2)MN到卡环的距离s（用t表示）。 10．(1)；(2) 【解析】（1）金属棒从PQ到MN，根据动能定理有，金属棒进入磁场后恰好做匀速直线运动，有，根据法拉第电磁感应定律有，电流为，解得； （2）金属棒到达卡环后被卡环弹性弹回，弹回后经时间t（s）恰好未出磁场，根据动量定理有，其中，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第 39练 电学计算1：带电粒子在电场中的运动 本卷共15小题，每题16分，共240分。 1．（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上有两个静止的小球A和B，B在桌边缘，A和B均可视为质点，质量均为，A球带正电，电荷量，B球是绝缘体，不带电，桌面距地面的高度。开始时A、B相距，在方向水平向右、大小的匀强电场的电场力作用下，A开始向右运动，并与B球发生正碰，碰撞中，A、B的总动能无损失，A和B之间无电荷转移。求： (1)A经过多长时间与B碰撞？ (2)求碰撞完成瞬间A、B的速度？ (3)A、B落地点之间的距离是多大？ 2．（25-26高二上·广东东莞·月考）芯片制造企业的离子注入工艺研发中，涉及电子在电场中的加速与偏转模拟实验。一个初速度为零的电子在U1电压加速后，垂直于平行板间的匀强电场从两极板中心处射入，如图所示，两板间距d，板长L，两板间的电压U2。已知电子的带电量e，质量为m，只考虑两板间的电场，不计重力，求： (1)电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离； (3)已知两板间距d=1.0cm，板长L=2.0cm，偏移的距离y=0.4cm，若电子射出偏转电场后经过下极板所在平面上的P点，如图，求P点到下极板右端的距离。 3．（25-26高三上·广东汕头·期末）炮瞄雷达的示波管用于显示其雷达信号，如图1为封装于真空玻璃壳中示波管的核心部分XXʹ两极间加锯齿形扫描电压，YYʹ两极接雷达电压信号，电子从电子枪以初速度为零逸出，经电压U0的电场加速后，进入偏转电极XXʹ和YYʹ偏转，最后打在荧光屏上形成一个亮斑，当两偏转电极都不加电压时，电子射到荧光屏中央O点。已知电子的电量为e，质量为m，电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，偏转电极XXʹ和YYʹ沿轴线方向的长度和极板间的间距均为L，YYʹ右边缘到荧光屏的距离为D。某次测量中在示波管荧光屏显示了一个“V”形信号如图2，已知“V”形信号的两个顶点在荧光屏上关于y轴对称，左边顶点在荧光屏上的坐标为（-X0，Y0），单个电子穿过极板时间极短，视为电压不变。求： (1)电子离开加速电场时的速度多大？ (2)示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压Uy的变化范围。 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）如图，空间内存在方向水平向左，范围足够大的匀强电场。用一长为L的不可伸长的绝缘轻绳将一质量为m的带电小球悬挂在O点，平衡时小球停止于A点，此时轻绳与竖直方向夹角，B在O点正下方。现把小球拉到O点正右方的C处，此时轻绳刚好处于水平状态，将小球无初速度释放，不计空气阻力，带电小球可视为质点，重力加速度为g，，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动过程中轻绳受到的最大拉力的大小； (3)小球运动到B点时剪断轻绳，在以后的运动过程中，小球运动到P点（图中未画出）时速度会有一个最小值，则小球从B点运动到P点的时间是多少？ 5．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电荷量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知B处电荷的电荷量为，图乙是A、B连线之间的电势φ与位置x之间的关系图像，图中处对应图线的最低点，处的纵坐标为，处的纵坐标，若在处的C点由静止释放一个质量为m、电荷量为的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动（假设此带电物块不影响原电场分布），求： (1)固定在A处的电荷的电荷量； (2)小物块与水平面间的动摩擦因数μ为多大，才能使小物块恰好到达处？ (3)若小物块与水平面间的动摩擦因数，小物块运动到何处时速度最大？ 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为。质量为m的带正电小球，在边界O点正上方以大小为v0的初速度水平向右抛出，进入电场时速度方向与边界M成30°角，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)小球释放位置距离边界M的高度h； (2)小球在电场中运动轨迹最右侧位置与进入电场的初位置之间的水平距离x； (3)小球进入电场后，其动能的最小值。 7．（2025·四川凉山·一模）如图所示，粗糙水平绝缘轨道AB与半径R=0.4 m的竖直半圆绝缘光滑轨道BC平滑连接，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一电量，质量m=0.2kg的带电体（视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，经过水平轨道加速，进入圆轨道B点时速度大小。带电体与水平轨道间动摩擦因素，取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)P点到B点的距离； (2)带电体运动到与圆心O等高点D处时对圆形轨道的压力大小； (3)带电体离开圆弧轨道的速度大小。 8．（2026·贵州毕节·一模）如图甲，质量、带电量的小物块A被锁定在光滑绝缘水平地面上的坐标原点O处，处于水平向右、范围足够大的匀强电场中，电场强度大小。从某时刻开始，对A解除锁定，同时对A施加一个水平向左的力F，F的大小与A的位置x关系如图乙所示。求： (1)A解除锁定瞬间加速度的大小； (2)A运动过程最大速度的大小。 9．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量绝对值为的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向成37°角。已知重力加速度为，，。 (1)判断小球的带电性质，并求该匀强电场的电场强度的大小； (2)若将小球向左拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，小球运动到最低点时，求： ①该过程中系统电势能的变化量； ②最低点处小球对细线的拉力的大小。 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示离子注入工作原理示意图。环形加速器的圆心角为90°，沿半径为R的中心圆弧线有大小恒定、方向如图中箭头所示的电场，可对从入口S进入加速器的带电粒子进行加速。在环形加速器内有能使加速粒子沿中心弧线做圆周运动的磁场Bx（未画出）。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子通过加速区域后垂直进入磁场分析器，并恰好垂直于磁场下边界射出，注入处于水平面内的晶圆（硅片）。磁场分析器截面是内外半径分别为和的四分之一圆环（在竖直方向），圆心为，其两端中心位置为M和N，离子从M进入磁场分析器，并从N射出，磁场分析器的匀强磁场磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外，整个系统置于真空中，不计离子进入加速器时的初速度和离子重力。求： (1)离子在匀强磁场中运动时速度的大小； (2)加速器中心圆弧线上电场强度E的大小； (3)设环形加速器中圆弧线上某点到圆心O连线与SO的夹角为，求圆弧线上各点磁场磁感应强度的大小与对应的关系。 11．（25-26高三上·云南大理·月考）如图所示，在真空中，有一半径为的圆，圆心为，为该圆的六等分点，该圆处在与其所在平面平行的匀强电场（图中未画出）中。将一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计受到的重力）从点沿不同方向（在该圆所处的平面内）以大小为的速度射出后，粒子再次与圆相交时，通过点的速度最大，且为。 (1)求该匀强电场的电场强度大小和方向； (2)求粒子运动到点时的速度大小； (3)通过计算说明粒子是否能通过点。 12．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 13．（25-26高三上·山西运城·期末）如图所示，直角坐标系xOy的第一象限内，存在沿y轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电粒子，从x轴上的点以初速度沿与x轴成的方向进入第二象限，离开磁场时方向垂直于y轴，通过第一象限到达x轴上Q点（未画出）时，速度方向与x轴正方向的夹角同样为。取，，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场磁感应强度的大小； (2)Q点的横坐标及电场强度的大小。 14．（25-26高三上·江苏连云港·期中）面积足够大的两平行金属板距离为d，电势差为U。极板上O点处有一粒子源，连续向板间各个方向发射相同速率的带负电粒子，粒子离开左板最远到达A点后返回。已知OA＝h，粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子间相互作用及重力。求： (1)平行金属板间的电场强度大小E； (2)粒子从O点射出时的速度大小； (3)粒子返回左板落点覆盖区域的面积S。 15．（2025·天津·二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)求粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小？ (2)第个圆筒的长度？ (3)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 《第 43练 电学计算1：带电粒子在电场中的运动》参考答案 1．(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为，根据牛顿第二定律可得，解得，设经过时间与B发生第一次碰撞，则，解得； （2）设A球与B球发生碰撞前速度为，碰撞后A球速度为，B球速度为，则，A球与B球发生碰撞由动量守恒和机械能守恒，得，，解得，； （3）A球与B球发生碰撞后，B做平抛运动，A在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，A球与B球运动时间相等，设时间为，在这段时间内A、B在水平方向发生的位移分别为和，则，，，A、B落地点之间的距离为。 2．(1)；(2)；(3)0.25cm 【解析】（1）设电子经加速电压加速后进入偏转电场的速度为，根据动能定理可得，解得； （2）根据牛顿第二定律可得电子在偏转电场中竖直方向的加速度，水平方向做匀速直线运动，则运动时间，射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离，联立解得； （3）电子出电场后做匀速直线运动，将电子出电场时的速度反向延长，延长线与板间中心线相交于板的中点，设速度反向延长线与水平方向的夹角为θ 则，由几何关系，解得x=0.25cm。 3．(1)；(2) 【解析】（1）电子在加速电场中，根据动能定理可得，所以电子离开加速电场时的速度大小为； （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，则，，，所以，电子打在荧光屏上，有，所以，所以示波管电极YYʹ接收到的雷达信号电压的变化范围为。 4．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）对小球受力分析，可知小球带负电，根据共点力平衡有：，解得：，小球从C点到B点的过程，根据动能定理有：，联立解得：； （2）对小球受力分析可知，小球运动到A点（等效最低点）时，轻绳对小球的拉力最大，小球从C到A，根据动能定理有，小球在A点，由牛顿第二定律得，联立解得：，由牛顿第三定律可知轻绳受到的最大拉力的大小为：； （3）将小球受到的重力与电场力的合力视为一个新的等效场力G'，根据力的合成有，等效重力加速度大小：，将小球在B点的速度沿等效场力方向和垂直于等效场力方向分解，其在等效场力方向的分速度：，根据运动规律有小球从B点运动到P点的时间：，解得：。 5．(1)；(2)；(3)处 【解析】（1）根据图像的切线斜率表示场强，可知最低点切线斜率为零，对应合场强为零；则在处有，解得； （2）物块从运动至过程中，先加速运动，后减速运动，由动能定理可得，其中，，解得； （3）当电场力与摩擦力平衡时，速度最大，设此时物块与A距离为d，则有，将代入，解得，故此时小物块在处。 6．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据平抛运动规律可知，根据动能定理可知，解得； （2）水平方向上，根据牛顿第二定律可得，根据速度与位移公式可得，解得； （3）与水平夹角α，则，故，沿方向与垂直方向建立坐标系，则当速度与垂直时，动能最小，则，，解得。 7．(1)；(2)F′=6N；(3)， 【解析】（1）从P点到B点过程，根据动能定理，解得； （2）从B点到D点过程，根据动能定理，在D点有，联立解得F=6N，由牛顿第三定律可知，压力大小为F′=F=6N； （3）假设可从C点离开，则从B到C点过程，由动能定理得，解得：，假设不成立。设离开圆弧位置为O1点，重力与半径夹角为，则在O1点，从B点到O1点过程，解得，。 8．(1)15；(2)m/s 【解析】（1）对A，根据牛顿第二定律①，解得②； （2）当系统所受合力为零时，速度最大，即③，由图像可得④，从释放到速度最大的过程，根据动能定理⑤，解得⑥。 9．(1)负电，；(2)①电势能的增加量为；② 【解析】（1）小球在A点处于静止状态，其受力情况如下图所示： 根据平衡条件可判断电场力水平向左与电场线方向相反，所以小球带负电；根据共点力平衡条件有，解得该匀强电场的电场强度的大小为； （2）①小球从点运动到最低点的过程中，电场力对其做的功为，所以该过程中系统电势能的增加量为，②对小球从点运动到最低点的过程中列动能定理方程有，，解得小球运动到最低点时的速度为，在最低点对小球列向心力方程有，解得此时细线对小球的拉力为，则根据牛顿第三定律可知最低点处小球对细线的拉力大小为。 10．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）在磁场分析器中，有，且，解得； （2）在环形加速器中，有，且，解得； （3）在环形加速器中，有 ，且 ， ，解得。 11．(1)，方向由点指向点；(2)；(3)见解析 【解析】（1）由题意可知从到过，电场力做功最大，则点到圆周上各点中，、两点距离沿电场方向距离最大，故电场方向与过点的切线垂直，如图所示 即电场强度的方向由点指向点；由几何关系可知，点到点沿电场线方向的距离，根据动能定理有，解得； （2）由几何关系可知，从点到点沿电场线方向的距离，根据动能定理有，解得； （3）假设粒子能通过点，设粒子从点射出时与连线成角，粒子从点运动到点的时间为，沿方向做匀速直线运动，有，由几何关系可知，从点到点的距离，沿电场线方向有，，代入数据可得，解得，可知等式不成立，即粒子不能通过点。 12．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据动能定理有，粒子进入偏转电场后，水平方向有，联立得； （2）时刻入射的电子，根据牛顿第二定律，联立得； （3）粒子进入偏转电场后向上运动，速度减为零后，向下运动，时间段内的总偏移由（2），联立得。 13．(1)；(2) 【解析】（1）设粒子在磁场中运动的半径为，匀强磁场磁感应强度的大小为，运动轨迹如图所示 ，，解得：； （2）粒子在电场中的运动轨迹如图所示 设粒子在电场中运动的时间为，到达轴时沿方向的分速度为点的横坐标为，，，，解得：，设电场强度的大小为，粒子在电场中加速度的大小为，，，解得：。 14．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）平行金属板间的电场强度大小； （2）从O点沿着OA方向射出的粒子能到达最远点A，则由动能定理，解得； （3）设初速度方向与极板成α角时，回到左极板时距离O点的距离，，可得，其中，可知当时，r取得最大值为，粒子返回左板落点覆盖区域的面积。 15．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据动能定理，可得； （2）根据动能定理，又，联立可得； （3）根据，结合牛顿第二定律，根据运动学公式，，结合动能的定义联立可得。 学科网（北京）股份有限公司 $