2026年中考数学一轮复习学案 22 图形的轴对称、 平移与旋转

中考数学一轮复习学案 22 图形的轴对称、 平移与旋转 ​​ ​​ ■考点一　图形的平移► 1）平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做 平移 。平移不改变图形的形状和大小。 2）三大要素： （1）平移的起点，（2）平移的方向，（3）平移的距离。 3）性质： （1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等；（3）平移前后的图形全等。 4）作图步骤：（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形。 ■考点二　图形的旋转► 1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角。 2）三大要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。 3）性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 4．作图步骤：（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。 5）中心对称图形与中心对称 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称。 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 区别 中心对称是指两个图形的关系。 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。 ■考点三　图形的轴对称► 1）轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。 区别 （1）轴对称是指两个图形折叠重合。 （2）轴对称对称点在两个图形上。 （3）轴对称只有一条对称轴。 （1）轴对称图形是指本身折叠重合。 （2）轴对称图形对称点在一个图形上。 （3）轴对称图形至少有一条对称轴。 联系 （1） 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合。 （2） 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反之, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形）,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。 性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。 （2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 判定 （1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 （2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线。 2）作轴对称图形的一般步骤： （1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。 （2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）；②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点；③连.按原图对应连接各对称点。 3）折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． ■考点四　最短路径问题► 与图形变换相关的最值问题有：将军饮马（遛马、造桥）（轴对称、平移）、费马点问题（旋转）、瓜豆原理（圆弧轨迹类）（旋转）等。 ■易错提示► 1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段。 2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点。 3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径。 一、单选题 1． 如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如果P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为，将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，将绕点顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．6.5 8．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点的坐标是，点的坐标是，将沿轴向右平移得到，若，则点的坐标为　 　． 10．如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为 　 　． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是　 　． 12．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为　 　． 13．如图，中，，，，点M、N分别在、边上（不与端点重合），连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在所在的直线上，若垂直于的一边，则长为　 　． 14．如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为　 　，的长的最小值为　 　． 三、解答题 15．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转得到，画出； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______； （2）在y轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，． （1）请画出将绕点O顺时针旋转后得到的． （2）在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）． 19．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为　 　元．（结果用含a的式子表示） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知， 沿BC方向平移后得到 ， 则平移的距离是BE的长， 故答案为： C. 【分析】根据题意可知，平移的距离是BE的长，即可求解. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由“上加下减，左减右加”的平移规律可知，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的点的坐标为，即， 故答案为：B． 【分析】根据点的平移规律“上加下减，左减右加”解题即可． 4．【答案】A 【解析】【解答】解： P点的坐标为，它关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，已知的坐标为， ， 将点P向左平移4个单位后的坐标为， 故答案为：A． 【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）和点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：将绕点顺时针方向旋转得到 ， ， ， ， ， 故选：B． 【分析】根据旋转性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠AA'C，再根据角之间的关系即可求出答案. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 设， 则， ， 在中，由勾股定理得： 解得： 故选B． 【分析】根据旋转性质可得，，，，根据正方形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据边之间的关系可得FM，FC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：由将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，可得4次一循环，即旋转4次后回到原来的位置， ∵……1， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点C作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， 由题意可得，点A与点C关于原点对称，则， ∴， 在菱形中，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 【分析】根据“将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转”可得4次一循环，则第次旋转结束时，点C在第一象限，过点C作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标即可求解． 9．【答案】 【解析】【解答】解：， ， ， ， 即沿轴正方向平移2个单位长度得到， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【分析】先求出，即可得到BE长，然后根据平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”解题即可． 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵由平移的性质得，， ∴E为的中点，， ∴， ∴为的中点， ∵D是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据平移性质可得，，再根据边之间的关系可得，则为的中点，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AF，再根据勾股定理可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案. 11．【答案】或 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°， ∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=， ∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±， ∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）. 故答案为：（1-，3）或（1+，-3）. 【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标. 12．【答案】 【解析】【解答】解：连结FC，设BC=x，则AC=8-x，作BG⊥CD于G，作DH⊥AB的延长线于H 在Rt△DCE中，∵F为斜边DE的中点 ∴CF=DF=EF 又∵∠E=30°，∴∠EDC=60°， ∴∠FCD=60°， 由题意可知，BC=BD，∠B=120° ∴∠BCD=30° ∴∠BCF=90°=∠ACF 在Rt△BCG中，∵∠BCD=30°，∴ 进而得 ∴ 在Rt△ACF中，根据勾股定理，AF2=AC2+FC2，即 等号右边化简，并配合可得， ∴当x=2时，AF取到最小值，为 ∵BC=BD=2，∠BDH=∠BDC=30° ∴BH=1， ∴S△BCD=BC×DH×=. 所以本题答案为 【分析】对于Rt△DCE来说，F是斜边DE的中点，斜边中点的常规辅助线，即是连结形成斜边上的中线，即连结FC.而当点动点C在运动过程中，发现FC始终⊥AB，因此△ACF始终是一个直角三角形，而边AC和边FC，均能建立起和CB线段建立起数量关系，若设BC=x，利用勾股定理，就能建立起AF2和x的函数关系，通过配方就能求出AF2的最小值和此时BC的值，从而找到突破口. 13．【答案】或 【解析】【解答】解：由折叠性质得， ∵中，，，， ∴， 根据题意，不可能垂直， 当时，如图，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴； 当时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 综上，或， 故答案为：或． 【分析】由折叠性质得，根据勾股定理可得AC=4，分情况讨论：当时，当时，根据相似三角形判定定理及性质，代值即可求出答案. 14．【答案】；2 15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为， （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为 （3）解：如图，连接， ∴的面积为 【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向左平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1，进而根据点C1在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）利用方格纸的特点及旋转的方向及角度，分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2，进而根据点C2在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）连接B1C2、C1C2，利用方格纸的特点及割补法，由△B1C1C2的面积等于长为3宽为4的长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解． （1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为， （2）如图所示，即为所求，点的坐标为 （3）如图，连接， ∴的面积为 16．【答案】（1）解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为 画图如下： （2）解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下： ． 则即为所求． （3）（2，－4） 【解析】【解答】（3）解：根据旋转作图，得，， 根据中点坐标公式，得， 同理可得，，它们的中点的坐标也为． ∴． 故答案为：（2，－4）. 【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可； （2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可； （3）利用中点坐标公式求出点坐标，再直接求出即可． （1）解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为 画图如下： （2）解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下： ． 则即为所求． （3）解：根据旋转作图，得，， 根据中点坐标公式，得， 同理可得，，它们的中点的坐标也为． ． 17．【答案】（1）的坐标； （2）解：连接交轴于，则点即为所求．此时最小。 【解析】【解答】（1）解：如图，即为所求，其中的坐标为； 故答案为：（1）； 【分析】（1）结合图中信息，分别找到A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；然后根据点A的坐标，并依据关于y轴对称的点的坐标特点，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”即可写出A1坐标； （2）因为B点关于y轴的对称点是B1，因此利用将军饮马原理，连接交轴于，则点即为所求． （1）解：如图，即为所求，其中的坐标为； （2）连接交轴于，则点即为所求． 如图，当三点共线时，取得最小值，此时． 18．【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意可得，，， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； （2）根据旋转的性质可得，利用勾股定理求得，再利用扇形的面积公式求解即可． （1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意可得，，， ∵， ∴． 19．【答案】（1）解：①等边；②两点之间线段最短；③；④A． （2）解：将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）​​​​​​​ 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， ∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． ∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据边之间的关系可得，由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形性质可得，再根据大角对大边即可求出答案. （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据角之间的关系可得，由旋转性质可得，再根据勾股定理即可求出答案. （3）求出总的铺设成本，当最小时，总的铺设成本最低，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，，由旋转性质可知：，，，，则，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，过点作，垂足为，根据含30°角的直角三角形性质可得过点作，垂足为，根据勾股定理可得HC，再根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理可得A'B，可得的最小值为，即可求出答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $