2026年中考数学一轮复习学案 14 三角形及其全等三角形

中考数学一轮复习学案 14 三角形及其全等三角形 ​ ​​ ■考点1 三角形的相关概念► 1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。 2）三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。 3）三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ■考点二　三角形中的重要线段► 1）三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 ■考点三　全等三角形的判定与性质► 1）三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 2）全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。 ■考点四　全等三角形的实际应用► 1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。 2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。 3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． ■考点五　角平分线的性质与判定► 1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，已知平分，，，则． 2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． ■易错提示► 1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。 2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。 一、单选题 1．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（　　） A．74° B．45° C．55° D．51° 4．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 5．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．36 D．42 6．如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC 和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是 ( ) A．BC=DE B．AE=DB C．∠A=∠DEF D．∠ABC=∠D 9．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（　　） A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 10．在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 11．如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　） A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长 12．如图，将绕点顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，建筑工人在砌墙时，用木框（长方形）留好窗户的位置后，为了固定，又加了一根木条（线段），这里所运用的数学性质是　 　． 14．如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点A和点B 为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若∠A=42°，则∠CBD 的度数为　 　° 15．如图，在中，若，则　 　°． 16．如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E分别在BC，AC上（点D不与B，C两点重合），且∠1=∠C，若AD=DE，则AE的长为　 　. 17．如图，中，，，平分，若的面积为，则的面积为　 　． 三、解答题 18．如图，在和中，，，，在同一条直线上，. （1）求证：. （2）若，，求. 19．如图，点C在线段上，在和中，． 求证：． 20．如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 21．如图，在中，，过点作，垂足为，延长至点使在边上截取，连接求证：． 22． 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠B=∠C=45°，D 是 BC 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作∠ADE=45°，DE交AC 于点 E. （1）当∠BDA=110°时，∠EDC=　 　°，∠DEC=　 　°； （2）当 DC 等于多少时，△ABD≌△DCE?请说明理由； （3）在点 D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠BDA的度数. 23．如图，． （1）写出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴∠C'CA=∠CAB=75° ∵将绕点A旋转到的位置 ∴AC=AC' ∴△ACC'为等腰三角形 ∴∠BAB'=∠CAC'=180°-2∠C'CA=30° 故答案为：A 【分析】根据直线平行性质可得∠C'CA=∠CAB=75°，再根据旋转性质可得AC=AC'，根据等腰三角形判定定理可得△ACC'为等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 3．【答案】D 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由图①可知，，即：是的角平分线； 由图②可知：，∴，即：， ∴是的高线， 由图③可知：，即为的中点， ∴是的中线， 故选C． 【分析】根据图形的折叠，利用中线、角平分线和高线的定义逐一判断即可． 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠A=∠D. ∵AC=DF， ∴当添加∠C=∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF； 当添加∠ABC = ∠DEF 时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF； 当添加AB=DE或AE=BD时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF. 故答案为：B. 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故答案为：C． 【分析】根据全等三角形的判定及画图的过程，对各选项逐一判断即可 10．【答案】D 11．【答案】A 【解析】【解答】解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图： ∵∠BAD=∠DCB=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠CDF=180°， ∴∠ABC=∠CDF， ∵BC=DC，AB=DF， ∴△ABC≌△FDC(SAS)， ∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC， ∵∠ACB+∠ACD=90°， ∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°， ∴，即， ∴， ∴ ∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可； 故答案为：A. 【分析】延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可. 12．【答案】B 13．【答案】三角形的稳定性 【解析】【解答】解：常用木条固定长方形门框，构造了三角形DEF，三角形具有稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答是解决问题的关键． 14．【答案】27 【解析】【解答】解： ∵MN垂直平分线段AB， 故答案为：27. 【分析】求出 再根据 求解. 15．【答案】 16．【答案】2 【解析】【解答】解：∵ AB=AC ∴ ∵ ∠1=∠C ∴ 在中，外角 在中，由外角性质可知 ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴DC=AB=4，EC=BD ∵BC=6 ∴BD=BC-DC=2 ∴EC=BD=2 ∵ AC=4 ∴AE=AC-EC=2 故答案为：2 【分析】易知，利用三角形的外角性质可证明，由等角的补角相等可得，再利用AAS判定证明，根据全等三角形的性质可求出对应边DC=4，EC=2，从而得出AE=2。 17．【答案】 18．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴. 【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得，然后求出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可. 19．【答案】证明：在和中， ∴ ∴． 【解析】【分析】根据题意运用三角形全等的判定与性质即可求解。 20．【答案】（1）二 （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】【解答】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． 【分析】 （1）三角形全等的判定共4种，即SSS、SAS、ASA、AAS，没有SSA一说． （2）先利用AAS证明，则有，再应用HL证明即可． （1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 21．【答案】证明：在中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ≌． ． 【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，通过三角形的内角和与外角和，得到对应角相等，进而证明三角形全等得出结论. 22．【答案】（1）25；110 （2）解：当DC =1时，△ABD≌△DCE， 理由如下： ∵∠ADC =∠B+∠BAD， 且∠ADC=∠ADE+∠EDC， ∴∠EDC=∠BAD， 且AB=DC=1， ∠B=∠C = 45°， ∴△ABD≌△DCE(ASA)； （3）解：∵点D不能与B点重合， ∴AD=AE不能成立， ①当AE、DE为腰， 即AE = DE时 (如图2)， ∴∠EAD=∠EDA=45°， 且∠BAC=90°， ∴ AD平分∠BAC， ∠DEA = 90°， ∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AD平分∠BAC ∴∠ADB=90°， ②当AD、DE为腰， 即AD = DE时 (如图3)， 过点D作DF⊥AC， ∵AD=DE， ∠ADE = 45°， ∴∠DAE=∠AED=67.5°， ∴∠BAD=22.5°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=112.5°， 故∠BDA的度数为90°或112.5°. 【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=110°， ∴∠ADC = 70°， 且∠ADE = 45°， ∴∠EDC =25°， ∴∠DEC =180°-∠C=∠EDC=110° 故答案为： 25°， 110° 【分析】(1)外角性质和三角形的内角和定理可求解； (2)当. 时，由“ASA”可以证明结论； (3)分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求解. 23．【答案】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ，最后求解即可； （2）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $