2026年中考数学一轮复习学案 24 尺规作图、命题、视图与投影

中考数学一轮复习学案 24 尺规作图、命题、视图与投影 ​​ ​​ ■考点一　图形的投影► 1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象.影子所在的平面称为投影面。 2）平行投影、中心投影、正投影 （1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。 （2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。 （3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。 ■考点二　几何体的三视图► 1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。 2）三视图：（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图。 3）三视图的画法 （1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。 （2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。 4）常见几何体的展开图 几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图 圆柱 圆锥 三棱柱 5）正方体的展开图 正方体有11种展开图，分为四类： 第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图： 第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图： 第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10； 第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。 ■考点三　尺规作图► 1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。 2）五种基本作图 （1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。 3）根据基本作图作三角形 （1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。 4）与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。 5）作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。 其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹。 6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。 7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形 求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。 ■考点四　定义、命题、定理► 1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。 2）命题：判断一件事情的语句叫做命题。 3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 5）真命题：正确的命题叫做真命题。反之，则为假命题。 6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。 注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。 9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。 10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理。 11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。 一、单选题 1．甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为1m， 2m， 1.5m， 则三根木棒中最长的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子.当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（　　）. A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．不变 D．先变短后变长再变短 3．如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 5．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 6．一个几何体是由若干个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图与俯视图如图，则符合下面两个视图要求的几何体有（　　）. A．6个 B．5个 C．4个 D． 7．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 8．在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（　　）． A．（作一个角的平分线）B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 9．已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．A、B、C、D四个孩子踢球时打碎了玻璃窗，A说：“是C或D打碎的．”B说：“是D打碎的．”C说：“我没有打破玻璃窗．”D说：“不是我打破的”他们中只有一个人说了谎话，请问打碎玻璃窗的是（　　） A．A B．B C．C D．D 二、填空题 11．命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是　 　． 12．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为　 　 13．用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是　 　． 14．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则　 　． 三、解答题 15．如图是一粮囤的示意图，其顶部是一圆锥，底部是一圆柱. （1）画出该粮囤的三视图(尺寸比例自选)； （2）若这个圆锥的底面周长为 32 m，母线长为7 m，为防雨需要在粮囤顶部铺上油毡，则需要多少平方米油毡?(油毡接缝重合部分不计) （3）若这个圆柱的底面半径为 8 m，高为5m ，粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食? 16．【阅读材料】 老师的问题：如图所示，已知 中， CD 是斜边 AB 上的中线，求作菱形ADCE. 　 小丽的做法：①取CD的中点M； ②连结 BM 并延长到点E，使. ③连结AE，CE. 四边形 ADCE 即为所求作的菱形. 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形ADCE 是菱形. 17．数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的. 小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证. 已知：如图，在四边形中，. ____. 求证：四边形是____四边形. （1）补全已知和求证（在方框中填空）. （2）小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： 1<1.5<2 ∴三根木棒中最长的是乙 故答案为：B 【分析】根据平行投影性质即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：连接DF， ∵ ∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH， 又AB∥CD， 设 ∵a，b的长是定值不变， ∴当人从点C走向点E时两段影子之和GH不变. 故选： C. 【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH， 可得 又AB∥CD， 得出 设 (a，b为常数)，可得出 从而可以得出 结合 可将DH用含a，b的式子表示出来，最后得出结果. 3．【答案】B 【解析】【解答】解： 正三棱柱的主视图是从正面观察得到的平面图形，它由两个相邻的矩形组成，中间原本被遮挡的竖直棱要用虚线标出， 因此符合条件的是选项 B。 故答案为：B。 【分析】 从正三棱柱的正面观察，依据主视图的绘制规则，将可见棱画为实线、不可见棱画为虚线，从而确定符合要求的主视图。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：从左侧观察该几何体，能看到两列小正方形：左侧一列有 2 个小正方形上下排列，右侧一列有 1 个小正方形，且与左侧列下方的小正方形对齐。即从左面看到的形状图为： 故答案为：；C。 【分析】从左侧观察几何体，确定列数与每列小正方形的数量和位置，从而匹配对应的左视图 5．【答案】B 6．【答案】B 【解析】【解答】综合主视图和俯视图，这个几何体共有3层，2行2列，第一列两行均只有1个小正方体，第二列两行小正方体的个数可能是“3，1”“3，2”“3，3”“1，3”“2，3”，所以符合要求的几何体有5个. 故答案为：B. 【分析】易得这个几何体共有3层，2行2列，由主视图与俯视图可得第一列两行均只有1个小正方体，第二列两行可能的小正方体个数，进而求解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：折叠后的图行如图： ∴与顶点K距离最远的顶点是D点， 故答案为：D 【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：当是的垂线时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据作图痕迹可知： A、是的角平分线，不与垂直，故A不符合题意； B、是的中线，不与垂直，故B不符合题意； C、是的垂线，故C符合题意； D、，不与垂直，故D不符合题意． 故答案为：C. 【分析】 当是的垂线时，由同角的余角相等可得，再根据AA判定得，再逐一分析各选项即可解答． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图， ， 在矩形中， ∵， ∴， ∵ ， A项为真命题，不符合题意； 如图， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； B项为真命题，不符合题意； 如图， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故选项C是真命题，不符合题意； 如图， 当时， 无法确定与∠ACD的大小关系， 故D选项是假命题，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据矩形的性质可得PD=AD，利用等边对等角可得，由矩形性质得AD∥BC，内错角相等得，利用外角的性质得从而可判断A项为真命题；根据矩形的性质可得PC=CD，利用等边对等角可得，由矩形性质得AB∥CD，内错角相等得，利用外角的性质得，，根据不等式的基本性质可得，从而可判断B项为真命题；利用等边对等角可得，由矩形性质得，根据三角形的内角和可得，根据等角的余角相等得C项为真命题；当时，无法确定与∠ACD的大小关系，故D选项是假命题． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可知，B和D说的话矛盾，肯定有一个人说谎， 假设B说谎了，那么A、C、D说法都是正确的， 根据D所说的，可判断玻璃窗不是D打碎的，结合C的说法可知玻璃窗是A或B打碎的，则A说谎了，那么此时说谎的就有两个人了，与题中“他们中只有1人说了谎话”矛盾，所以说谎的是D，即打碎玻璃窗的是D， 故答案为：D 【分析】根据题目可知，B和D中肯定有一个人说谎，再运用反证法的方法先分别假设B说的是谎话、D说的是谎话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，即可得到说实话的人． 11．【答案】如果，的绝对值相等，那么，互为相反数 【解析】【解答】解：∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题， ∴命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题为： 如果，的绝对值相等，那么，互为相反数. 故答案为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，进行分析求解即可. 12．【答案】10m 【解析】【解答】如图， 在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：10m． 【分析】根据太阳光线是平行光线即可得出△ABC∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例得出AB∶BC＝DE∶EF，从而得出DE的长。 13．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：当a=时，a2=，，而＜2， ∴命题“若a>0，则a2>”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】举出一个符合条件的a值，而结论是错误的，据此解答即可. 14．【答案】5 【解析】【解答】解：过点C作CE∥AD，交BA的方向延长线于点E， 由作图可得AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD. ∵CE∥AD， ∴∠DAB=∠E，∠ECA=∠CAD， ∴∠E=∠ECA， ∴AE=AC. ∵CE∥AD， ∴AB：AE=BD：CD. ∵AE=AC， ∴AB：AC=BD：CD， ∴8：10=4：CD， ∴CD=5. 故答案为：5. 【分析】过点C作CE∥AD，交BA的方向延长线于点E，由作图可得AD平分∠CAB，则∠CAD=∠BAD，根据平行线的性质可得∠DAB=∠E，∠ECA=∠CAD，则∠E=∠ECA，推出AE=AC，由平行线分线段成比例的性质可得AB：AE=AB：AC=BD：CD，据此计算. 15．【答案】（1）解：如图所示： （2）解：， 答： 需要112平方米油毡 （3）解：82×π ×5=320π m3， 答： 粮食最多可以存放320π立方米 【解析】【分析】（1）根据从正面、左面和上面看到几何体的平面图形，得到三视图即可； （2）根据圆锥的侧面积公式计算解答即可； （3）根据圆柱的体积公式计算解答即可. 16．【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE即为所求 （2）解：证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，，四边形AECD是平行四边形，∵CD=AD， ∴四边形AECD是菱形 【解析】【分析】(1)先作线段CD的垂直平分线，交CD于点M，连接BM，并延长，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交射线BM与点E，连接AE，CE即可； (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 根据作图可得M是EB的中点，则DM是 的中位线，得出 即可得出结论. 17．【答案】（1）解：已知：如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 故答案为：，平行. （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形. 【解析】【分析】（1）由中点的概念可得OA=OC，由已知条件可知OB=OD，据此解答； （2）利用SAS证明△ABO≌△CDO，得到AB=CD，∠BAO=∠DCO，推出AB∥CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $