专题4 曲线型（圆）几何综合题 一阶 设问突破-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练优质PPT课件

数学 1 2 专题四 曲线型（圆）几何综合题 3 切线判定 【破解妙招1】公共点确定，连半径，证垂直 例1题图 例1 如图，在中， ，点为 上一 点，以点为圆心，长为半径的圆交于点 ， . 求证：是 的切线. 连接，证， 即可. 4 例1题解图 证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 是 的半径， 是 的切线. 【破解妙招2】公共点未知，作垂直，证相等 例2 如图，是等腰三角形，是底边的中点，与 相切于点 .求证：是 的切线. 例2题图 6 例2题解图 证明：如解图，连接，，过点作于点 ， 与相切于点 ， ， 是等腰三角形，是 的中点， 平分， ， 经过的半径的外端点且垂直于 ， 是 的切线. 7 角度问题 ◆求角度 例1 [2025天津节选]如图，已知与相切于点， ， ，与相交于点，为上一点，求 的度数. 例1题图 8 无法直接计算，可考虑连接，构造 所对的圆心角，将问题转化 为求 . 与相切 ，结合等腰三角形三线合一的性质即可求出 . 9 例1题解图 解：如解图，连接 ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 的度数为 . 10 ◆证明两角相等 【破解妙招】证明角相等的基本思路 ①有直角（平角） 找同角的余角（补角）相等；②有平行线 找同位 角相等、内错角相等； ③有等腰三角形 找两底角相等；④有全等（相似）三角形 找对应角 相等； ⑤有特殊四边形 找对角相等；⑥有圆周角 找同弧,等弧所对圆周角相等. 11 例2 [2024陕西改编]如图，是的直径，与相切于点 ，连接 交于点，连接.求证： .#2 例2题图 12 证明：与相切于点 ， ， ， ， 是的直径， ， ， . 13 线段问题 ◆求线段长 【破解妙招1】利用勾股定理计算 例1 [2025天津节选]如图，已知与相切于点， ， ，与相交于点，交于点，交于点 ， 延长与相交于点，若的半径为3，求和 的长. 例1题图 14 例1题解图 解：如解图，连接 ，是的直径， 的半径为3， ， ，， . 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，的长是3，的长是 . 15 【破解妙招2】利用锐角三角函数计算 例2 如图，已知的半径为5，是的一条切线，切点为 ，连接 并延长，交于点，过点作交于点，交于点 ， 连接，当 时，求弦 的长. 例2题图 已知过圆心于点 （垂径定理）； 是的切线 连接得 ； 在中求 . 16 例2题解图 解：如解图，连接 ， 是 的切线， ， ， ， ，过圆心 ， ， 在中， ， . 17 【破解妙招3】利用相似计算 例3 如图，为的直径，点是的中点，过点作射线 的垂线， 垂足为.若，，求 的长. 例3题图 18 连接，得 ，证即可求出 的长. 例3题解图 解：如解图，连接，则 ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， （负值已舍去）. 19 ◆证明两线段相等 【破解妙招】证明线段相等的方法#1 共线共端点 同一三角形中 两个三角形中 四边形两对边 ____________________________________ ____________________________________ _______________________________________ ___________________________________________ 证 是中点 证 证 证四边形 是特殊四边形 20 共线共端点 同一三角形中 两个三角形中 四边形两对边 等弧对等弦 等圆心角或等圆周 角对等弦 垂径定理 切线长 ___________________________________ ______________________________ ____________________________________ __________________________________________ 续表 21 共线共端点 同一三角形中 两个三角形中 四边形两对边 证 证 或证 证 证，与 相切 续表 22 例4 如图，是直径，点在上，平分，是 的切 线，与相交于点.求证： .#1.1.1 例4题图 23 例4题图 证明：是的直径， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， 平分， ， ， . 24 ◆证明几条线段乘积关系 【破解妙招】看到证明（或）及求（或 ）的值时，优 先考虑用相似解题 25 例5 如图，是的切线，切点为，点在上，连接 并延长交 于点，交直线于点.证明： . 例5题图 26 例5题解图 证明：如解图，连接，， ， 是的切线， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， . 27 ◆证明两条线段所在直线垂直或平行 【破解妙招1】证明两线段所在直线垂直的思路 ①通过角度转化直接证明两线段所在直线夹角为 ； ②一条线段为等腰三角形的底边 证另一条线段为等腰三角形的底边中 线或顶角平分线； ③两条线段为三角形的两边 证这个三角形是直角三角形； ④这两条线段为四边形对角线 证四边形为菱形（正方形）或证线段垂 直平分线； ⑤这两条线段为四边形两边 证四边形为矩形或正方形； ⑥圆中证明垂直 可应用垂径定理 28 例6 如图，四边形是的内接四边形，连接， 交于点 ，.求证： . 例6题图 29 例6题图 证明：， ， 设，则 ， ， ， ， ， . 30 【破解妙招2】证明两线段所在直线平行的思路#4 应用平行线判定定理 应用平行线分线段成 比例（含中位线） 应用平行四边形对 边性质 图示 ______________________________________________________________ ____________________________________ ____________________________________________________ 31 应用平行线判定定理 应用平行线分线段成 比例（含中位线） 应用平行四边形对 边性质 依据 同位角：证 内错角：证 同旁内角：证 由 及 共用得 ,得 ,得 平行四边形的对边 平行 续表 32 例7 如图，点，，是上三点， .过点作 的切线， 与的延长线交于点，是的直径.求证： . 例7题图 33 证明：如解图，连接 ， 例7题解图 与相切于点， ， ， ， ， . 34 面积问题 【破解妙招1】直接利用三角形、特殊四边形、扇形的面积公式计算 例1题图 例1 [2025江苏扬州模拟改编]如图，是的外接圆， 的平分 线与相交于点，连接，，，.若， ， 求四边形 的面积. 35 例1题解图 解：如解图，连接交于点 . 平分， 点是 的中点， ，平分 ， ， ， ， 在中， ，即 ， 解得， ， . 36 【破解妙招2】与圆有关的阴影部分面积计算方法 方法 直接和差法 构造和差法 等积转化法 图示 _____________________________ _____________________________________________________ ____________________________________________________________ 点拨 37 例2 [2025北京东城区模拟改编]如图，是的直径，点为 延长线 上一点，的切线交于点，连接，过点作于点 ， 交于点，交延长线于点，点是的中点，若 的半径为3， 求阴影部分的面积. 例2题图 38 例2题解图 解：如解图，连接 . 点是的中点， ， 是的切线， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， . 39 $